Упорядоченное топологическое векторное пространство

В математике, в частности в функциональном анализе и теории порядка , упорядоченное топологическое векторное пространство , также называемое упорядоченным TVS , представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) X , имеющее частичный порядок ≤, что превращает его в упорядоченное векторное пространство , положительный конус которого является замкнутым подмножеством X. ^[1] Упорядоченные TVS имеют важные приложения в спектральной теории .${\displaystyle C:=\left\{x\in X:x\geq 0\right\}}$

Если C — конус в TVS X, то C является нормальным , если , где — фильтр соседства в начале координат, , а — C -насыщенная оболочка подмножества U из X. ^[2 ]${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$${\displaystyle [U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(UC\right)}$

Если C — конус в TVS X (над действительными или комплексными числами), то следующие условия эквивалентны: ^[2]

1. C — нормальный конус.
2. Для каждого фильтра в X , если то .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0}$
3. Существует база соседства в X такая, что влечет .${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B}$

и если X — векторное пространство над действительными числами, то также: ^[2]

1. В начале координат существует база окрестностей, состоящая из выпуклых, сбалансированных , C -насыщенных множеств.
2. Существует порождающее семейство полунорм на X такое, что для всех и .${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$

Если топология на X локально выпукла, то замыкание нормального конуса является нормальным конусом. ^[2]

Если C — нормальный конус в X , а B — ограниченное подмножество X , то ограничено; в частности, каждый интервал ограничен. ^[2] Если X — Хаусдорфово, то каждый нормальный конус в X является собственным конусом. ^[2]${\displaystyle \left[B\right]_{C}}$${\displaystyle [а,б]}$

• Пусть X — упорядоченное векторное пространство над вещественными числами, которое является конечномерным. Тогда порядок X является архимедовым тогда и только тогда, когда положительный конус X замкнут для единственной топологии, при которой X является хаусдорфовым TVS. ^[1]
• Пусть X — упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с положительным конусом C. Тогда следующие условия эквивалентны: ^[1]

1. порядок X является регулярным.
2. C последовательно замкнуто для некоторой локально выпуклой топологии TVS Хаусдорфа на X и различает точки в X${\displaystyle X^{+}}$
3. порядок X архимедов, а C нормален для некоторой хаусдорфовой локально выпуклой топологии TVS на X.

• Обобщенная метрика  – Метрическая геометрия
• Топология порядка (функциональный анализ)  – Топология упорядоченного векторного пространства
• Упорядоченное поле  – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Упорядоченная группа  – Группа с совместимым частичным порядкомСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Упорядоченное кольцо  – кольцо с совместимым общим порядкомСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Упорядоченное векторное пространство  – векторное пространство с частичным порядком
• Частично упорядоченное пространство  – Частично упорядоченное топологическое пространство
• Пространство Рисса  – Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное как решетка.
• Топологическая векторная решетка

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.