Сверхкатегория

В математике, в частности в теории категорий , надкатегория (также называемая категорией среза), а также подкатегория (также называемая категорией косреза) — это выделенный класс категорий , используемых в нескольких контекстах, например, с покрывающими пространствами (espace etale) . Они были введены как механизм для отслеживания данных, окружающих фиксированный объект в некоторой категории . Существует двойственное понятие подкатегории, которое определяется аналогично.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Пусть будет категорией и фиксированным объектом из ^{[1] стр} . 59. Надкатегория (также называемая категорией среза ) — это ассоциированная категория, объекты которой являются парами, где — морфизм в . Тогда морфизм между объектами задается морфизмом в категории таким образом, что следующая диаграмма коммутирует${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$${\displaystyle (А,\пи)}$${\displaystyle \пи :A\до X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f:(A,\пи )\to (A',\пи ')}$${\displaystyle f:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\пи \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \пи '\\X&=&X\end{matrix}}}$

Существует двойственное понятие, называемое подкатегорией (также называемой категорией кослайса ) , объектами которой являются пары , где — морфизм в . Тогда морфизмы в задаются морфизмами в , так что следующая диаграмма коммутирует${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle (B,\psi)}$${\displaystyle \psi :X\to B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle g:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

Эти два понятия имеют обобщения в теории 2 категорий ^[2] и теории высших категорий ^{[3] на стр. 43} , причем определения либо аналогичны, либо по сути одинаковы.

Многие категориальные свойства наследуются связанными над- и подкатегориями для объекта . Например, если имеет конечные продукты и копродукты , то это немедленно категории и имеют эти свойства, поскольку продукт и копродукт могут быть построены в , и через универсальные свойства существует уникальный морфизм либо в , либо из . Кроме того, это применимо также к пределам и копределам .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Напомним, что сайт — это категориальное обобщение топологического пространства, впервые введенное Гротендиком . Один из канонических примеров напрямую исходит из топологии, где категория, объекты которой являются открытыми подмножествами некоторого топологического пространства , а морфизмы задаются отображениями включения. Тогда для фиксированного открытого подмножества надкатегория канонически эквивалентна категории для индуцированной топологии на . Это происходит потому, что каждый объект в является открытым подмножеством, содержащимся в .${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{Открыть}}(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\text{Открыть}}(X)/U}$${\displaystyle {\text{Открыто}}(U)}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle {\text{Открыть}}(X)/U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

Категория коммутативных - алгебр эквивалентна подкатегории для категории коммутативных колец. Это происходит потому, что структура -алгебры на коммутативном кольце напрямую кодируется кольцевым морфизмом . Если мы рассмотрим противоположную категорию, то это надкатегория аффинных схем, , или просто .${\displaystyle А}$${\displaystyle A/{\text{CRing}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)}$${\displaystyle {\text{Афф}}_{А}}$

Другая распространенная надкатегория, рассматриваемая в литературе, — это надкатегории пространств, такие как схемы, гладкие многообразия или топологические пространства. Эти категории кодируют объекты относительно фиксированного объекта, такие как категория схем над , . Волоконные произведения в этих категориях можно считать пересечениями, учитывая, что объекты являются подобъектами фиксированного объекта.${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$

• Категория запятой