теорема Планшереля

В математике теорема Планшереля ( иногда называемая тождеством Парсеваля–Планшереля ) — результат гармонического анализа , доказанный Мишелем Планшерелем в 1910 году. Это обобщение теоремы Парсеваля ; часто используется в областях науки и техники, доказывая унитарность преобразования Фурье .

Теорема утверждает, что интеграл квадрата модуля функции равен интегралу квадрата модуля ее частотного спектра . То есть, если — функция на действительной прямой, а — ее частотный спектр, то${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

Более точная формулировка заключается в том, что если функция находится в обоих пространствах L ^p и , то ее преобразование Фурье находится в и преобразование Фурье является изометрией относительно нормы L ² . Это подразумевает, что преобразование Фурье, ограниченное на , имеет единственное расширение до линейного изометрического отображения , иногда называемого преобразованием Планшереля. Эта изометрия на самом деле является унитарным отображением. По сути, это позволяет говорить о преобразованиях Фурье квадратично интегрируемых функций .${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$

Доказательство теоремы доступно в Rudin (1987, Глава 9) . Основная идея состоит в том, чтобы доказать ее для гауссовых распределений , а затем использовать плотность. Но стандартная гауссова функция преобразуется в себя при преобразовании Фурье, и теорема тривиальна в этом случае. Наконец, стандартные свойства преобразования Фурье затем подразумевают Планшереля для всех гауссовских функций.

Теорема Планшереля остается справедливой в том виде, в каком она сформулирована для n -мерного евклидова пространства . Теорема также справедлива в более общем случае для локально компактных абелевых групп . Существует также версия теоремы Планшереля, которая имеет смысл для некоммутативных локально компактных групп, удовлетворяющих определенным техническим предположениям. Это предмет некоммутативного гармонического анализа .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Из-за поляризационного тождества можно также применить теорему Планшереля к внутреннему произведению двух функций. То есть, если и являются двумя функциями, а обозначает преобразование Планшереля, то и если и являются, кроме того, функциями, то и так далее.${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\ mathcal {P}} f) (\ xi ) {\ overline {({\ mathcal {P}} g) (\ xi )}} \, d \ xi,}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi)={\widehat {f}}(\xi)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ -2\pi i\xi x}\,dx,}$$$${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi)={\widehat {g}}(\xi)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{ -2\pi i\xi x}\,dx,}$$

Существует также теорема Планшереля для преобразования Фурье в локально компактных группах . В случае абелевой группы существует двойственная понтрягину группа характеров на . Если задана мера Хаара на , преобразование Фурье функции из равно для характера на .${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{1}(Г)}$$${\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}{\overline {\chi (g)}}f(g)\,dg}$$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle G}$

Теорема Планшереля утверждает, что существует мера Хаара на , двойственная мера такая, что для всех (и преобразование Фурье также в ).${\displaystyle {\widehat {G}}}$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

Теорема также справедлива во многих неабелевых локально компактных группах, за исключением того, что множество неприводимых унитарных представлений может не быть группой. Например, когда — конечная группа, — множество неприводимых характеров. Из базовой теории характеров , если — функция класса , то имеем формулу Парсеваля. В более общем смысле, когда — не функция класса, норма равна , поэтому мера Планшереля взвешивает каждое представление по его размерности.${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|f(g)|^{2},\quad \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}(\dim \rho )^{2}|{\hat {f}}(\rho )|^{2}.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}\dim \rho \,\operatorname {tr} ({\hat {f}}(\rho )^{*}{\hat {f}}(\rho ))}$$

В полной общности теорема Планшереля заключается в том, что норма — это норма Гильберта-Шмидта оператора , а мера , если она существует, называется мерой Планшереля.$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\int _{\hat {G}}\|{\hat {f}}(\rho )\|_{HS}^{2}d\mu (\rho )}$$$${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\int _{G}f(g)\rho (g)^{*}\,dg}$$${\displaystyle \мю}$

• Теорема Карлесона
• Теорема Планшереля для сферических функций

• Планшерель, Мишель (1910), «Вклад в исследование представления произвольной функции по интегральным определениям», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335 , doi : 10.1007/BF03014877, S2CID  122509369.
• Диксмье, Ж. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Готье Виллар.
• Йосида, К. (1968), Функциональный анализ , Springer Verlag.
• Рудин, Уолтер (1987), «9 преобразований Фурье», Действительный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill Book Company.

• «Теорема Планшереля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема Планшереля на Mathworld

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е