Плотность поляризации

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Электромагнитное поле Электромагнитная индукция Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение закон Фарадея уравнения Ефименко формула Лармора закон Ленца Потенциал Льенара–Вихерта Уравнения Лондона сила Лоренца Уравнения Максвелла тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Синхротронное излучение
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Плотность тока Постоянный ток Электрический ток Электроэнергия Электролиз Электродвижущая сила Сопротивление Индуктивность Джоулевое тепло законы Кирхгофа Сетевой анализ закон Ома Параллельная цепь Сопротивление Резонансные полости Последовательная цепь Напряжение Ватт Волноводы
Магнитная цепь двигатель переменного тока двигатель постоянного тока Электрическая машина Электродвигатель Гиратор–конденсатор Асинхронный двигатель Линейный двигатель Магнитодвижущая сила Проницаемость Нежелание (комплекс) Нежелание (реальное) Ротор Статор Трансформатор
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор Электромагнетизм и специальная теория относительности Четырехпоточный Четырехпотенциальный Математические описания Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени Релятивистский электромагнетизм Тензор энергии-напряжения
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Гельмгольц Генри Герц Хопкинсон Ефименко Джоуль Кельвин Кирхгоф Лармор Ленц Лиенар Лоренц Максвелл Нойманн Ом Эрстед Пуассон Пойнтинг Ричи Савар Певица Штейнмец Тесла Томсон Вольта Вебер Вихерт
в т е

В классическом электромагнетизме плотность поляризации (или электрическая поляризация , или просто поляризация ) — это векторное поле , выражающее объемную плотность постоянных или индуцированных электрических дипольных моментов в диэлектрическом материале. Когда диэлектрик помещается во внешнее электрическое поле , его молекулы приобретают электрический дипольный момент , и говорят, что диэлектрик поляризован.

Электрическая поляризация данного образца диэлектрического материала определяется как частное от деления электрического дипольного момента (векторной величины, выражаемой в кулонах * метрах (Кл * м) в единицах СИ ) на объем (метры в кубе). ^{[1] [2]} Плотность поляризации математически обозначается как P ; ^[2] в единицах СИ она выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м ² ).

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал изменяет электрическое поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Ее можно сравнить с намагниченностью , которая является мерой соответствующей реакции материала на магнитное поле в магнетизме .

Подобно ферромагнетикам , которые имеют ненулевую постоянную намагниченность даже при отсутствии внешнего магнитного поля, сегнетоэлектрические материалы имеют ненулевую поляризацию при отсутствии внешнего электрического поля.

Внешнее электрическое поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов.

Связанный заряд — это заряд, который связан с атомом или молекулой внутри материала. Он называется «связанным», потому что он не может свободно перемещаться внутри материала, как свободные заряды . Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются против направления поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но при этом образуется электрический дипольный момент. ^{[3] [4]}

Для некоторого элемента объема в материале, несущего дипольный момент , определим плотность поляризации P :${\displaystyle \Delta V}$${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

В общем случае дипольный момент изменяется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации P диэлектрика внутри бесконечно малого объема d V с бесконечно малым дипольным моментом d p равна:${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} V}}$$

( 1 )

Суммарный заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается .${\displaystyle Q_{b}}$

Такое определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко распространено, хотя в некоторых случаях оно может приводить к двусмысленностям и парадоксам. ^[5]

Пусть объем d V изолирован внутри диэлектрика. Вследствие поляризации положительный связанный заряд сместится на расстояние относительно отрицательного связанного заряда , что приведет к возникновению дипольного момента . Подстановка этого выражения в ( 1 ) дает${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

Поскольку заряд , ограниченный в объеме d V, равен P, уравнение для P становится: ^[3]${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} }$$

( 2 )

где — плотность связанного заряда в рассматриваемом объеме. Из определения выше ясно, что диполи в целом нейтральны и, таким образом, уравновешиваются равной плотностью противоположных зарядов внутри объема. Заряды, которые не уравновешены, являются частью свободного заряда, обсуждаемого ниже.${\displaystyle \rho _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

Для заданного объема V, ограниченного поверхностью S , связанный заряд внутри него равен потоку P через S, взятому с отрицательным знаком, или${\displaystyle Q_{b}}$

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

( 3 )

Доказательство

Пусть площадь поверхности S охватывает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещаться. Пусть d ₁ и d ₂ будут расстояниями связанных зарядов и , соответственно, от плоскости, образованной элементом площади d A после поляризации. И пусть d V ₁ и d V ₂ будут объемами, заключенными ниже и выше площади d A .${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд двигался от внешней части поверхности d A внутрь, а положительный связанный заряд двигался от внутренней части поверхности наружу.${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

По закону сохранения заряда полный связанный заряд, оставшийся внутри объема после поляризации, равен:${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

Так как и (см. изображение справа)$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Уравнение выше становится$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Из ( 2 ) следует, что , поэтому получаем:${\displaystyle \rho _{b}d=P}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

И интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

что завершает доказательство.

По теореме о расходимости закон Гаусса для поля P можно записать в дифференциальной форме как: где ∇ · P — расходимость поля P через заданную поверхность, содержащую плотность связанного заряда .$${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$${\displaystyle \rho _{b}}$

В однородной , линейной, недисперсионной и изотропной диэлектрической среде поляризация совпадает с электрическим полем E и пропорциональна ему : ^[7]$${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

где ε ₀ — электрическая постоянная , а χ — электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем случае это тензор . Это частный случай из-за изотропности диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между P и E , уравнение ( 3 ) становится следующим: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Выражение в интеграле представляет собой закон Гаусса для поля E , который дает полный заряд, как свободный , так и связанный , в объеме V , заключенном в S. ^[3] Следовательно,${\displaystyle (Q_{f})}$${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

что можно записать в терминах плотностей свободного заряда и связанного заряда (рассматривая соотношение между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом):$${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

Поскольку внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов , из последнего уравнения следует, что в материале нет объемного связанного заряда . И поскольку свободные заряды могут приближаться к диэлектрику как к его верхней поверхности, то отсюда следует, что поляризация приводит только к поверхностной связанной плотности заряда (обозначенной для избежания двусмысленности объемной связанной плотностью заряда ). ^[3]${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$может быть связана с P следующим уравнением: ^[8] где - нормальный вектор к поверхности S , направленный наружу. ( строгое доказательство см. в плотности заряда )$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не совпадают по направлению, называется анизотропными материалами.

В таких материалах i -я компонента поляризации связана с j -й компонентой электрического поля следующим образом: ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, если приложить поле в направлении z, и т. д. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается областью кристаллооптики .

Как и в большинстве случаев электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними полями и плотностью диполей, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов, которое пренебрегает поведением атомного масштаба. Поляризуемость отдельных частиц в среде может быть связана со средней восприимчивостью и плотностью поляризации соотношением Клаузиуса–Моссотти .

В общем случае восприимчивость является функцией частоты ω приложенного поля. Когда поле является произвольной функцией времени t, поляризация является сверткой преобразования Фурье χ ( ω ) с E ( t ) . Это отражает тот факт , что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, и соображения причинности приводят к соотношениям Крамерса–Кронига .

Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной и описывается областью нелинейной оптики . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, предполагая, что постоянные дипольные моменты отсутствуют) P обычно задается рядом Тейлора по E , коэффициентами которого являются нелинейные восприимчивости:

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

где — линейная восприимчивость, — восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как эффект Поккельса , оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), — восприимчивость третьего порядка (описывающая эффекты третьего порядка, такие как эффект Керра и оптическое выпрямление, вызванное электрическим полем).${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

В сегнетоэлектрических материалах взаимно -однозначное соответствие между P и E отсутствует из-за гистерезиса .

Поведение электрических полей ( E , D ), магнитных полей ( B , H ), плотности заряда ( ρ ) и плотности тока ( J ) описывается уравнениями Максвелла в веществе .

С точки зрения объемной плотности заряда, плотность свободного заряда определяется выражением${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

где — общая плотность заряда. Рассматривая отношение каждого из членов приведенного выше уравнения к дивергенции соответствующих им полей (электрического поля смещения D , E и P в указанном порядке), это можно записать как: ^[9]${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

Это известно как конститутивное уравнение для электрических полей. Здесь ε ₀ — электрическая диэлектрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении P — это (отрицательное) поле, индуцированное в материале, когда «фиксированные» заряды, диполи, смещаются в ответ на общее лежащее в основе поле E , тогда как D — это поле, обусловленное оставшимися зарядами, известными как «свободные» заряды. ^{[5] [10]}

В общем случае P изменяется как функция E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и свободными зарядами, чем с E и общим зарядом. ^[1]

Таким образом, поляризованную среду, согласно теореме Грина, можно разбить на четыре компонента.

• Плотность связанного объемного заряда:${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• Плотность связанного поверхностного заряда:${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• Плотность свободного объемного заряда:${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• Плотность свободного поверхностного заряда:${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящая от времени плотность связанного заряда создает плотность тока поляризации

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

так что общая плотность тока, входящая в уравнения Максвелла, определяется выражением

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

где J _f — плотность тока свободного заряда, а второй член — плотность тока намагничивания (также называемая плотностью связанного тока ), вклад магнитных диполей атомного масштаба (если они присутствуют).

Поляризация внутри твердого тела, в общем, не определена однозначно. Поскольку объемное твердое тело является периодическим, необходимо выбрать элементарную ячейку, в которой вычисляется поляризация (см. рисунок). ^{[11] [12]} Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же твердое тело, могут вычислить разные значения P , и ни один из них не ошибется. Например, если Алиса выберет элементарную ячейку с положительными ионами наверху, а Боб выберет элементарную ячейку с отрицательными ионами наверху, их вычисленные векторы P будут иметь противоположные направления. Алиса и Боб согласятся относительно микроскопического электрического поля E в твердом теле, но не согласятся относительно значения поля смещения .${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

С другой стороны, даже если значение P не определено однозначно в объемном твердом теле, изменения P определены однозначно. ^{[11] Если кристалл постепенно изменяется от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет ток из-за} движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопическому переносу заряда с одной стороны кристалла на другую, и поэтому его можно измерить с помощью амперметра (как и любой другой ток), когда провода присоединены к противоположным сторонам кристалла. Интеграл тока по времени пропорционален изменению P. Ток можно рассчитать в компьютерном моделировании (например, в теории функционала плотности ); формула для интегрированного тока оказывается типом фазы Берри . ^[11]

Неединственность P не является проблематичной, поскольку каждое измеримое следствие P на самом деле является следствием непрерывного изменения P . ^[11] Например, когда материал помещается в электрическое поле E , которое нарастает от нуля до конечного значения, электронные и ионные положения материала слегка смещаются. Это изменяет P , и результатом является электрическая восприимчивость (и, следовательно, диэлектрическая проницаемость ). В качестве другого примера, когда некоторые кристаллы нагреваются, их электронные и ионные положения слегка смещаются, изменяя P . Результатом является пироэлектричество . Во всех случаях интересующие свойства связаны с изменением P .

Хотя поляризация в принципе не является уникальной, на практике она часто (не всегда) определяется соглашением определенным, уникальным образом. Например, в идеально центросимметричном кристалле P точно равен нулю из-за соображений симметрии.

Это можно увидеть в пироэлектрическом материале. Выше температуры Кюри материал не поляризован и имеет центросимметричную конфигурацию. Понижение температуры ниже температуры Кюри вызывает структурный фазовый переход, который нарушает центросимметричность. P материала растет пропорционально искажению, что позволяет определить его однозначно.

Другая проблема в определении P связана с произвольным выбором «единичного объема», или, точнее, с масштабом системы . ^[5] Например, в микроскопическом масштабе плазму можно рассматривать как газ свободных зарядов, поэтому P должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопическом масштабе ту же плазму можно описать как непрерывную среду, демонстрирующую диэлектрическую проницаемость и, следовательно, чистую поляризацию P ≠ 0 .${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

• Кристаллическая структура
• Сегнетоэлектричество
• Электрет
• Поляризация (значения)

• Медиа, связанные с Электрическая поляризация на Wikimedia Commons