Состояние Вернера

Состояние Вернера [1] представляет собой × -мерную двудольную матрицу плотности квантового состояния , которая инвариантна относительно всех унитарных операторов вида . То есть, это двудольное квантовое состояние , которое удовлетворяет г 2 {\displaystyle d^{2}} г 2 {\displaystyle d^{2}} У ⊗ У {\displaystyle U\otimes U} ρ А Б {\displaystyle \rho _{AB}}

ρ А Б = ( У ⊗ У ) ρ А Б ( У † ⊗ У † ) {\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}

для всех унитарных операторов U , действующих в d -мерном гильбертовом пространстве. Эти состояния были впервые разработаны Рейнхардом Ф. Вернером в 1989 году.

Общее определение

Каждое состояние Вернера представляет собой смесь проекторов на симметричные и антисимметричные подпространства, причем относительный вес является основным параметром, определяющим состояние, в дополнение к размерности : Вт А Б ( п , г ) {\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}} п ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} г ≥ 2 {\displaystyle d\geq 2}

Вт А Б ( п , г ) = п 2 г ( г + 1 ) П А Б сим + ( 1 − п ) 2 г ( г − 1 ) П А Б как , {\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}

где

П А Б сим = 1 2 ( я А Б + Ф А Б ) , {\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}
П А Б как = 1 2 ( я А Б − Ф А Б ) , {\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}

проекторы и

Ф А Б = ∑ я дж | я ⟩ ⟨ дж | А ⊗ | дж ⟩ ⟨ я | Б {\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}

— оператор перестановки или флипа , который меняет местами две подсистемы A и B.

Состояния Вернера разделимы для p ≥ 1 ⁄ 2 и запутаны для p < 1 ⁄ 2 . Все запутанные состояния Вернера нарушают критерий разделимости PPT , но для d ≥ 3 ни одно состояние Вернера не нарушает более слабый критерий редукции . Состояния Вернера можно параметризовать разными способами. Один из способов их записи:

ρ А Б = 1 г 2 − г α ( я А Б − α Ф А Б ) , {\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}

где новый параметр α изменяется от −1 до 1 и связан с p как

α = ( ( 1 − 2 п ) г + 1 ) / ( 1 − 2 п + г ) . {\displaystyle \альфа =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}

Пример с двумя кубитами

Двухкубитные состояния Вернера, соответствующие вышеизложенному, можно явно записать в матричной форме как Эквивалентно, их можно записать как выпуклую комбинацию полностью смешанного состояния с (проекцией на) состоянием Белла: где (или, ограничиваясь положительными значениями, ) связано с соотношением . Тогда двухкубитные состояния Вернера разделимы для и запутаны для . г = 2 {\displaystyle d=2} Вт А Б ( п , 2 ) = п 6 ( 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 ) + ( 1 − п ) 2 ( 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ) = ( п 3 0 0 0 0 3 − 2 п 6 − 3 + 4 п 6 0 0 − 3 + 4 п 6 3 − 2 п 6 0 0 0 0 п 3 ) . {\displaystyle W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.} Вт А Б ( λ , 2 ) = λ | Ψ − ⟩ ⟨ Ψ − | + 1 − λ 4 я А Б , | Ψ − ⟩ ≡ 1 2 ( | 01 ⟩ − | 10 ⟩ ) , {\displaystyle W_{AB}^{(\lambda,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda } 4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),} λ ∈ [ − 1 / 3 , 1 ] {\displaystyle \лямбда \in [-1/3,1]} λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \лямбда \in [0,1]} п {\displaystyle p} λ = ( 3 − 4 п ) / 3 {\displaystyle \lambda =(3-4p)/3} λ ≤ 1 / 3 {\displaystyle \лямбда \leq 1/3} λ > 1 / 3 {\displaystyle \лямбда >1/3}

Каналы Вернера-Холево

Квантовый канал Вернера-Холево с параметрами и целым числом определяется как [2] [3] [4] Вт А → Б ( п , г ) {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}} п ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in \left[0,1\right]} г ≥ 2 {\displaystyle d\geq 2}

Вт А → Б ( п , г ) = п Вт А → Б сим + ( 1 − п ) Вт А → Б как , {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}

где квантовые каналы и определяются как Вт А → Б сим {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}} Вт А → Б как {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}

Вт А → Б сим ( Х А ) = 1 г + 1 [ Тр ⁡ [ Х А ] я Б + идентификатор А → Б ⁡ ( Т А ( Х А ) ) ] , {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}
Вт А → Б как ( Х А ) = 1 г − 1 [ Тр ⁡ [ Х А ] я Б − идентификатор А → Б ⁡ ( Т А ( Х А ) ) ] , {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}

и обозначает частично транспонированную карту в системе A. Обратите внимание, что состояние Чоя канала Вернера-Холево является состоянием Вернера: T A {\displaystyle T_{A}} W A → B p , d {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}

W A → B ( p , d ) ( Φ R A ) = p 2 d ( d + 1 ) P R B sym + ( 1 − p ) 2 d ( d − 1 ) P R B as , {\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}

где . Φ R A = 1 d ∑ i , j | i ⟩ ⟨ j | R ⊗ | i ⟩ ⟨ j | A {\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}

Многосторонние государства Вернера

Состояния Вернера можно обобщить на многочастичный случай. [5] N -частное состояние Вернера — это состояние, которое инвариантно относительно любого унитарного U на одной подсистеме. Состояние Вернера больше не описывается одним параметром, а N ! − 1 параметрами и является линейной комбинацией N ! различных перестановок на N системах. U ⊗ U ⊗ ⋯ ⊗ U {\displaystyle U\otimes U\otimes \cdots \otimes U}

Ссылки

  1. ^ Рейнхард Ф. Вернер (1989). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна-Подольского-Розена, допускающие модель скрытых переменных». Physical Review A. 40 ( 8): 4277– 4281. Bibcode : 1989PhRvA..40.4277W. doi : 10.1103/PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
  2. ^ Рейнхард Ф. Вернер и Александр С. Холево (2002). «Контрпример к гипотезе аддитивности для чистоты выхода квантовых каналов». Журнал математической физики . 43 (9): 4353– 4357. arXiv : quant-ph/0203003 . Bibcode :2002JMP....43.4353W. doi :10.1063/1.1498491. S2CID  42832247.
  3. ^ Fannes, Mark; Haegeman, B.; Mosonyi, Milan; Vanpeteghem, D. (2004). "Аддитивность минимальной энтропии на выходе для класса ковариантных каналов". неопубликовано . arXiv : quant-ph/0410195 . Bibcode : 2004quant.ph.10195F.
  4. ^ Дебби Леунг и Уильям Мэтьюз (2015). «О силе PPT-сохраняющих и несигнальных кодов». Труды IEEE по теории информации . 61 (8): 4486– 4499. arXiv : 1406.7142 . doi : 10.1109/TIT.2015.2439953. S2CID  14083225.
  5. ^ Эггелинг, Тило; Вернер, Рейнхард (2001). "Свойства разделимости трехчастных состояний с симметрией UxUxU". Physical Review A. 63 : 042111. arXiv : quant-ph/0010096 . doi : 10.1103/PhysRevA.63.042111. S2CID  119350302.
Значок заглушки

Эта статья по квантовой механике — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Werner_state&oldid=1190032722"