5-ортоплекс

Регулярный 5-ортоплекс (пентакросс)
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 5-мерный многогранник
Семья	ортоплекс
Символ Шлефли	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }
Диаграммы Коксетера-Дынкина
4-х гранный	32 {3 3 }
Клетки	80 {3,3}
Лица	80 {3}
Края	40
Вершины	10
Вершинная фигура	16-ячеечный
Петри полигон	декагон
Группы Коксетера	BC 5 , [3,3,3,4] D 5 , [3 2,1,1 ]
Двойной	5-кубовый
Характеристики	выпуклый , многогранник Ганнера

В пятимерной геометрии 5-ортоплекс , или 5- крестовый многогранник , представляет собой пятимерный многогранник с 10 вершинами , 40 рёбрами , 80 треугольными гранями , 80 тетраэдрическими ячейками и 32 пятиячеечными 4-гранями .

Он имеет две построенные формы, первая из которых является правильной с символом Шлефли {3 ³ ,4}, а вторая с попеременно помеченными (шахматными) гранями с символом Шлефли {3,3,3 ^1,1 } или символом Коксетера 2 ₁₁ .

Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами или ортоплексами . Двойственный многогранник — это 5- гиперкуб или 5-куб .

• пентакросс , образованный от объединения фамильного названия крест политоп с пенте , что на греческом означает пять (измерений) .
• Триаконтадитерон (или триаконтакаидитерон ) — как 32- гранный 5-политоп (политерон).

Эта матрица конфигурации представляет 5-ортоплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 5-ортоплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}10&8&24&32&16\\2&40&6&12&8\\3&3&80&4&4\\4&6&4&80&2\\5&10&10&5&32\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Декартовы координаты вершин 5-ортоплекса с центром в начале координат:

(±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)

Существует три группы Коксетера , связанные с 5-ортоплексом, одна правильная , двойственная пентеракту с группой Коксетера _C5 или [4,3,3,3] , и более низкая симметрия с двумя копиями 5-клеточных граней, чередующихся, с группой Коксетера D5 _или [ 3 ^2,1,1 ], и последняя как двойственный 5- ортотоп , называемый 5-фузилем , который может иметь множество подсимметрий.

Имя	Диаграмма Коксетера	Символ Шлефли	Симметрия	Заказ	Вершинная фигура (ы)
обычный 5-ортоплекс		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
Квазирегулярный 5-ортоплекс		{3,3,3 1,1 }	[3,3,3 1,1 ]	1920
5-фузил
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4}+{}	[4,3,3,2]	768
		{3,4}+{4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4}+2{}	[4,3,2,2]	192
		2{4}+{}	[4,2,4,2]	128
		{4}+3{}	[4,2,2,2]	64
		5{}	[2,2,2,2]	32

ортографические проекции

самолет Коксетера	Б 5	Б 4 / Д 5	Б 3 / Д 4 / А 2
График
Диэдральная симметрия	[10]	[8]	[6]
самолет Коксетера	Б 2	А 3
График
Диэдральная симметрия	[4]	[4]

Перспективная проекция (3D в 2D) стереографической проекции (4D в 3D) диаграммы Шлегеля (5D в 4D) 5-ортоплекса. 10 наборов по 4 ребра образуют 10 окружностей на 4D диаграмме Шлегеля: две из этих окружностей являются прямыми линиями в стереографической проекции, поскольку они содержат центр проекции.

2 k 1 фигур в n измерениях
Космос	Конечный						Евклидов	Гиперболический
н	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Э 3 =А 2 А 1	Э 4 =А 4	Э 5 =Д 5	Е 6	Е 7	Е 8	Э 9 = = Э 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	Е 10 = = Е 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Заказ	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	2 −1,1	2 01	211	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Этот многогранник является одним из 31 однородных 5-многогранников, образованных из плоскости Коксетера _B5 , включая правильный 5-куб и 5-ортоплекс.

Многогранники B5
β5	т 1 β 5	т 2 γ 5	т 1 γ 5	γ 5	т 0,1 β 5	т 0,2 β 5	т 1,2 β 5
т 0,3 β 5	т 1,3 γ 5	т 1,2 γ 5	т 0,4 γ 5	т 0,3 γ ​​5	т 0,2 γ 5	т 0,1 γ 5	т 0,1,2 β 5
т 0,1,3 β 5	т 0,2,3 β 5	т 1,2,3 γ 5	т 0,1,4 β 5	т 0,2,4 γ 5	т 0,2,3 γ 5	т 0,1,4 γ 5	т 0,1,3 γ 5
т 0,1,2 γ 5	т 0,1,2,3 β 5	т 0,1,2,4 β 5	т 0,1,3,4 γ 5	т 0,1,2,4 γ 5	т 0,1,2,3 γ 5	т 0,1,2,3,4 γ 5

• HSM Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
  • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии (1966)
• Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (polytera) x3o3o3o4o - tac».

• Ольшевский, Джордж. "Крестный многогранник". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.
• Многогранники различных размерностей
• Многомерный глоссарий