Топология подпространства

В топологии и смежных областях математики подпространство топологического пространства X — это подмножество S из X , которое снабжено топологией , индуцированной из топологии X , называемой топологией подпространства ^[1] (или относительной топологией ^[1] , или индуцированной топологией ^[1] , или топологией следа ^[2] .

При наличии топологического пространства и подмножества топология подпространства на определяется как${\displaystyle (X,\тау)}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

То есть подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда, когда оно является пересечением с открытым множеством в . Если снабжено топологией подпространства , то оно является топологическим пространством само по себе и называется подпространством . Подмножества топологических пространств обычно считаются снабженными топологией подпространства , если не указано иное.${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\тау)}$

В качестве альтернативы мы можем определить топологию подпространства для подмножества как самую грубую топологию, для которой отображение включения${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

является непрерывным .

В более общем случае предположим, что есть инъекция из множества в топологическое пространство . Тогда топология подпространства на определяется как грубейшая топология, для которой является непрерывной. Открытые множества в этой топологии — это в точности множества вида для открыто в . Тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением .${\displaystyle \йота}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \йота}$${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \йота}$

Подпространство называется открытым подпространством, если инъекция является открытым отображением , т.е. если прямой образ открытого множества открыт в . Аналогично оно называется замкнутым подпространством, если инъекция является замкнутым отображением .${\displaystyle S}$${\displaystyle \йота}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \йота}$

Различие между множеством и топологическим пространством часто размывается в обозначениях для удобства, что может стать источником путаницы при первом столкновении с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда является подмножеством , а является топологическим пространством, то неукрашенные символы " " и " " часто могут использоваться для обозначения как и рассматриваемого как два подмножества , а также и как топологические пространства, связанные, как обсуждалось выше. Поэтому такие фразы, как " открытое подпространство ", используются для обозначения того, что является открытым подпространством , в смысле, использованном выше; то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства.${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$

Далее представлены действительные числа с их обычной топологией.${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Топология подпространства натуральных чисел , как подпространства , является дискретной топологией .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Рациональные числа, рассматриваемые как подпространство , не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством в , поскольку не существует открытого подмножества , пересечение которого с может дать только один элемент {0}). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и замкнуты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b является как открытым, так и замкнутым.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Множество [0,1] как подпространство является как открытым, так и замкнутым, тогда как как подмножество является только замкнутым.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Как подпространство , [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также являются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пусть S = [0, 1) будет подпространством действительной прямой . Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыто в S, но не в (например, пересечение между (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) и S дает [0, 1 ⁄ 2 )). Аналогично [ 1 ⁄ 2 , 1) замкнуто в S , но не в (так как нет открытого подмножества , которое может пересечься с [0, 1) и дать [ 1 ⁄ 2 , 1)). S одновременно открыто и замкнуто как подмножество самого себя, но не как подмножество .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Топология подпространства имеет следующее характеристическое свойство. Пусть будет подпространством и пусть будет отображением включения. Тогда для любого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно составное отображение .${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\to X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Z\to Y}$${\displaystyle i\circ f}$

Это свойство является характерным в том смысле, что его можно использовать для определения топологии подпространства на .${\displaystyle Y}$

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространства. В дальнейшем пусть будет подпространством .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• Если непрерывно, то ограничение на непрерывно.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$
• Если непрерывен, то непрерывен.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• Замкнутые множества в являются в точности пересечениями с замкнутыми множествами в .${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Если является подпространством , то также является подпространством с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, которая наследуется от , та же самая, что и та, от которой оно наследуется .${\displaystyle А}$${\displaystyle S}$${\displaystyle А}$${\displaystyle X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Предположим, что является открытым подпространством (так что ). Тогда подмножество открыто в тогда и только тогда, когда оно открыто в .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Предположим, что является замкнутым подпространством (так что ). Тогда подмножество замкнуто в тогда и только тогда, когда оно замкнуто в .${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• Если есть основа для , то есть основа для .${\displaystyle Б}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$${\displaystyle S}$
• Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства путем ограничения метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.

Если топологическое пространство, имеющее некоторое топологическое свойство, подразумевает, что его подпространства имеют это свойство, то мы говорим, что свойство наследственное . Если только замкнутые подпространства должны разделять свойство, мы называем его слабо наследственным .

• Каждое открытое и каждое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
• Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
• Каждое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
• Принадлежность к Хаусдорфовому пространству передается по наследству.
• Нормальное пространство слабо наследуется.
• Полная ограниченность наследственна.
• Полная оторванность от мира передается по наследству.
• Первая счетность и вторая счетность являются наследственными.

• двойственное понятие фактор-пространства
• топология продукта
• топология прямой суммы

• Бурбаки, Николя , Элементы математики: Общая топология , Эддисон-Уэсли (1966)
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6