разложение Шмидта

В линейной алгебре разложение Шмидта ( названное в честь его создателя Эрхарда Шмидта ) относится к особому способу выражения вектора в тензорном произведении двух пространств внутреннего произведения . Оно имеет многочисленные приложения в квантовой теории информации , например, в характеристике запутанности и в очистке состояний , а также пластичности .

Пусть и — гильбертовы пространства размерностей n и m соответственно. Предположим . Для любого вектора в тензорном произведении существуют ортонормированные множества и такие, что , где скаляры действительны, неотрицательны и единственны с точностью до переупорядочения.${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle n\geq m}$${\displaystyle w}$${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}}$${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$${\displaystyle \альфа _{я}}$

Разложение Шмидта по сути является переформулировкой разложения сингулярного значения в другом контексте. Зафиксируем ортонормированные базисы и . Мы можем отождествить элементарный тензор с матрицей , где — транспонированная матрица . Общий элемент тензорного произведения${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}}$${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}}$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$${\displaystyle e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle f_{j}^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}}$

тогда можно рассматривать как матрицу n × m

${\displaystyle \;M_{w}=(\beta _{ij}).}$

По разложению по сингулярным значениям существуют унитарная матрица U размером n × n , унитарная матрица V размером m × m и положительно полуопределенная диагональная матрица Σ размером m × m такие, что

${\displaystyle M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.}$

Напишите , где n × m, и мы получим${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle U_{1}}$

${\displaystyle \;M_{w}=U_{1}\Сигма V^{*}.}$

Пусть будут m векторами-столбцами , векторами-столбцами и диагональными элементами Σ. Тогда предыдущее выражение будет${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle \{v_{1},\ldots,v_{m}\}}$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle \альфа _{1},\ldots,\альфа _{м}}$

${\displaystyle M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{\mathsf {T}},}$

Затем

${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},}$

что доказывает утверждение.

Некоторые свойства разложения Шмидта представляют физический интерес.

Рассмотрим вектор тензорного произведения${\displaystyle w}$

${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

в виде разложения Шмидта

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.}$

Сформируйте матрицу ранга 1 . Тогда частичный след , относительно любой из систем A или B , является диагональной матрицей, ненулевые диагональные элементы которой равны . Другими словами, разложение Шмидта показывает, что редуцированные состояния в любой из подсистем имеют одинаковый спектр.${\displaystyle \rho =ww^{*}}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle |\alpha _{i}|^{2}}$${\displaystyle \ро}$

Строго положительные значения в разложении Шмидта являются его коэффициентами Шмидта , или числами Шмидта . Общее число коэффициентов Шмидта , подсчитанное с кратностью, называется его рангом Шмидта .${\displaystyle \альфа _{я}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

Если можно выразить как произведение${\displaystyle w}$

${\displaystyle u\otimes v}$

то называется разделимым состоянием . В противном случае называется запутанным состоянием . Из разложения Шмидта мы можем видеть, что запутано тогда и только тогда, когда имеет ранг Шмидта строго больше 1. Следовательно, две подсистемы, которые разделяют чистое состояние, запутаны тогда и только тогда, когда их приведенные состояния являются смешанными состояниями.${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

Следствием вышеизложенных комментариев является то, что для чистых состояний энтропия фон Неймана приведенных состояний является четко определенной мерой запутанности . Для энтропии фон Неймана обоих приведенных состояний является , и это равно нулю тогда и только тогда, когда является производным состоянием (не запутанным).${\displaystyle \ро}$${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$${\displaystyle \ро}$

Ранг Шмидта определяется для двухкомпонентных систем, а именно квантовых состояний.

${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$

Понятие ранга Шмидта можно распространить на квантовые системы, состоящие из более чем двух подсистем. ^[1]

Рассмотрим трехчастную квантовую систему:

${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}}$

Существует три способа свести это к двухдольной системе, выполнив частичную трассировку относительно или${\displaystyle H_{A},H_{B}}$${\displaystyle H_{C}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=Tr_{A}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{ B}=Tr_{B}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{C}=Tr_{C}(|\psi \rangle \langle \psi |)\end{cases}}}$

Каждая из полученных систем является двудольной системой и поэтому может быть охарактеризована одним числом (ее рангом Шмидта), соответственно и . Эти числа фиксируют «количество запутанности» в двудольной системе, когда соответственно A, B или C отбрасываются. По этим причинам трехдольная система может быть описана вектором, а именно вектором ранга Шмидта${\displaystyle r_{A},r_{B}}$${\displaystyle r_{C}}$

${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{A},r_{B},r_{C})}$

Понятие вектора ранга Шмидта может быть аналогичным образом распространено на системы, состоящие из более чем трех подсистем, с помощью тензоров .

Возьмем трехчастное квантовое состояние${\displaystyle |\psi _{4,2,2}\rangle = {\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle + |2,1,0\rangle +|3,1,1\rangle {\big )}}$

Такая система возможна благодаря кодированию значения кудита в орбитальный угловой момент (ОУМ) фотона, а не в его спин , поскольку последний может принимать только два значения.

Вектор ранга Шмидта для этого квантового состояния равен .${\displaystyle (4,2,2)}$

• Разложение по сингулярным значениям
• Очистка квантового состояния

• Патхак, Анирбан (2013). Элементы квантовых вычислений и квантовой коммуникации. Лондон: Taylor & Francis. С.  92–98 . ISBN 978-1-4665-1791-2.