Двойственный порядок (функциональный анализ)

В математике, в частности в теории порядка и функциональном анализе , порядковое двойственное к упорядоченному векторному пространству — это множество , где обозначает множество всех положительных линейных функционалов на , где линейная функция на называется положительной, если для всех влечет ^[1] Порядковое двойственное к обозначается как . Наряду с родственным понятием порядково -связанного двойственного это пространство играет важную роль в теории упорядоченных топологических векторных пространств . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$

Элемент порядка, двойственного к называется положительным, если подразумевает Положительные элементы порядка, двойственного к, образуют конус, который индуцирует упорядочение на , называемое каноническим порядком . Если — упорядоченное векторное пространство , положительный конус которого порождает (то есть ), то порядок, двойственный с каноническим порядком, является упорядоченным векторным пространством. ^[1] Порядок, двойственный к — это оболочка множества положительных линейных функционалов на . ^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle С}$${\displaystyle X=CC}$${\displaystyle X}$

Двойственный порядок содержится в связанном порядке . ^[1] Если положительный конус упорядоченного векторного пространства является порождающим и если выполняется для всех положительных и , то двойственный порядок равен связанному порядку , который является полной порядком векторной решеткой относительно ее канонического порядка. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

Двойственный по порядку векторной решетке — это порядково полная векторная решетка. ^[1] Двойственный по порядку векторной решетке может иметь конечную размерность (возможно, даже ), даже если является бесконечномерным. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$

Предположим, что — упорядоченное векторное пространство , такое что канонический порядок на делает упорядоченное векторное пространство. Тогда двукратный порядок определяется как дуальный порядку и обозначается как . Если положительный конус упорядоченного векторного пространства является порождающим и если выполняется для всех положительных и , то — упорядоченно полная векторная решетка, а отображение оценки сохраняет порядок. ^[1] В частности, если — векторная решетка, то — упорядоченно полная векторная решетка. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X^{++}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle X^{++}}$${\displaystyle X\to X^{++}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{++}}$

Если — векторная решетка и если — сплошное подпространство , разделяющее точки в , то оценочное отображение , определенное путем отправки в отображение, заданное , является решеточным изоморфизмом на векторную подрешетку . ^[1] Однако, образ этого отображения в общем случае не является упорядоченно полным, даже если является упорядоченно полным. Действительно , регулярно упорядоченная, упорядоченно полная векторная решетка не обязательно должна отображаться оценочным отображением на полосу в упорядоченно двукратном. Упорядоченно полная, регулярно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в ее упорядоченно двукратном является упорядоченно полным, называется минимальной и считается имеющей минимальный тип . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to G^{+}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E_{x}:G^{+}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle E_{x}(f):=f(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G^{+}}$${\displaystyle X}$

Для любого , банахова решетка является порядково полной и имеет минимальный тип; в частности, топология нормы на этом пространстве является наилучшей локально выпуклой топологией, для которой сходится каждый порядковый сходящийся фильтр. ^[2]${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle L^{p}(\mu )}$

Пусть — порядковая полная векторная решетка минимального типа. Для любого такого, что следующие условия эквивалентны: ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle х>0,}$

1. ${\displaystyle x}$является единицей слабого порядка .
2. Для каждого ненулевого положительного линейного функционала на ,${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)>0.}$
3. Для каждой топологии на такой, что является локально выпуклой векторной решеткой , является квазивнутренней точкой ее положительного конуса.${\displaystyle \тау}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\тау)}$${\displaystyle x}$

Упорядоченное векторное пространство называется регулярно упорядоченным , а его порядок называется регулярным, если оно архимедово упорядочено и различает точки в . ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$

• Алгебраическое дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Непрерывное дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.
• Порядок связан дуально  – Математическая концепция

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.