Локально выпуклая векторная решетка

В математике, в частности в теории порядка и функциональном анализе , локально выпуклая векторная решетка (ЛВР) — это топологическая векторная решетка , которая также является локально выпуклым пространством. ^[1] ЛВР играют важную роль в теории топологических векторных решеток .

Функционал Минковского выпуклого, поглощающего и сплошного множества называется решетчатой ​​полунормой . Эквивалентно, это полунорма такая , что подразумевает Топология локально выпуклой векторной решетки порождается семейством всех непрерывных решетчатых полунорм. ^[1]${\displaystyle p}$${\displaystyle |y|\leq |x|}$${\displaystyle p(y)\leq p(x).}$

Каждая локально выпуклая векторная решетка обладает окрестностной базой в начале координат, состоящей из выпуклых сбалансированных твердых поглощающих множеств. ^[1]

Сильный дуализм локально выпуклой векторной решетки является упорядоченно полной локально выпуклой векторной решеткой (относительно ее канонического порядка) и является сплошным подпространством порядка, дуального к ; более того, если — бочкообразное пространство , то непрерывное дуальное пространство является полосой в порядке, дуальном к , а сильный дуализм является полным локально выпуклым TVS. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Если локально выпуклая векторная решетка является бочкообразной , то ее сильное сопряженное пространство является полным (это не обязательно так, если пространство является просто локально выпуклым бочкообразным пространством, но не локально выпуклой векторной решеткой). ^[1]

Если локально выпуклая векторная решетка полурефлексивна , то она является порядково полной и (то есть ) является полной TVS; более того, если в дополнение к этому каждый положительный линейный функционал на непрерывен, то является из имеет минимальный тип , топология порядка на равна топологии Макки и является рефлексивной . ^[1] Каждая рефлексивная локально выпуклая векторная решетка является порядково полной и полной локально выпуклой TVS, сильный дуал которой является бочкообразным рефлексивным локально выпуклым TVS, который может быть отождествлен под каноническим отображением оценки с сильным бидуалом (то есть сильным дуалом сильного дуала). ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime}\right)\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {O} }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime}\right),}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {O} }\right)}$

Если локально выпуклая векторная решетка является инфрабочковым TVS, то ее можно отождествить при оценочном отображении с топологической векторной подрешеткой ее сильного бидуала, которая является упорядоченно полной локально выпуклой векторной решеткой при ее каноническом порядке. ^[1]${\displaystyle X}$

Если — сепарабельное метризуемое локально выпуклое упорядоченное топологическое векторное пространство , положительный конус которого является полным и тотальным подмножеством, то множество квазивнутренних точек является плотным в ^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$

Если — локально выпуклая векторная решетка, которая является борнологической и последовательно полной , то существует семейство компактных пространств и семейство -индексированных вложений векторных решеток, такое, что — наилучшая локально выпуклая топология при создании каждой непрерывной. ^[2]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f_{\alpha }:C_{\mathbb {R} }\left(K_{\alpha }\right)\to X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{\alpha }}$

Каждая решетка Банаха , нормированная решетка и решетка Фреше является локально выпуклой векторной решеткой.

• Банахова решетка  – Банахово пространство с совместимой структурой решетки.
• Решетка Фреше  – Топологическая векторная решетка
• Нормированная решетка
• Векторная решетка  – Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное как решетка.Pages displaying short descriptions of redirect targets

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.