Перегонка запутанности

Дистилляция запутанности (также называемая очисткой запутанности ) — это преобразование N копий произвольного запутанного состояния в некоторое количество приблизительно чистых пар Белла с использованием только локальных операций и классической коммуникации . Дистилляция запутанности может преодолеть дегенеративное влияние шумных квантовых каналов ^[1] путем преобразования ранее общих, менее запутанных пар в меньшее количество максимально запутанных пар.${\displaystyle \ро}$

Пределы для разбавления и дистилляции запутанности были установлены CH Bennett , H. Bernstein, S. Popescu и B. Schumacher ^[2] , которые представили первые протоколы дистилляции для чистых состояний в 1996 году; ^{[ требуется ссылка ]} протоколы дистилляции запутанности для смешанных состояний были введены Bennett, Brassard , Popescu, Schumacher, Smolin и Wootters ^[3] в том же году. Bennett, DiVincenzo , Smolin и Wootters ^[1] установили связь с квантовой коррекцией ошибок в новаторской статье, опубликованной в августе 1996 года, также в журнале Physical Review, которая стимулировала множество последующих исследований. ^{[ требуется ссылка ]}

Предположим, что две стороны, Алиса и Боб , хотели бы передать классическую информацию по шумному квантовому каналу. Как классическая, так и квантовая информация может быть передана по квантовому каналу путем кодирования информации в квантовом состоянии. Обладая этими знаниями, Алиса кодирует классическую информацию, которую она намеревается отправить Бобу, в (квантовом) состоянии продукта, как тензорное произведение матриц уменьшенной плотности , где каждая является диагональной и может использоваться только как одноразовый вход для конкретного канала .${\displaystyle p_{1}\otimes p_{2}\otimes \cdots }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon}$

Точность шумного квантового канала является мерой того, насколько близко выход квантового канала напоминает вход, и, следовательно, является мерой того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию. Если чистое состояние отправляется в квантовый канал, возникает как состояние, представленное матрицей плотности , точность передачи определяется как .${\displaystyle \пси}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F=\langle \psi |p|\psi \rangle }$

Проблема, с которой теперь сталкиваются Алиса и Боб, заключается в том, что квантовая коммуникация на больших расстояниях зависит от успешного распределения высокозапутанных квантовых состояний , и из-за неизбежного шума в каналах квантовой связи качество запутанных состояний обычно экспоненциально уменьшается с длиной канала как функция точности канала. Дистилляция запутанности решает эту проблему поддержания высокой степени запутанности между распределенными квантовыми состояниями путем преобразования N копий произвольного запутанного состояния в приблизительно пары Белла, используя только локальные операции и классическую коммуникацию. Цель состоит в том, чтобы разделить сильно коррелированные кубиты между удаленными сторонами (Алисой и Бобом), чтобы обеспечить надежную квантовую телепортацию или квантовую криптографию .${\displaystyle \ро}$${\displaystyle S(\rho)N}$

Энтропия запутанности количественно определяет запутанность. Было предложено несколько различных определений.

Энтропия фон Неймана является мерой «квантовой неопределенности» или «квантовой случайности», связанной с квантовым состоянием, аналогичной концепции энтропии Шеннона в классической теории информации. ^{[4] : 880} Энтропия фон Неймана измеряет, насколько «смешанным» или «чистым» является квантовое состояние. Чистые состояния (например, состояния, которые полностью определены, как ) имеют энтропию фон Неймана, равную 0. В чистых состояниях нет неопределенности относительно состояния системы. Смешанные состояния (например, вероятностные смеси чистых состояний) имеют положительное значение энтропии, отражающее присущую неопределенность в состоянии системы.${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$

Для данной квантовой системы энтропия фон Неймана определяется как: ^[5]${\displaystyle S}$

${\displaystyle S(\rho )=-{\textrm {Tr}}~(\rho ~log~\rho ),}$

где — матрица плотности, представляющая состояние квантовой системы, а \textrm{Tr} обозначает операцию трассировки, суммирование по диагональным элементам матрицы. ${\displaystyle \ро}$

Для максимально смешанного состояния (где все состояния равновероятны) энтропия фон Неймана максимальна. Энтропия фон Неймана инвариантна относительно унитарных преобразований, что означает, что если преобразуется унитарной матрицей , . Она широко используется в квантовой теории информации для изучения запутанности, квантовой термодинамики и когерентности квантовых систем. ^[6]${\displaystyle \ро}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S(U\rho ~U^{\dagger })=S(\rho )}$

Энтропия Реньи представляет собой обобщение различных концепций энтропии в зависимости от параметра , который регулирует чувствительность меры энтропии к различным вероятностям. ^[7]${\displaystyle \альфа}$

Для квантового состояния, представленного матрицей плотности , энтропия Реньи порядка определяется как: ^[8]${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \альфа}$

${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )={\frac {1}{1-\alpha }}log~Tr~(\rho ^{\alpha })}$

где находится след от возведенного в степень .${\displaystyle Tr~(\rho ^{\alpha })}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \альфа}$

Энтропия Реньи является невозрастающей функцией , что означает, что более высокие значения подчеркивают более вероятные результаты сильнее, что приводит к более низкому значению энтропии. Различные значения позволяют энтропии Реньи выделять различные аспекты распределения вероятностей (или квантового состояния), при этом более высокие значения подчеркивают высоковероятные события. Энтропия Реньи часто используется в таких контекстах, как фрактальные измерения, обработка сигналов и статистическая механика, где полезна гибкая мера неопределенности или разнообразия. ^[9]${\displaystyle H_{\альфа}(P)}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \альфа}$

В качестве примера энтропии Реньи двухкубитную систему можно записать как суперпозицию возможных вычислительных базисных состояний кубита: , каждое из которых имеет связанный с ним комплексный коэффициент :${\displaystyle |00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle}$${\displaystyle \альфа \,\!}$$${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11 \rangle }$$

Как и в случае с одним кубитом, вероятность измерения конкретного состояния вычислительного базиса равна квадрату модуля его амплитуды или связанного коэффициента, , при условии нормализации . Условие нормализации гарантирует, что сумма вероятностей составит 1, что означает, что при измерении будет наблюдаться одно из состояний. ${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |\альфа _{x}|^{2}\,\!}$${\textstyle \sum _{x\in {0,1}}|\alpha _{x}|^{2}=1}$

Состояние Белла является особенно важным примером двухкубитного состояния:${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

Состояния Белла обладают свойством, что результаты измерений на двух кубитах коррелируют. Как видно из выражения выше, два возможных результата измерений — ноль и единица, оба с вероятностью 50%. В результате измерение второго кубита всегда дает тот же результат, что и измерение первого кубита.

Состояния Белла можно использовать для количественной оценки запутанности. Пусть m будет числом высокоточных копий состояния Белла, которые можно создать с помощью локальных операций и классической коммуникации ( LOCC ). При большом количестве состояний Белла количество запутанности, присутствующей в чистом состоянии, можно определить как отношение , где — число состояний, преобразующихся в состояние Белла, называемое дистиллируемой запутанностью конкретного состояния , что дает количественную меру количества запутанности, присутствующей в данной системе. Процесс дистилляции запутанности направлен на насыщение этого предельного отношения. Число копий чистого состояния, которые могут быть преобразованы в максимально запутанное состояние, равно энтропии фон Неймана состояния, которая является расширением концепции классической энтропии для квантовых систем. Математически для заданной матрицы плотности энтропия фон Неймана равна . Запутанность затем можно количественно оценить как энтропию запутанности, которая является энтропией фон Неймана либо , либо как:${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle н/м}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle S(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S(p)}$${\displaystyle S(p)=-\mathrm {Tr} (p\ln p)}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle p_{B}}$$${\displaystyle E=-\mathrm {Tr} (p_{A}\ln p_{A})=-\mathrm {Tr} (p_{B}\ln p_{B}),}$$

Который варьируется от 0 для состояния продукта до для максимально запутанного состояния (если заменить на , то максимально запутанное состояние будет иметь значение 1).${\displaystyle \ln 2}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \log _{2}}$

При наличии n частиц в синглетном состоянии, совместно используемых Алисой и Бобом, локальных действий и классической коммуникации будет достаточно для подготовки m произвольно хороших копий с выходом${\displaystyle \фи}$

${\displaystyle {\frac {m}{n}}\to {\frac {1}{E(\phi)}}}$как .${\displaystyle n\to \infty }$

Пусть запутанное состояние имеет разложение Шмидта : где коэффициенты p(x) образуют распределение вероятностей , и, таким образом, имеют положительные значения и в сумме дают единицу . Тогда тензорное произведение этого состояния равно,${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{x}{\sqrt {p(x)}}|x_{A}\rangle |x_{B}\rangle }$$$${\displaystyle |\psi \rangle ^{\otimes m}=\sum _{x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}{\sqrt {p(x_{1})p(x_{2})\dots p(x_{m})}}|x_{1A}x_{2A}\dots x_{mA}\rangle |x_{1B}x_{2B}\dots x_{mB}\rangle }$$

Теперь, опуская все члены , которые не являются частью какой-либо последовательности, которая может возникнуть с высокой вероятностью, известной как типичный набор : новое состояние${\displaystyle x_{1},\точки ,x_{м}}$${\displaystyle A_{\epsilon }^{(n)}}$$${\displaystyle |\phi _{m}\rangle =\sum _{x\epsilon A_{\epsilon }^{(n)}}{\sqrt {p(x_{1})p(x_{2})\dots p(x_{m})}}|x_{1A}x_{2A}\dots x_{mA}\rangle |x_{1B}x_{2B}\dots x_{mB}\rangle }$$

И перенормировка,$${\displaystyle |\phi _{m}'\rangle = {\frac {|\phi _{m}\rangle }{\sqrt {\langle \phi _{m}|\phi _{m}\rangle } }}}$$

Тогда верность

${\displaystyle F(|\psi \rangle ^{\otimes m},|\phi _{m}^{'}\rangle )\to 1}$как .${\displaystyle m\to \infty }$

Предположим, что Алиса и Боб обладают m копиями . Алиса может выполнить измерение на типичном подмножестве множества , преобразуя состояние с высокой точностью. Теорема о типичных последовательностях затем показывает нам, что есть вероятность того, что данная последовательность является частью типичного множества, и может быть сделана произвольно близкой к 1 для достаточно большого m, и, следовательно, коэффициенты Шмидта перенормированного состояния Белла будут не более чем на фактор больше. Теперь Алиса и Боб могут получить меньший набор из n состояний Белла, выполнив LOCC на состоянии , с которым они могут преодолеть шум квантового канала для успешной связи.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle A_{\epsilon }^{(n)}}$${\displaystyle p_{\psi }\,\!}$${\displaystyle |\psi \rangle ^{\otimes m}\rightarrow |\phi _{m}\rangle }$${\displaystyle 1-\дельта}$${\displaystyle |\phi _{m}'\rangle }$${\textstyle {1}/{\sqrt {1-\delta }}}$${\displaystyle |\phi _{m}'\rangle }$

Разработано множество методов для выполнения дистилляции запутанности для смешанных состояний, дающих нижние границы значения дистиллируемой запутанности для определенных классов состояний .${\displaystyle D(п)}$${\displaystyle p}$

Один из распространенных методов заключается в том, что Алиса не использует шумный канал для прямой передачи исходных состояний, а вместо этого готовит большое количество состояний Белла, отправляя половину каждой пары Белла Бобу. Результатом передачи через шумный канал является создание смешанного запутанного состояния , так что Алиса и Боб в конечном итоге делятся копиями . Затем Алиса и Боб выполняют дистилляцию запутанности, создавая почти идеально запутанные состояния из смешанных запутанных состояний , выполняя локальные унитарные операции и измерения над общими запутанными парами, координируя свои действия посредством классических сообщений и жертвуя некоторыми запутанными парами, чтобы повысить чистоту оставшихся. Теперь Алиса может подготовить состояние кубита и телепортировать его Бобу, используя пары Белла, которыми они делятся с высокой точностью. Затем Алиса и Боб эффективно добились того, что смоделировали бесшумный квантовый канал с использованием шумного с помощью локальных действий и классической коммуникации.${\displaystyle p}$${\displaystyle м}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m\cdot D(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m\cdot D(p)}$${\displaystyle m\cdot D(p)}$

Пусть будет общим смешанным состоянием двух частиц со спином 1/2 , которое могло бы возникнуть в результате передачи изначально чистого синглетного состояния через шумный канал между Алисой и Бобом, который будет использоваться для выделения некоторой чистой запутанности. Точность M является удобным выражением его чистоты относительно идеального синглета. Предположим, что M уже является чистым состоянием двух частиц для некоторого . Запутанность для , как уже установлено, является энтропией фон Неймана, где и аналогично для , представляют собой приведенные матрицы плотности для любой частицы. Затем используется следующий протокол: ^[3]${\displaystyle М}$$${\displaystyle \psi ^{-}=(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}}$$$${\displaystyle F=\langle \psi ^{-}|M|\psi ^{-}\rangle }$$${\displaystyle M=|\phi \rangle \langle \phi |}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle E(\phi )=S(p_{A})=S(p_{B})}$$${\displaystyle p_{A}=\operatorname {tr} _{B}^{}(|\phi \rangle \langle \phi |),}$$${\displaystyle p_{B}}$

1. Выполнение случайного двустороннего вращения на каждой общей паре, выбор случайного вращения SU(2) независимо для каждой пары и локальное его применение к обоим членам пары преобразует исходное общее двухспиновое смешанное состояние M во вращательно-симметричную смесь синглетного состояния и трех триплетных состояний и : Состояние Вернера имеет ту же чистоту F, что и исходное смешанное состояние M, из которого оно было получено, из-за инвариантности синглета относительно двусторонних вращений.${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \phi ^{\pm }}$$${\displaystyle W_{F}=F\cdot |\psi ^{-}\rangle \langle \psi ^{-}|+{\frac {1-F}{3}}|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|+{\frac {1-F}{3}}|\psi ^{+}\rangle \langle \psi ^{+}|+{\frac {1-F}{3}}|\phi ^{-}\rangle \langle \phi ^{-}|}$$ ${\displaystyle W_{F}}$
2. Затем каждая из двух пар подвергается одностороннему вращению, которое мы можем назвать , что приводит к их преобразованию из преимущественно вернеровских состояний в преимущественно состояния с большим компонентом , в то время как компоненты трех других состояний Белла равны.${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \phi ^{+}}$${\displaystyle F>{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \phi ^{+}}$
3. Затем два нечистых состояния подвергаются воздействию двустороннего XOR , после чего целевая пара локально измеряется вдоль оси z. Неизмеренная исходная пара сохраняется, если спины целевой пары выходят параллельно, как в случае, когда оба входа являются истинными состояниями; в противном случае она отбрасывается.${\displaystyle \phi ^{+}}$${\displaystyle \phi ^{+}}$
4. Если исходная пара не была отброшена, она преобразуется обратно в преимущественное состояние путем одностороннего вращения и становится вращательно-симметричной путем случайного двустороннего вращения.${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Повторение описанного выше протокола позволит выделить состояния Вернера, чистота которых может быть выбрана произвольно высокой из набора M входных смешанных состояний чистоты, но с выходом, стремящимся к нулю в пределе . Выполняя еще одну двустороннюю операцию XOR, на этот раз над переменным числом исходных пар, а не 1, в каждой целевой паре перед ее измерением, выход можно приблизить к положительному пределу как . Затем этот метод можно объединить с другими, чтобы получить еще более высокий выход.${\displaystyle F_{\text{out}}<1}$${\textstyle F_{\text{in}}>{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle F_{\text{out}}\to 1}$${\textstyle k(F)\approx {\frac {1}{\sqrt {1-F}}}}$${\displaystyle F_{\text{out}}\to 1}$

Протокол BBPSSW ^[10] является одним из самых простых протоколов, который использует вентили CNOT (Controlled-NOT) и измерения для вероятностного увеличения запутанности состояний Белла (стандартные максимально запутанные двухкубитные состояния). Вот пошаговый пример:

Настраивать:

1. Предположим, что Алиса и Боб совместно используют множество копий зашумленного состояния Белла, представленного матрицей плотности: где , и — другие состояния Белла: , , .${\displaystyle \rho _{AB}=p\,|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|+{\frac {1-p}{3}}\sum _{i\neq 0}|\Phi _{i}\rangle \langle \Phi _{i}|}$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$${\displaystyle |\Phi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}$${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle )}$
2. Параметр отображает точность по отношению к , и цель состоит в том, чтобы приблизить его к 1 посредством дистилляции.${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho _{AB}}$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle p}$

Этапы протокола:

1. Операция CNOT: Алиса и Боб берут по два кубита, скажем , и , и применяют вентиль CNOT между парами, причем один кубит каждого состояния является элементом управления, а другой — целевым: , где — сложение по модулю 2. Этот шаг сопоставляет две копии.${\displaystyle \rho _{AB}^{(1)}}$${\displaystyle \rho _{AB}^{(2)}}$${\displaystyle U_{\text{CNOT}}|x\rangle |y\rangle =|x\rangle |x\oplus y\rangle }$${\displaystyle \oplus }$
2. Измерение и постселекция: Алиса и Боб измеряют целевые кубиты в -базисе (измерение 0 или 1). Если оба измеряют один и тот же выход (т. е. 0 или 1), они сохраняют контрольные кубиты и отбрасывают целевые; в противном случае они отбрасывают обе пары. Этот шаг постселекции имеет вероятность успеха, но увеличивает точность оставшейся запутанной пары.${\displaystyle Z}$

Пример расчета:

• После одного раунда, если начальная точность была 0,6, протокол может увеличить ее примерно до 0,8 с некоторой вероятностью.${\displaystyle p}$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$
• Если провести несколько раундов над выжившими парами, можно приблизиться к 1, создав почти идеальное состояние.${\displaystyle p}$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Протокол DEJMPS ^[11] представляет собой оптимизированную версию BBPSSW и особенно хорошо работает для диагональных состояний Белла.

Настройка:
Предположим, что начальное состояние имеет вид: где , и мы предполагаем, что это наибольший коэффициент.${\displaystyle \rho _{AB}=p_{1}|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|+p_{2}|\Psi ^{+}\rangle \langle \Psi ^{+}|+p_{3}|\Phi ^{-}\rangle \langle \Phi ^{-}|+(1-p_{1}-p_{2}-p_{3})|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}=1}$${\displaystyle p_{1}}$

Этапы протокола:

1. Применить локальные унитарные операции: Алиса и Боб применяют унитарные операции к своим кубитам, чтобы преобразовать состояние в форму, в которой может быть максимизировано. Это включает в себя перевороты битов и фаз для обмена состояниями Белла, не влияя на целевое состояние, .${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$
2. Операции CNOT: подобно протоколу BBPSSW, Алиса и Боб применяют операцию CNOT между своими парами.
3. Измерение базиса: после CNOT Алиса и Боб измеряют целевые кубиты в базисе Белла, делая пост-отбор успешных результатов.

Пример расчета:

• Если начальная точность равна 0,6, один раунд DEJMPS может повысить ее более эффективно, чем BBPSSW, приблизив точность к 0,9, в зависимости от значений , и .${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{3}}$${\displaystyle p_{4}}$

Фильтрующие протоколы ^[12] применяют локальные операции фильтрации для вероятностного улучшения запутанности без необходимости использования нескольких пар. Этот подход полезен, когда операции ограничены, например, в квантовой коммуникации на основе фотонов.

Этапы протокола:

1. Рассмотрим зашумленное запутанное состояние: где .${\displaystyle \rho _{AB}=p|\Phi ^{+}\rangle \langle \Phi ^{+}|+(1-p)|00\rangle \langle 00|}$${\displaystyle p<1}$
2. Операторы локальной фильтрации: Алиса и Боб применяют операторы фильтрации и : .${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$${\displaystyle F_{A}={\begin{pmatrix}p&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad F_{B}={\begin{pmatrix}p&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
3. Нормализация и вероятность успеха: После применения фильтров результирующее состояние повторно нормализуется: . Вероятность успешной фильтрации (вероятность успеха) составляет: .${\displaystyle \rho _{AB'}={\frac {(F_{A}\otimes F_{B})\rho _{AB}(F_{A}\otimes F_{B})^{\dagger }}{{\text{Tr}}((F_{A}\otimes F_{B})\rho _{AB}(F_{A}\otimes F_{B})^{\dagger })}}}$
   ${\displaystyle P_{\text{success}}={\text{Tr}}((F_{A}\otimes F_{B})\rho _{AB}(F_{A}\otimes F_{B})^{\dagger })}$
4. Результирующая точность: изначально фильтрация может повысить точность до 0,8 или выше, но она снижает вероятность получения этого результата из-за вероятностной природы фильтра.${\displaystyle p=0.6}$

Прокрустов метод концентрации запутанности может быть использован для всего лишь одной частично запутанной пары, будучи более эффективным, чем метод проекции Шмидта для запутывания менее 5 пар, ^[2] и требует, чтобы Алиса и Боб знали смещение ( ) n пар заранее. Метод получил свое название от Прокруста , потому что он создает идеально запутанное состояние, отсекая дополнительную вероятность, связанную с большим членом в частичной запутанности чистых состояний:${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \cos \theta \left|\uparrow _{A}\right\rangle \otimes \left|\downarrow _{B}\right\rangle -\sin \theta \left|\downarrow _{A}\right\rangle \otimes \left|\uparrow _{B}\right\rangle }$$

Предполагая набор частиц, для которых известно, что является либо меньшим, либо большим, чем прокрустов метод может быть реализован путем сохранения всех частиц, которые при прохождении через поляризационно-зависимый поглотитель или поляризационно-зависимый отражатель, которые поглощают или отражают часть более вероятного результата, не поглощаются и не отклоняются. Следовательно, если у Алисы есть частицы, для которых , она может отделить частицы, которые с большей вероятностью будут измерены в базисе вверх/вниз, и оставить частицы в максимально смешанном состоянии спина вверх и спина вниз. Такая обработка соответствует POVM (измерение с положительным операторным значением). Чтобы получить идеально запутанное состояние двух частиц, Алиса сообщает Бобу результат своего обобщенного измерения, в то время как Боб вообще не измеряет свою частицу, а вместо этого отбрасывает свою, если Алиса отбрасывает свою.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi /4}$${\displaystyle \tan ^{2}\theta }$${\displaystyle \theta \neq \pi /4}$

Целью протокола дистилляции запутанности является выделение чистых ebits из шумных ebits , где . Выход такого протокола составляет . Затем две стороны могут использовать бесшумные ebits для протоколов квантовой связи .${\displaystyle \left[n,k\right]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle k/n}$

Две стороны устанавливают набор общих шумных ebits следующим образом. Отправитель Алиса сначала локально подготавливает состояния Белла . Она отправляет второй кубит каждой пары по шумному квантовому каналу получателю Бобу. Пусть будет состоянием, переставленным так, чтобы все кубиты Алисы находились слева, а все кубиты Боба — справа. Шумный квантовый канал применяет ошибку Паули в наборе ошибок к набору кубитов, отправленных по каналу. Затем отправитель и получатель совместно используют набор шумных ebits в форме , где тождество действует на кубиты Алисы , а некоторый оператор Паули действует на кубиты Боба .${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}}$${\displaystyle \left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle }$${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{\otimes n}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle }$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Протокол дистилляции одностороннего стабилизатора запутанности использует код стабилизатора для процедуры дистилляции. Предположим, что стабилизатор для квантового кода исправления ошибок имеет генераторы . Процедура дистилляции начинается с того, что Алиса измеряет генераторы в . Пусть будет набором проекторов , которые проецируются на ортогональные подпространства, соответствующие генераторам в . Измерение проецируется случайным образом на одно из подпространств. Каждый коммутирует с шумным оператором на стороне Боба, так что${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \left[n,k\right]}$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-k}}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {P} _{i}\right\}}$${\displaystyle 2^{n-k}}$ ${\displaystyle 2^{n-k}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \left(\mathbf {P} _{i}\otimes \mathbf {I} \right)\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left(\mathbf {P} _{i}\otimes \mathbf {I} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle .}$$

Следующее важное тождество матрицы состояний Белла справедливо для произвольной матрицы :${\displaystyle \mathbf {M} }$$${\displaystyle \left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {I} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {M} ^{T}\right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle .}$$

Тогда приведенное выше выражение равно следующему: Таким образом, каждый из проекторов Алисы проецирует кубиты Боба на подпространство, соответствующее спроецированному подпространству Алисы . Алиса восстанавливает свои кубиты в одновременном +1- собственном пространстве генераторов в . Она отправляет результаты своих измерений Бобу. Боб измеряет генераторы в . Боб объединяет свои измерения с измерениями Алисы, чтобы определить синдром ошибки. Он выполняет операцию восстановления на своих кубитах , чтобы обратить ошибку. Он восстанавливает свои кубиты . Алиса и Боб оба выполняют декодирование унитарного соответствующего стабилизатору для преобразования своих логических битов в физические биты .$${\displaystyle \left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left(\mathbf {P} _{i}\otimes \mathbf {I} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left(\mathbf {P} _{i}^{2}\otimes \mathbf {I} \right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle =\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {A} \right)\left(\mathbf {P} _{i}\otimes \mathbf {P} _{i}^{T}\right)\left\vert \Phi _{n}^{+}\right\rangle .}$$${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{T}}$${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Луо и Деветак предоставили простое расширение вышеуказанного протокола (Луо и Деветак 2007). Их метод преобразует код стабилизатора с помощью запутывания в протокол дистилляции с помощью запутывания.

Луо и Деветак формируют протокол дистилляции запутанности, который имеет помощь в запутывании от нескольких бесшумных ebits . Ключевое предположение для протокола дистилляции запутанности с помощью запутывания состоит в том, что Алиса и Боб обладают бесшумными ebits в дополнение к своим бесшумным ebits . Общее состояние бесшумных и бесшумных ebits равно где — единичная матрица, действующая на кубиты Алисы , а бесшумный оператор Паули влияет только на первые кубиты Боба . Таким образом, последние ebits бесшумны, и Алисе и Бобу приходится исправлять ошибки только в первых ebits .${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left(\mathbf {I} ^{A}\otimes \left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}\right)\left\vert \Phi _{n+c}^{+}\right\rangle }$$${\displaystyle \mathbf {I} ^{A}}$${\displaystyle 2^{n+c}\times 2^{n+c}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A\otimes I} \right)^{B}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

Протокол работает точно так же, как описано в предыдущем разделе. Единственное отличие состоит в том, что Алиса и Боб измеряют генераторы в коде стабилизатора с помощью запутывания . Каждый генератор охватывает кубиты , где последние кубиты бесшумны.${\displaystyle n+c}$ ${\displaystyle c}$

Мы комментируем выход этого протокола перегонки с помощью запутывания. Код с помощью запутывания имеет генераторы, каждый из которых имеет записи Паули. Эти параметры подразумевают, что протокол перегонки с помощью запутывания производит ebits. Но протокол потребляет начальные бесшумные ebits в качестве катализатора для перегонки. Следовательно, выход этого протокола равен .${\displaystyle n-k}$${\displaystyle n+c}$${\displaystyle k+c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k/n}$

Обратный процесс дистилляции запутанности — это разбавление запутанности, где большие копии состояния Белла преобразуются в менее запутанные состояния с использованием LOCC с высокой точностью. Целью процесса разбавления запутанности, таким образом, является насыщение обратного отношения n к m, определяемого как дистиллируемая запутанность.

Помимо важного применения в квантовой коммуникации, очистка запутанности также играет важную роль в исправлении ошибок для квантовых вычислений , поскольку она может значительно повысить качество логических операций между различными кубитами. Роль дистилляции запутанности кратко обсуждается для следующих приложений.

Протоколы дистилляции запутанности для смешанных состояний могут использоваться как тип исправления ошибок для каналов квантовой связи между двумя сторонами Алисой и Бобом, позволяя Алисе надежно отправлять mD(p) кубитов информации Бобу, где D(p) — это дистиллируемая запутанность p, состояние, которое возникает, когда одна половина пары Белла отправляется через зашумленный канал, соединяющий Алису и Боба.${\displaystyle \epsilon }$

В некоторых случаях дистилляция запутанности может работать, когда обычные методы квантовой коррекции ошибок не срабатывают. Известны протоколы дистилляции запутанности, которые могут производить ненулевую скорость передачи D(p) для каналов, которые не позволяют передавать квантовую информацию из-за свойства, что протоколы дистилляции запутанности допускают классическую связь между сторонами, в отличие от обычной коррекции ошибок, которая запрещает ее.

Концепция коррелированных результатов измерений и запутанности является центральной для обмена квантовыми ключами, и поэтому способность успешно выполнять дистилляцию запутанности для получения максимально запутанных состояний имеет решающее значение для квантовой криптографии.

Если запутанная пара частиц используется совместно двумя сторонами, любой, кто перехватит любую из частиц, изменит общую систему, позволяя определить их присутствие (и объем информации, которую они получили), пока частицы находятся в максимально запутанном состоянии. Кроме того, чтобы поделиться секретной ключевой строкой, Алиса и Боб должны выполнить методы усиления конфиденциальности и согласования информации, чтобы выделить общую секретную ключевую строку. Согласование информации - это исправление ошибок по общедоступному каналу, которое согласовывает ошибки между коррелированными случайными классическими битовыми строками, которыми совместно пользуются Алиса и Боб, ограничивая при этом знания, которые может иметь возможный подслушиватель Ева об общих ключах. После того, как согласование информации используется для согласования возможных ошибок между общими ключами, которыми обладают Алиса и Боб, и ограничения возможной информации, которую могла бы получить Ева, метод усиления конфиденциальности используется для выделения меньшего подмножества битов, максимизируя неопределенность Евы относительно ключа.

В квантовой телепортации отправитель хочет передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Квантовая телепортация способна достичь точной передачи квантовой информации путем замены классической коммуникации и предварительной запутанности на прямой квантовый канал. Используя телепортацию, произвольный неизвестный кубит может быть точно передан через пару максимально запутанных кубитов, совместно используемых отправителем и получателем, и 2-битное классическое сообщение от отправителя получателю. Квантовая телепортация требует бесшумного квантового канала для обмена идеально запутанными частицами, и поэтому дистилляция запутанности удовлетворяет этому требованию, предоставляя бесшумный квантовый канал и максимально запутанные кубиты.

• Квантовый канал
• Квантовая криптография
• Квантовая запутанность
• Квантовое состояние
• Квантовая телепортация
• ЛОКС
• Теорема очищения