Свидетель запутывания

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Апрель 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В квантовой теории информации свидетель запутанности — это функционал , который отличает определенное запутанное состояние от разделимых. Свидетели запутанности могут быть линейными или нелинейными функционалами матрицы плотности . Если линейные, то их также можно рассматривать как наблюдаемые , для которых ожидаемое значение запутанного состояния строго выходит за пределы диапазона возможных ожидаемых значений любого разделимого состояния .

Пусть составная квантовая система имеет пространство состояний . Тогда смешанное состояние ρ является положительным оператором класса следа на пространстве состояний, который имеет след 1. Мы можем рассматривать семейство состояний как подмножество действительного банахова пространства, порожденного эрмитовыми операторами класса следа, с нормой следа. Смешанное состояние ρ является разделимым , если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями вида${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\,\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

где и являются чистыми состояниями на подсистемах A и B соответственно. Таким образом, семейство сепарабельных состояний является замкнутой выпуклой оболочкой чистых состояний произведения. Мы воспользуемся следующим вариантом теоремы Хана–Банаха :${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$

Теорема Пусть и — непересекающиеся выпуклые замкнутые множества в действительном банаховом пространстве и одно из них компактно , тогда существует ограниченный функционал f, разделяющий два множества.${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

Это обобщение того факта, что в реальном евклидовом пространстве при заданном выпуклом множестве и точке вне его всегда существует аффинное подпространство, разделяющее их. Аффинное подпространство проявляется как функционал f . В данном контексте семейство разделимых состояний является выпуклым множеством в пространстве операторов следового класса. Если ρ является запутанным состоянием (таким образом, лежащим вне выпуклого множества), то по теореме выше существует функционал f , разделяющий ρ от разделимых состояний. Именно этот функционал f , или его идентификацию как оператора, мы называем свидетелем запутанности . Существует более одной гиперплоскости, разделяющей замкнутое выпуклое множество от точки, лежащей вне его, поэтому для запутанного состояния существует более одного свидетеля запутанности. Напомним, что двойственное пространство банахова пространства операторов следового класса изоморфно множеству ограниченных операторов . Следовательно, мы можем отождествить f с эрмитовым оператором A. Следовательно, по модулю нескольких деталей, мы показали существование свидетеля запутанности, заданного запутанным состоянием:

Теорема Для каждого запутанного состояния ρ существует эрмитов оператор A такой, что , и для всех разделимых состояний σ .${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\rho )<0}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma)\geq 0}$

Когда и имеют конечную размерность, нет никакой разницы между следовыми операторами и операторами Гильберта–Шмидта . Так что в этом случае A может быть задано теоремой о представлении Рисса . Как непосредственное следствие, мы имеем:${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle H_{B}}$

Теорема Смешанное состояние σ разделимо тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\,\sigma)\geq 0}$

для любого ограниченного оператора A, удовлетворяющего , для всех чистых состояний произведения .${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\cdot P\otimes Q)\geq 0}$${\displaystyle P\otimes Q}$

Если состояние разделимо, то, очевидно, требуемое следствие из теоремы должно иметь место. С другой стороны, если задано запутанное состояние, один из его свидетелей запутанности нарушит заданное условие.

Таким образом, если ограниченный функционал f пространства Банаха класса следа и f положителен на чистых состояниях произведения, то f или его идентификация как эрмитов оператор является свидетелем запутанности. Такой f указывает на запутанность некоторого состояния.

Используя изоморфизм между свидетелями запутанности и не полностью положительными отображениями, было показано (Хородецкими), что

Теорема Предположим, что являются конечномерными. Смешанное состояние является сепарабельным, если для любого положительного отображения Λ из ограниченных операторов на в ограниченные операторы на оператор положителен, где — тождественное отображение на , ограниченные операторы на .${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle \sigma \in L(H_{A})\otimes L(H_{B})}$${\displaystyle H_{B}}$${\displaystyle H_{A}}$${\displaystyle (I_{A}\otimes \Lambda )(\sigma )}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle \;L(H_{A})}$${\displaystyle H_{A}}$

• Terhal, Barbara M. (2000). «Неравенства Белла и критерий разделимости». Physics Letters A. 271 ( 5– 6 ): 319– 326. arXiv : quant-ph/9911057 . Bibcode : 2000PhLA..271..319T. doi : 10.1016/S0375-9601(00)00401-1. ISSN  0375-9601. Также доступно по адресу quant-ph/9911057
• Р. Б. Холмс. Геометрический функциональный анализ и его приложения , Springer-Verlag, 1975.
• М. Городецкий, П. Городецкий, Р. Городецкий, Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия , Physics Letters A 223, 1 (1996) и arXiv:quant-ph/9605038
• З. Фичек, «Обработка квантовой запутанности с помощью атомов», Appl. Math. Inf. Sci. 3, 375–393 (2009).
• Барри К. Сандерс и Чон Сан Ким, «Моногамия и полигамия запутанности в многосоставных квантовых системах», Appl. Math. Inf. Sci. 4, 281–288 (2010).
• Гюне, О.; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутанности». Phys. Rep . 474 ( 1– 6): 1– 75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode :2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004.