Заостренное пространство

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Pointed space" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2009) (Learn how and when to remove this message)

В математике точечное пространство или базовое пространство — это топологическое пространство с выделенной точкой, базовой точкой . Выделенная точка — это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, которое остается неизменным в ходе последующего обсуждения и отслеживается во время всех операций.${\displaystyle x_{0},}$

Карты точечных пространств ( базированные карты ) являются непрерывными картами , сохраняющими базовые точки, т. е. карта между точечным пространством с базовой точкой и точечным пространством с базовой точкой является базированной картой, если она непрерывна относительно топологий и и если Это обычно обозначается${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Точечные пространства играют важную роль в алгебраической топологии , особенно в теории гомотопий , где многие конструкции, такие как фундаментальная группа , зависят от выбора базовой точки.

Концепция точечного множества менее важна; в любом случае это случай точечного дискретного пространства .

Точечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительной топологии , где подмножество является одной точкой. Таким образом, большая часть теории гомотопии обычно разрабатывается на точечных пространствах, а затем переносится на относительные топологии в алгебраической топологии .

Класс всех точечных пространств образует категорию Top с базовой точкой, сохраняющей непрерывные отображения как морфизмы . Другой способ думать об этой категории — как о категории запятой , ( Top ) где — любое одноточечное пространство, а Top — категория топологических пространств . (Это также называется категорией кослайса , обозначаемой Top .) Объекты в этой категории — непрерывные отображения Такие отображения можно рассматривать как выбор базовой точки в Морфизмы в ( Top ) — это морфизмы в Top, для которых следующая диаграмма коммутирует :_{${\displaystyle \bullet }$}${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$${\displaystyle \{\bullet \}/}$${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$

Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию сохранения базисных точек.${\displaystyle f}$

Как заостренное пространство, является нулевым объектом в Top , в то время как в Top он является лишь конечным объектом .${\displaystyle \{\bullet \}}$_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}

Существует забывчивый функтор Top Top , который «забывает», какая точка является базовой точкой. Этот функтор имеет левый сопряженный , который назначает каждому топологическому пространству непересекающееся объединение и одноточечное пространство, единственный элемент которого принимается за базовую точку._{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\bullet \}}$

• Подпространство точечного пространства — это топологическое подпространство , которое имеет общую базовую точку с , так что отображение включения сохраняет базовую точку.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$
• Можно образовать фактор- пространство с точкой по любому отношению эквивалентности . Базовая точка фактор-пространства является образом базовой точки в под отображением фактор-пространства.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Можно образовать произведение двух точечных пространств как топологическое произведение, используя в качестве базовой точки.${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$
• Копроизведение в категории пунктирных пространств — это сумма клиньев , которую можно рассматривать как «одноточечное объединение» пространств.
• Разбитое произведение двух точечных пространств по сути является частным прямого произведения и суммы клина. Мы хотели бы сказать, что разбитое произведение превращает категорию точечных пространств в симметричную моноидальную категорию с точечным 0-сферой в качестве единичного объекта, но это неверно для общих пространств: условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно порожденные слабые хаусдорфовы .
• Приведенная подвеска заостренного пространства есть (с точностью до гомеоморфизма ) произведение сжатого пространства и заостренной окружности${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{1}.}$
• Приведенная подвеска — это функтор из категории пунктированных пространств в себя. Этот функтор является левым сопряженным к функтору, переводящему пунктированное пространство в его пространство петель .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

• Категория групп  – категория групп и групповые гомоморфизмыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория метрических пространств  – математическая категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами – невозрастающие расстояния отображения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория множеств  – Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств  – категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами – непрерывные отображения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория топологических векторных пространств  – Топологическая категория

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (сентябрь 1998). Категории для работающего математика (второе издание). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• обсуждение на mathoverflow нескольких базовых точек и группоидов