Спектральная плотность

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Июнь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В обработке сигналов спектр мощности непрерывного во времени сигнала описывает распределение мощности по частотным компонентам, составляющим этот сигнал. ^[1] Согласно анализу Фурье , любой физический сигнал может быть разложен на ряд дискретных частот или спектр частот в непрерывном диапазоне. Статистическое среднее значение любого вида сигнала (включая шум ), проанализированное с точки зрения его частотного содержания, называется его спектром .${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f}$

Когда энергия сигнала концентрируется вокруг конечного временного интервала, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральную плотность энергии . Чаще используется спектральная плотность мощности (СПМ или просто спектр мощности ), которая применяется к сигналам, существующим в течение всего времени или в течение достаточно большого периода времени (особенно по отношению к продолжительности измерения), что он мог бы существовать в течение бесконечного временного интервала. СПМ тогда относится к спектральному распределению энергии, которое было бы найдено в единицу времени, поскольку полная энергия такого сигнала в течение всего времени, как правило, была бы бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных компонентов дает полную мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную той, что была бы получена путем интегрирования по временной области, как диктует теорема Парсеваля . ^[1]${\displaystyle x^{2}(т)}$

Спектр физического процесса часто содержит существенную информацию о природе . Например, высота тона и тембр музыкального инструмента немедленно определяются из спектрального анализа. Цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны, поскольку он колеблется на чрезвычайно высокой частоте. Получение спектра из временных рядов, таких как эти, включает преобразование Фурье и обобщения, основанные на анализе Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрографе , или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствителен к определенной частоте.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E(т)}$

Однако эта статья концентрируется на ситуациях, в которых временной ряд известен (по крайней мере, в статистическом смысле) или напрямую измерен (например, с помощью микрофона, оцифрованного компьютером). Спектр мощности важен в статистической обработке сигналов и в статистическом изучении стохастических процессов , а также во многих других областях физики и техники . Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые в терминах пространственной частоты . ^[1]

В физике сигнал может быть волной, например, электромагнитной волной , акустической волной или вибрацией механизма. Спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала описывает мощность, присутствующую в сигнале, как функцию частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в единицах СИ ватт на герц (сокращенно Вт/Гц). [ ^2]

Например , когда сигнал определяется только напряжением , то нет уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае «мощность» просто рассчитывается в терминах квадрата сигнала, поскольку она всегда будет пропорциональна фактической мощности, передаваемой этим сигналом в заданное сопротивление . Поэтому для PSD можно использовать единицы В ²  Гц ^{−1 .} Спектральная плотность энергии (ESD) будет иметь единицы В ²  с Гц ⁻¹ , поскольку энергия имеет единицы мощности, умноженные на время (например, ватт-час ). ^[3]

В общем случае единицы PSD будут отношением единиц дисперсии к единице частоты; так, например, ряд значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах квадратных метров на герц, м ² /Гц. При анализе случайных колебаний для PSD ускорения часто используются единицы g ²  Гц ⁻¹ , где g обозначает перегрузку . ^[4]

Математически нет необходимости назначать физические измерения сигналу или независимой переменной. В последующем обсуждении значение x ( t ) останется неопределенным, но независимой переменной будет считаться время.

PSD может быть либо односторонней функцией только положительных частот, либо двусторонней функцией как положительных, так и отрицательных частот , но только с половиной амплитуды. Шумовые PSD обычно односторонние в инженерии и двусторонние в физике. ^[5]

При обработке сигналов энергия сигнала определяется как Предположение, что полная энергия конечна (т.е. является квадратично интегрируемой функцией ), позволяет применить теорему Парсеваля (или теорему Планшереля ). ^[6] То есть, где — преобразование Фурье от на частоте (в Гц ). ^[7] Теорема также верна в случаях дискретного времени. Поскольку интеграл в левой части — это энергия сигнала, значение можно интерпретировать как функцию плотности , умноженную на бесконечно малый частотный интервал, описывающую энергию, содержащуюся в сигнале на частоте в частотном интервале . ${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$$${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f+df}$

Следовательно, спектральная плотность энергии определяется как: ^[8]${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}}$

Ур.1

Функция и автокорреляция образуют пару преобразований Фурье, результат также известен как теорема Винера–Хинчина (см. также Периодограмма ).${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим, что представляет собой потенциал (в вольтах ) электрического импульса, распространяющегося по линии передачи с сопротивлением , и предположим, что линия заканчивается согласованным резистором (так что вся энергия импульса подается на резистор и ничего не отражается обратно). По закону Ома мощность, подаваемая на резистор в момент времени, равна , поэтому полная энергия находится путем интегрирования по времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии на частоте , можно вставить между линией передачи и резистором полосовой фильтр , который пропускает только узкий диапазон частот ( скажем, ) вблизи интересующей частоты, а затем измерить полную энергию, рассеиваемую на резисторе. Тогда значение спектральной плотности энергии на оценивается как . В этом примере, поскольку мощность имеет единицы измерения V ² Ω ⁻¹ , энергия имеет единицы измерения V ²  s Ω ⁻¹  = J , и, следовательно, оценка спектральной плотности энергии имеет единицы измерения J Hz ⁻¹ , как и требуется. Во многих ситуациях часто забывают шаг деления на , так что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы измерения V ²  Hz ⁻¹ .${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle Z}$

Это определение обобщается простым образом на дискретный сигнал со счетно бесконечным числом значений , например, на сигнал, дискретизированный в дискретные моменты времени : где — дискретное преобразование Фурье для   Интервал дискретизации необходим для сохранения правильных физических единиц и для обеспечения того, чтобы мы восстанавливали непрерывный случай в пределе.   Но в математических науках интервал часто устанавливается равным 1, что упрощает результаты за счет общности. (см. также нормализованную частоту )${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$${\displaystyle x_{n}.}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t\to 0.}$

Приведенное выше определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда преобразования Фурье сигналов, как правило, существуют. Для непрерывных сигналов во всем времени, нужно скорее определить спектральную плотность мощности (СПМ), которая существует для стационарных процессов ; это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть фактической физической мощностью или, чаще всего, для удобства с абстрактными сигналами, просто идентифицируется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают дисперсию функции во времени (или по другой независимой переменной), и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), принято называть ее спектром мощности, даже когда нет вовлеченной физической мощности. Если бы кто-то создал физический источник напряжения , который следовал бы и прикладывал его к клеммам резистора сопротивлением один Ом , то действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, была бы выражена в ваттах .${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x^{2}(t)}$

Средняя мощность сигнала за все время, таким образом, определяется следующим средним значением по времени, где период сосредоточен вокруг некоторого произвольного времени :${\displaystyle P}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

Всякий раз, когда удобнее иметь дело с временными ограничениями в самом сигнале, а не с временными ограничениями в пределах интеграла, среднюю мощность можно также записать в виде, где и равна единице в пределах произвольного периода и нулю в остальных местах. $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$${\displaystyle w_{T}(t)}$

Когда не равно нулю, интеграл должен расти до бесконечности по крайней мере так же быстро, как и . Вот почему мы не можем использовать энергию сигнала, которая и есть этот расходящийся интеграл.${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$

При анализе частотного содержания сигнала , можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ; однако, для многих сигналов, представляющих интерес, обычное преобразование Фурье формально не существует. ^{[nb 1]} Однако, при подходящих условиях, некоторые обобщения преобразования Фурье (например, преобразование Фурье-Стилтьеса ) все еще придерживаются теоремы Парсеваля . Таким образом, где подынтегральное выражение определяет спектральную плотность мощности : ^{[9] [10]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,}$

Ур.2

Теорема о свертке позволяет тогда рассматривать как преобразование Фурье временной свертки и , где * представляет собой комплексно сопряженное число.${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$${\displaystyle x_{T}(t)}$

Для того чтобы вывести уравнение 2, мы найдем выражение для , которое будет полезным для этой цели. Фактически, мы продемонстрируем, что . Начнем с того, что отметим, что и пусть , так что когда и наоборот. Так Где, в последней строке, мы воспользовались тем фактом, что и являются фиктивными переменными. Итак, мы имеем qed${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$${\displaystyle z=-t}$${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$

Теперь продемонстрируем ур.2, используя продемонстрированное тождество. Кроме того, сделаем подстановку . Таким образом, имеем: где теорема о свертке была использована при переходе от 3-й к 4-й строке.${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

Теперь, если мы разделим временную свертку, указанную выше, на период и возьмем предел как , она станет функцией автокорреляции неоконированного сигнала , которая обозначается как , при условии, что является эргодической , что верно в большинстве, но не во всех, практических случаях. ^{[примечание 2]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

Предполагая эргодичность , спектральную плотность мощности можно найти еще раз как преобразование Фурье автокорреляционной функции ( теорема Винера–Хинчина ). ^[11]${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)}$

Ур.3

Многие авторы используют это равенство для фактического определения спектральной плотности мощности. ^[12]

Мощность сигнала в заданной полосе частот , где , можно вычислить путем интегрирования по частоте. Поскольку , равное количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным полосам частот, что учитывает фактор 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений): В более общем смысле, аналогичные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае временной интервал конечен, а не стремится к бесконечности. Это приводит к снижению спектрального покрытия и разрешения, поскольку частоты меньше не дискретизируются, а результаты на частотах, которые не являются целым кратным , не являются независимыми. При использовании только одного такого временного ряда оцененный спектр мощности будет очень «шумным»; однако это можно смягчить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении) с использованием большого (или бесконечного) числа краткосрочных спектров, соответствующих статистическим ансамблям реализаций , оцененных в течение указанного временного окна.${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$$${\displaystyle P_{\textsf {bandlimited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle x(t)}$

Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить для дискретных временных переменных . Как и прежде, мы можем рассмотреть окно с сигналом, дискретизированным в дискретные моменты времени для общего периода измерения . Обратите внимание, что единая оценка PSD может быть получена с помощью конечного числа выборок. Как и прежде, фактическая PSD достигается, когда (и, таким образом , ) приближается к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальном приложении обычно усредняют PSD конечного измерения по многим испытаниям, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Эту вычисленную PSD иногда называют периодограммой . Эта периодограмма сходится к истинной PSD, когда число оценок, а также интервал времени усреднения приближаются к бесконечности. ^[13]${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle -N\leq n\leq N}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$$${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Если оба сигнала обладают спектральными плотностями мощности, то аналогичным образом можно рассчитать и взаимную спектральную плотность; как СПМ связана с автокорреляцией, так и взаимная спектральная плотность связана с взаимной корреляцией .

Некоторые свойства PSD включают в себя: ^[14]

При наличии двух сигналов и , каждый из которых обладает спектральными плотностями мощности и , можно определить перекрестную спектральную плотность мощности ( CPSD ) или перекрестную спектральную плотность ( CSD ). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого объединенного сигнала.${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем , где, опять же, вклады и уже понятны. Обратите внимание, что , поэтому полный вклад в перекрестную мощность, как правило, равен удвоенной действительной части любого отдельного CPSD . Как и прежде, отсюда мы переформулируем эти произведения как преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до предела становится преобразованием Фурье функции взаимной корреляции . ^[16] где — взаимная корреляция с , а — взаимная корреляция с . В свете этого PSD рассматривается как особый случай CSD для . Если и — действительные сигналы (например, напряжение или ток), их преобразования Фурье и обычно ограничены положительными частотами по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигналов полное CPSD — это всего лишь одно из CPSD , масштабированное в два раза.$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$${\displaystyle T\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$$${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

Для дискретных сигналов x _n и y _n соотношение между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией имеет вид$${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

Целью оценки спектральной плотности является оценка спектральной плотности случайного сигнала из последовательности временных выборок. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрические или непараметрические подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, распространенный параметрический метод включает в себя подгонку наблюдений к авторегрессионной модели . Распространенным непараметрическим методом является периодограмма .

Спектральная плотность обычно оценивается с помощью методов преобразования Фурье (например, метода Уэлча ), но могут использоваться и другие методы, например, метод максимальной энтропии .

• Спектральный центроид сигнала — это средняя точка его функции спектральной плотности, т.е. частота, которая делит распределение на две равные части.
• Спектральная граничная частота ( SEF ), обычно выражаемая как «SEF x », представляет собой частоту, ниже которой находится x процентов от общей мощности данного сигнала; как правило, x находится в диапазоне от 75 до 95. Это более популярная мера, используемая в мониторинге ЭЭГ , в этом случае SEF по-разному использовалась для оценки глубины анестезии и стадий сна . ^{[17] [18]}
• Спектральная огибающая — это огибающая кривой спектральной плотности. Она описывает одну точку во времени (одно окно, если быть точным). Например, при дистанционном зондировании с использованием спектрометра спектральная огибающая объекта является границей его спектральных свойств, определяемых диапазоном уровней яркости в каждой из интересующих спектральных полос .
• Спектральная плотность является функцией частоты, а не функцией времени. Однако спектральная плотность небольшого окна более длинного сигнала может быть рассчитана и построена в зависимости от времени, связанного с окном. Такой график называется спектрограммой . Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты .
• «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержимого сигнала по частоте. Для передаточных функций (например, диаграмма Боде , чирп ) полная частотная характеристика может быть представлена ​​в виде двух частей: мощность в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты — фазовая спектральная плотность , фазовый спектр или спектральная фаза . Реже эти две части могут быть действительной и мнимой частями передаточной функции. Это не следует путать с частотной характеристикой передаточной функции, которая также включает фазу (или, что эквивалентно, действительную и мнимую часть) как функцию частоты. Импульсная характеристика во временной области, как правило, не может быть однозначно восстановлена ​​только из спектральной плотности мощности без фазовой части. Хотя это также пары преобразований Фурье, симметрия (как для автокорреляции ) отсутствует, заставляя преобразование Фурье быть действительным. См. Ультракороткий импульс#Спектральная фаза , фазовый шум , групповая задержка .${\displaystyle h(t)}$
• Иногда встречается амплитудная спектральная плотность ( ASD ), которая является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц ^−1/2 . ^[19] Это полезно, когда форма спектра довольно постоянна, поскольку изменения в ASD тогда будут пропорциональны изменениям в самом уровне напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой имеет смысл с точки зрения фактической мощности по всем частотам или по указанной полосе пропускания.

Любой сигнал, который может быть представлен как переменная, которая изменяется во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Это включает в себя знакомые сущности, такие как видимый свет (воспринимаемый как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаемые как высота тона ), радио/телевидение (определяемые их частотой или иногда длиной волны ) и даже регулярное вращение Земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, раскрываются определенные аспекты полученных сигналов или основных процессов, их производящих. В некоторых случаях частотный спектр может включать в себя отчетливый пик, соответствующий компоненту синусоидальной волны . И, кроме того, могут быть пики, соответствующие гармоникам основного пика, указывающие на периодический сигнал, который не является просто синусоидальным. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усилены, соответствующие резонансам, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как это было бы с помощью режекторного фильтра .

Концепция и использование спектра мощности сигнала являются фундаментальными в электротехнике , особенно в электронных системах связи , включая радиосвязь , радары и связанные с ними системы, а также технологию пассивного дистанционного зондирования . Электронные приборы, называемые анализаторами спектра, используются для наблюдения и измерения спектров мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременного преобразования Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно считать стационарным процессом, STFT является хорошей сглаженной оценкой его спектральной плотности мощности.

Первичные флуктуации , изменения плотности в ранней Вселенной, количественно определяются спектром мощности, который показывает мощность изменений как функцию пространственного масштаба.

• Биспектр
• Яркостная температура
• Цвета шума
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Спектральная плотность шума
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральная утечка
• Спектральное распределение мощности
• Вероятность уменьшения
• Функция окна

• Биролини, Алессандро (2007). Надежность техники . Берлин; Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-49388-4.
• Браун, Роберт Гровер; Хванг, Патрик YC (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана с упражнениями и решениями Matlab . Нью-Йорк: Wiley-Liss. ISBN 978-0-471-12839-7.
• Дэвенпорт, Уилбур Б. (младший); Рут, Уильям Л. (1987). Введение в теорию случайных сигналов и шума . Нью-Йорк: Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-87942-235-6.
• Имтиаз, Сайед Анас; Родригес-Вильегас, Эстер (2014). «Алгоритм с низкими вычислительными затратами для обнаружения быстрого сна с использованием одноканальной ЭЭГ». Annals of Biomedical Engineering . 42 (11): 2344– 59. doi :10.1007/s10439-014-1085-6. PMC 4204008.  PMID 25113231  .
• Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). «Система обнаружения веретена сна сверхнизкого энергопотребления на чипе». Труды IEEE по биомедицинским схемам и системам . 11 (4): 858– 866. doi : 10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl : 10044/1/46059 . PMID  28541914. S2CID  206608057.
• Марал, Джерард (2004). VSAT Networks . Западный Сассекс, Англия; Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-470-86684-9.
• Миллер, Скотт; Чайлдерс, Дональд (2012). Вероятность и случайные процессы . Бостон, Массачусетс: Academic Press. ISBN 978-0-12-386981-4. OCLC  696092052.
• Нортон, М. П.; Карчуб, Д. Г. (2003). Основы анализа шума и вибрации для инженеров . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49913-2.
• Оппенгейм, Алан В.; Вергезе, Джордж К. (2016). Сигналы, системы и вывод . Бостон: Pearson. ISBN 978-0-13-394328-3.
• Рискен, Ханнес; Фрэнк, Тилль (1996). Уравнение Фоккера-Планка . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-61530-9.
• Штейн, Джонатан Ю. (2000). Цифровая обработка сигналов . Нью-Йорк Вайнхайм: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29546-4.

• Спектральная плотность мощности скрипты Matlab