Теорема монодромии

В комплексном анализе теорема о монодромии является важным результатом об аналитическом продолжении комплексно -аналитической функции на большее множество. Идея состоит в том, что можно продолжить комплексно-аналитическую функцию (далее называемую просто аналитической функцией ) вдоль кривых, начинающихся в исходной области функции и заканчивающихся в большем множестве. Потенциальная проблема этой стратегии аналитического продолжения вдоль кривой заключается в том, что обычно существует много кривых, которые заканчиваются в одной и той же точке в большем множестве. Теорема о монодромии дает достаточные условия для аналитического продолжения, чтобы дать одно и то же значение в заданной точке независимо от кривой, используемой для этого, так что результирующая расширенная аналитическая функция является хорошо определенной и однозначной.

Прежде чем сформулировать эту теорему, необходимо определить аналитическое продолжение вдоль кривой и изучить его свойства.

Определение аналитического продолжения вдоль кривой немного технично, но основная идея заключается в том, что мы начинаем с аналитической функции, определенной вокруг точки, и продолжаем эту функцию вдоль кривой с помощью аналитических функций, определенных на небольших перекрывающихся дисках, покрывающих эту кривую.

Формально рассмотрим кривую ( непрерывную функцию ). Пусть — аналитическая функция, определенная на открытом круге с центром в точке Аналитическим продолжением пары вдоль является совокупность пар для таких, что${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} .}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \гамма (0).}$${\displaystyle (f,U)}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$

• ${\displaystyle f_{0}=f}$и${\displaystyle U_{0}=U.}$

• Для каждого есть открытый диск с центром в и является аналитической функцией.${\displaystyle t\in [0,1],U_{t}}$${\displaystyle \гамма (т)}$${\displaystyle f_{t}:U_{t}\to \mathbb {C} }$

• Для каждого существует такое, что для всех с одним имеет место (что подразумевает, что и имеют непустое пересечение ) и функции и совпадают на пересечении${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle t'\in [0,1]}$${\displaystyle |tt'|<\varepsilon }$${\displaystyle \gamma (t')\in U_{t}}$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle U_{t'}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t'}}$${\displaystyle U_{t}\cap U_{t'}.}$

Аналитическое продолжение вдоль кривой по существу уникально в том смысле, что если даны два аналитических продолжения и вдоль функций и совпадают на Неформально это означает, что любые два аналитических продолжения вдоль приведут к одинаковым значениям в окрестности${\displaystyle (f_{t},U_{t})}$${\displaystyle (g_{t},V_{t})}$ ${\displaystyle (0\leq t\leq 1)}$${\displaystyle (f,U)}$${\displaystyle \гамма,}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle U_{1}\cap V_{1}.}$${\displaystyle (f,U)}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \гамма (1).}$

Если кривая замкнута (то есть ), то не обязательно иметь равенство в окрестности Например, если начать с точки с и комплексный логарифм, определенный в окрестности этой точки, и пусть будет окружностью радиуса с центром в начале координат (пройденной против часовой стрелки от ), то, выполняя аналитическое продолжение вдоль этой кривой, мы получим значение логарифма, при котором плюс исходное значение (см. вторую иллюстрацию справа). ${\displaystyle \гамма}$${\ displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1)}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle \гамма (0).}$${\displaystyle (а,0)}$${\displaystyle а>0}$${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle а}$${\displaystyle (а,0)}$${\displaystyle (а,0)}$${\displaystyle 2\пи i}$

Как было отмечено ранее, два аналитических продолжения вдоль одной и той же кривой дают одинаковый результат в конечной точке кривой. Однако, учитывая, что две разные кривые ответвляются от одной и той же точки, вокруг которой определена аналитическая функция, и кривые снова соединяются в конце, в общем случае неверно, что аналитические продолжения этой функции вдоль двух кривых дадут одинаковое значение в их общей конечной точке.

Действительно, можно рассмотреть, как и в предыдущем разделе, комплексный логарифм, определенный в окрестности точки и окружности с центром в начале координат и радиусом Тогда можно перемещаться от до двумя способами, против часовой стрелки по верхней полуплоскости этой окружности и по часовой стрелке по нижней полуплоскости. Значения логарифма при , полученные аналитическим продолжением вдоль этих двух дуг, будут отличаться на${\displaystyle (а,0)}$${\displaystyle а.}$${\displaystyle (а,0)}$${\displaystyle (-a,0)}$${\displaystyle (-a,0)}$${\displaystyle 2\пи i.}$

Однако, если можно непрерывно деформировать одну из кривых в другую, сохраняя начальные и конечные точки фиксированными, и аналитическое продолжение возможно на каждой из промежуточных кривых, то аналитические продолжения вдоль двух кривых дадут те же результаты в их общей конечной точке. Это называется теоремой о монодромии , и ее утверждение уточняется ниже.

Пусть будет открытым диском в комплексной плоскости с центром в точке и будет комплексно-аналитической функцией. Пусть будет другой точкой в ​​комплексной плоскости. Если существует семейство кривых с таким, что и для всех функция непрерывна, и для каждой можно сделать аналитическое продолжение вдоль , то аналитические продолжения вдоль и дадут те же значения при${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \gamma _{s}:[0,1]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle \gamma _{s}(0)=P}$${\displaystyle \gamma _{s}(1)=Q}$${\displaystyle s\in [0,1],}$${\displaystyle (s,t)\in [0,1]\times [0,1]\to \gamma _{s}(t)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \гамма _{с},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \гамма _{0}}$${\displaystyle \гамма _{1}}$${\displaystyle В.}$

Теорема монодромии позволяет расширить аналитическую функцию на большее множество с помощью кривых, соединяющих точку в исходной области функции с точками в большем множестве. Теорема ниже, которая это утверждает, также называется теоремой монодромии.

Пусть будет открытым диском в комплексной плоскости с центром в точке и будет комплексно-аналитической функцией. Если - открытое односвязное множество , содержащее и можно выполнить аналитическое продолжение на любую кривую, содержащуюся в , которая начинается в то допускает прямое аналитическое продолжение на означает, что существует комплексно-аналитическая функция , ограничение на которой равно${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W,}$${\displaystyle g:W\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle ф.}$

• Аналитическое продолжение
• Монодромия

• Кранц, Стивен Г. (1999). Справочник по комплексным переменным . Биркхойзер. ISBN 0-8176-4011-8.
• Джонс, Гарет А.; Сингерман, Дэвид (1987). Комплексные функции: алгебраическая и геометрическая точка зрения . Cambridge University Press. ISBN 0-521-31366-X.

• Трибель, Ганс (1986). Анализ и математическая физика, англ. изд . Паб Д. Рейдель. ISBN компании 90-277-2077-0.

• Теорема монодромии в MathWorld
• Теорема о монодромии на PlanetMath .
• Теорема о монодромии в Энциклопедии математики