Критерий Переса–Городецки

Критерий Переса–Городецки является необходимым условием для того, чтобы совместная матрица плотности двух квантово-механических систем и была разделимой . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В размерностях 2×2 и 2×3 это условие также является достаточным. Оно используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта неприменимо. Теорема была открыта в 1996 году Эшером Пересом ^[1] и семьей Городецки ( Михал , Павел и Рышард ) ^[2].${\displaystyle \ро}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$

В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более сложными тестами, например, основанными на свидетельствах запутанности .

Если у нас есть общее состояние , которое действует на гильбертово пространство${\displaystyle \ро}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Его частичная транспонированность (по отношению к стороне B) определяется как

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}:=(I\otimes T)(\rho)=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes ( |k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$

Обратите внимание, что частичное в названии подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее, карта идентичности применяется к стороне A, а карта транспозиции применяется к стороне B.${\displaystyle (I\otimes T)(\rho )}$

Это определение можно увидеть более наглядно, если записать состояние в виде блочной матрицы:

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}&&&A_{nn}\end{pmatrix}}}$

Где , и каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности . Тогда частичное транспонирование равно${\displaystyle n=\dim {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle m=\dim {\mathcal {H}}_{B}}$

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\begin{pmatrix}A_{11}^{T}&A_{12}^{T}&\dots &A_{1n}^{T}\\A_{21}^{T}&A_{22}^{T}&&\\\vdots &&\ddots &\\A_{n1}^{T}&&&A_{nn}^{T}\end{pmatrix}}}$

Критерий гласит, что если является сепарабельным, то все собственные значения неотрицательны . Другими словами, если имеет отрицательное собственное значение, гарантированно будет запутанным . Обратное этих утверждений верно тогда и только тогда, когда размерность пространства произведения равна или .${\displaystyle \ро \;\!}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle \ро \;\!}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 3}$

Результат не зависит от транспонированной стороны, поскольку .${\displaystyle \rho ^{T_{A}}=(\rho ^{T_{B}})^{T}}$

Рассмотрим это 2-кубитное семейство состояний Вернера :

${\displaystyle \rho =p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Его можно рассматривать как выпуклую комбинацию , максимально запутанного состояния , и элемента тождества, максимально смешанного состояния.${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle }$

Его матрица плотности

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

и частичное транспонирование

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

Его наименьшее собственное значение равно . Следовательно, состояние запутано для .${\displaystyle (1-3п)/4}$${\displaystyle 1\geq p>1/3}$

Если ρ разделимо, то его можно записать как

${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B}}$

В этом случае эффект частичной транспозиции тривиален:

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}=(I\otimes T)(\rho )=\sum p_{i}\rho _{i}^{A}\otimes (\rho _{i}^{B})^{T}}$

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр совпадает со спектром , и, в частности, должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, также должен быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}\;\!}$${\displaystyle (\rho _{i}^{B})^{T}}$${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$

Показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3), сложнее. Городецки показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы и вызывает теорему Хана–Банаха (см. ссылку ниже).

Из существования свидетелей запутанности можно показать, что положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием для разделимости ρ, где Λ отображается в${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$

Более того, каждое положительное отображение из в можно разложить в сумму вполне положительных и вполне коположительных отображений, когда и . Другими словами, каждое такое отображение Λ можно записать как${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{B})=2}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A})=2\;{\textrm {or}}\;3}$

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}+\Lambda _{2}\circ T,}$

где и полностью положительны, а T — отображение транспонирования. Это следует из теоремы Штёрмера-Вороновича.${\displaystyle \Lambda _{1}}$${\displaystyle \Lambda _{2}}$

Грубо говоря, отображение транспонирования является единственным, которое может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Так что если положительно, положительно для любого Λ. Таким образом, мы приходим к выводу, что критерий Переса–Городецки также достаточен для разделимости, когда .${\displaystyle \rho ^{T_{B}}}$${\displaystyle I\otimes \Lambda (\rho )}$${\displaystyle {\textrm {dim}}({\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B})\leq 6}$

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые не могут быть разложены таким образом, и критерий больше не является достаточным. Следовательно, существуют запутанные состояния, которые имеют положительную частичную транспонированную. Такие состояния обладают интересным свойством, что они связаны запутанными , т. е. их нельзя очистить для целей квантовой коммуникации .

Критерий Переса–Городецки был распространен на непрерывные переменные системы. Раджа Саймон ^[3] сформулировал конкретную версию критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -mode гауссовых состояний (см. ^[4] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позднее было обнаружено ^[5] , что условие Саймона также необходимо и достаточно для -mode гауссовых состояний, но больше не достаточно для -mode гауссовых состояний. Условие Саймона можно обобщить, приняв во внимание моменты более высокого порядка канонических операторов ^{[6] [7]} или используя энтропийные меры. ^{[8] [9]}${\displaystyle 1\oplus 1}$${\displaystyle 1\oplus n}$${\displaystyle 2\oplus 2}$

Для симметричных состояний двухчастичных систем положительность частично транспонированной матрицы плотности связана со знаком определенных двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

${\displaystyle \rho F_{AB}=F_{AB}\rho =\rho ,}$

выполняется, где — оператор переворота или обмена, меняющий местами две стороны и . Полный базис симметричного подпространства имеет вид с и Здесь для и должно выполняться, где — размерность двух сторон.${\displaystyle F_{AB}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (\vert n\rangle _{A}\vert m\rangle _{B}+\vert m\rangle _{A}\vert n\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle \vert n\rangle _{A}\vert n\rangle _{B}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle 0\leq n,m\leq d-1}$${\displaystyle d}$

Можно показать, что для таких состояний имеет место положительная частичная транспонировка тогда и только тогда, когда ^[10]${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }\geq 0}$

выполняется для всех операторов. Следовательно, если выполняется для некоторых , то состояние обладает не-PPT- запутанностью .${\displaystyle M.}$${\displaystyle \langle M\otimes M\rangle _{\rho }<0}$${\displaystyle M}$

Более того, двудольное симметричное состояние PPT можно записать как

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}\otimes M_{k},}$

где — вероятности и выполняют и Однако для подсистемы, большей, чем кубит, не обязательно являются физическими чистыми матрицами плотности, поскольку они могут иметь отрицательные собственные значения. В этом случае даже запутанные состояния могут быть записаны как смесь тензорных произведений односторонних афизических состояний, очень похожая на форму разделимых состояний . В случае кубита — физические матрицы плотности, что согласуется с тем фактом, что для двух кубитов все состояния PPT разделимы.${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k})=1}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{2})=1.}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$

Концепция таких псевдосмесей была расширена на несимметричные состояния и на многосоставной случай с помощью определения псевдосепарабельных состояний ^[11]

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}M_{k}^{(1)}\otimes M_{k}^{(2)}\otimes ...\otimes M_{k}^{(N)},}$

где — число подсистем и выполняются и Физические состояния одной подсистемы — это просто состояния, которые живут на эквиваленте сферы Блоха более высокого измерения даже для систем, которые больше кубита. Разделимые состояния — это подмножество множества спейдоразделимых состояний, в то время как для кубитов эти два множества совпадают друг с другом. Для систем, больших кубитов, такие квантовые состояния могут быть запутанными, и в этом случае они могут иметь PPT или не-PPT двудольные состояния.${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$${\displaystyle {\rm {Tr}}(M_{k}^{(n)})=1}$${\displaystyle {\rm {Tr}}[(M_{k}^{(n)})^{2}]=1.}$${\displaystyle M_{k}^{(n)}}$

• Кароль Жичковский и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний, Cambridge University Press, 2006
• Воронович, СЛ (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Reports on Mathematical Physics . 10 (2): 165– 183. Bibcode : 1976RpMP...10..165W. doi : 10.1016/0034-4877(76)90038-0.