Мера (математика)

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Январь 2021 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике понятие меры является обобщением и формализацией геометрических мер ( длина , площадь , объем ) и других общих понятий, таких как величина , масса и вероятность событий. Эти, казалось бы, различные понятия имеют много общего и часто могут рассматриваться вместе в едином математическом контексте. Меры являются основополагающими в теории вероятностей , теории интегрирования и могут быть обобщены для принятия отрицательных значений , как в случае с электрическим зарядом . Далеко идущие обобщения (такие как спектральные меры и проекционно-значные меры ) меры широко используются в квантовой физике и физике в целом.

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции , когда Архимед пытался вычислить площадь круга . ^{[1] [2]} Но только в конце 19-го и начале 20-го веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Николая Лузина , Иоганна Радона , Константина Каратеодори и Мориса Фреше , среди прочих.

Пусть — множество и -алгебра над Множественная функция из на расширенную прямую действительных чисел называется мерой, если выполняются следующие условия:${\displaystyle X}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \Сигма}$

• Неотрицательность : Для всех${\displaystyle E\in \Sigma,\ \ \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Счетная аддитивность (или -аддитивность ): для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств в Σ,${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k} \right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}) .}$$

Если хотя бы одно множество имеет конечную меру, то требование выполняется автоматически в силу счетной аддитивности: и, следовательно,${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$$${\ displaystyle \ му (E) = \ му (E \ чашка \ varnothing) = \ му (E) + \ му (\ varnothing),}$$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Если условие неотрицательности опускается и принимает не более одного из значений, то называется знаковой мерой .${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \pm \infty ,}$${\displaystyle \мю}$

Пара называется измеримым пространством , а элементы называются измеримыми множествами .${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle \Сигма}$

Тройка называется пространством меры . Вероятностная мера — это мера с общей мерой один — то есть, Вероятностное пространство — это пространство меры с вероятностной мерой.${\displaystyle (X,\Сигма,\мю)}$${\displaystyle \мю (X)=1.}$

Для пространств мер, которые также являются топологическими пространствами, могут быть наложены различные условия совместимости для меры и топологии. Большинство мер, встречающихся на практике в анализе (а во многих случаях и в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Меры Радона имеют альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклом топологическом векторном пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход принят Бурбаки (2004) и рядом других источников. Более подробную информацию см. в статье о мерах Радона .

Некоторые важные меры перечислены здесь.

• Мера подсчета определяется как = количество элементов в${\displaystyle \мю (С)}$${\displaystyle С.}$
• Мера Лебега на является полной трансляционно-инвариантной мерой на σ -алгебре, содержащей интервалы в , такой, что ; и любая другая мера с этими свойствами расширяет меру Лебега.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \мю ([0,1])=1}$
• Мера кругового угла инвариантна относительно вращения , а мера гиперболического угла инвариантна относительно отображения сжатия .
• Мера Хаара для локально компактной топологической группы является обобщением меры Лебега (а также счетной меры и меры кругового угла) и обладает аналогичными свойствами единственности.
• Каждое (псевдо) риманово многообразие имеет каноническую меру , которая в локальных координатах выглядит как , где — обычная мера Лебега.${\displaystyle (М,г)}$${\displaystyle \mu _{г}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\sqrt {|\det g|}}d^{n}x}$${\displaystyle d^{n}x}$
• Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега на множества с нецелой размерностью, в частности, на фрактальные множества.
• Каждое вероятностное пространство порождает меру, которая принимает значение 1 на всем пространстве (и, следовательно, принимает все свои значения в единичном интервале [0, 1]). Такая мера называется вероятностной мерой или распределением . Примеры см . в списке вероятностных распределений .
• Мера Дирака δ _a (ср. дельта-функция Дирака ) определяется как δ _a ( S ) = χ _S (a), где χ _S — индикаторная функция множества . Мера множества равна 1, если оно содержит точку , и 0 в противном случае.${\displaystyle С.}$${\displaystyle а}$

Другие «именованные» меры, используемые в различных теориях, включают: меру Бореля , меру Жордана , эргодическую меру , меру Гаусса , меру Бэра , меру Радона , меру Юнга и меру Лёба .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., например, гравитационный потенциал ), или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняющееся (см. закон сохранения для списка таких свойств) или нет. Отрицательные значения приводят к знаковым мерам, см. «обобщения» ниже.

• Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
• Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонического ансамбля .

Теория меры используется в машинном обучении. Одним из примеров является Flow Induced Probability Measure в GFlowNet. ^[3]

Пусть будет мера.${\displaystyle \мю}$

Если и являются измеримыми множествами с то${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$$${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

Для любой счетной последовательности (не обязательно непересекающихся) измеримых множеств в${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle \Сигма :}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i} ).}$$

Если — измеримые множества, которые возрастают (это означает, что ), то объединение множеств измеримо и${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})= \sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Если — измеримые множества, которые убывающие (имеется в виду, что ), то пересечение множеств измеримо; кроме того, если хотя бы одно из имеет конечную меру, то${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Это свойство ложно без предположения, что хотя бы один из имеет конечную меру. Например, для каждого пусть все имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

Измеримое множество называется нулевым множеством , если Подмножество нулевого множества называется пренебрежимо малым множеством . Пренебрежимо малое множество не обязательно должно быть измеримым, но каждое измеримое пренебрежимо малое множество автоматически является нулевым множеством. Мера называется полной, если каждое пренебрежимо малое множество измеримо.${\displaystyle X}$${\displaystyle \мю (X)=0.}$

Меру можно расширить до полной, рассматривая σ-алгебру подмножеств , которые отличаются на пренебрежимо малое множество от измеримого множества , то есть, такого, что симметричная разность и содержится в нулевом множестве. Определяется равным${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \мю (Y)}$${\displaystyle \мю (X).}$

Если -измеримо , то для почти всех ^[4] Это свойство используется в связи с интегралом Лебега .${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

Меры должны быть счетно-аддитивными. Однако условие можно усилить следующим образом. Для любого множества и любого множества неотрицательных определяем: То есть, мы определяем сумму как супремум всех сумм конечного числа из них.${\displaystyle I}$${\displaystyle r_{i},i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$${\displaystyle r_{i}}$

Мера на является -аддитивной, если для любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее: Второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств является -полным.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$${\displaystyle \kappa }$

Пространство меры называется конечным, если — конечное действительное число (а не ). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера пропорциональна вероятностной мере. Мера называется σ-конечной, если ее можно разложить на счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, говорят, что множество в пространстве меры имеет σ-конечную меру , если оно является счетным объединением множеств с конечной мерой.${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu (X)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега являются σ-конечными, но не конечными. Рассмотрим замкнутые интервалы для всех целых чисел , таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, и их объединение является всей действительной прямой. В качестве альтернативы рассмотрим действительные числа со счетной мерой , которая назначает каждому конечному набору действительных чисел количество точек в наборе. Это пространство меры не является σ-конечным, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное число таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; σ-конечность можно сравнить в этом отношении со свойством Линделёфа топологических пространств. ^{[ оригинальное исследование? ]} Их также можно рассматривать как смутное обобщение идеи о том, что пространство с мерой может иметь «несчетную меру».${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на Мы говорим, что является полуконечным , имея в виду, что для всех ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

Полуконечные меры обобщают сигма-конечные меры таким образом, что некоторые большие теоремы теории мер, справедливые для сигма-конечных, но не произвольных мер, могут быть расширены с небольшими изменениями так, чтобы они были справедливы для полуконечных мер. (Задача: добавить примеры таких теорем; см. страницу обсуждения.)

• Каждая сигма-конечная мера является полуконечной.
• Предположим, пусть и предположим для всех${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Мы имеем, что является сигма-конечным тогда и только тогда, когда для всех и является счетным. Мы имеем, что является полуконечным тогда и только тогда, когда для всех ^[6]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)<+\infty }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)<+\infty }$${\displaystyle x\in X.}$
  • Принимая вышесказанное (то есть подсчет меры на ), мы видим, что подсчет меры на есть${\displaystyle f=X\times \{1\}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • сигма-конечный тогда и только тогда, когда счетен; и${\displaystyle X}$
    • полуконечный (независимо от того, является ли он счетным). (Таким образом, подсчет меры на множестве мощности произвольного несчетного множества дает пример полуконечной меры, которая не является сигма-конечной.)${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$${\displaystyle X,}$
• Пусть будет полной, отделимой метрикой на пусть будет борелевской сигма-алгеброй, индуцированной и пусть Тогда мера Хаусдорфа полуконечна. ^[7]${\displaystyle d}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• Пусть будет полной, отделимой метрикой на пусть будет борелевской сигма-алгеброй, индуцированной и пусть Тогда мера упаковки полуконечна. ^[8]${\displaystyle d}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

Нулевая мера является сигма-конечной и, таким образом, полуконечной. Кроме того, нулевая мера явно меньше или равна Можно показать, что существует наибольшая мера с этими двумя свойствами:${\displaystyle \mu .}$

Мы говорим, что полуконечная часть означает полуконечную меру, определенную в приведенной выше теореме. Мы приводим некоторые хорошие, явные формулы, которые некоторые авторы могут принять за определение, для полуконечной части:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[10]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[11]

Так как является полуконечным, то следует, что если то является полуконечным. Также очевидно, что если является полуконечным то${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

Каждая мера , которая не является нулевой мерой, не является полуконечной. (Здесь мы говорим мера , имея в виду меру, диапазон которой лежит в : ) Ниже мы приводим примеры мер, которые не являются нулевыми мерами.${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle \{0,+\infty \}}$${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$${\displaystyle 0-\infty }$

• Пусть будет непустым, пусть будет -алгеброй на пусть будет ненулевой функцией, и пусть Можно показать, что является мерой.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[12]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[13]
• Пусть будет несчетным, пусть будет -алгеброй на пусть будет счетными элементами и пусть Можно показать, что является мерой. ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$${\displaystyle {\cal {A}},}$${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$${\displaystyle \mu }$

Меры, которые не являются полуконечными, очень дикие, когда ограничены определенными множествами. ^{[Примечание 1]} Каждая мера, в некотором смысле, полуконечна, если убрать ее часть (дикую часть).${\displaystyle 0-\infty }$

—  А. Мукерджи и К. Потховен, Реальный и функциональный анализ, часть A: Реальный анализ (1985)

Мы говорим, что часть означает меру, определенную в приведенной выше теореме. Вот явная формула для :${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

• Пусть будет или и пусть Тогда является полуконечным тогда и только тогда, когда является инъективным. ^{[16] [17]} (Этот результат важен при изучении сопряженного пространства для .)${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• Пусть будет или и пусть будет топологией сходимости по мере на Тогда является полуконечным тогда и только тогда, когда является Хаусдорфовым. ^{[18] [19]}${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle {\cal {T}}}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (Джонсон) Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на пусть будет мерой на пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на Если оба не являются мерой, то оба и являются полуконечными тогда и только тогда, когда для всех и (Здесь — мера, определенная в теореме 39.1 в Berberian '65. ^[20] )${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}},}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\cal {B}}.}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

Локализуемые меры являются частным случаем полуконечных мер и обобщением сигма-конечных мер.

Пусть будет множеством, пусть будет сигма-алгеброй на и пусть будет мерой на${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• Пусть будет или и пусть Тогда локализуемо тогда и только тогда, когда является биекцией (тогда и только тогда, когда «является» ). ^{[21] [17]}${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

Мера называется s-конечной, если она является счетной суммой конечных мер. S-конечные меры являются более общими, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Если аксиома выбора верна, то можно доказать, что не все подмножества евклидова пространства измеримы по Лебегу ; примерами таких множеств являются множество Витали и неизмеримые множества, постулируемые парадоксом Хаусдорфа и парадоксом Банаха–Тарского .

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется знаковой мерой , в то время как такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Заметим, однако, что комплексная мера обязательно имеет конечную вариацию, поэтому комплексные меры включают конечные знаковые меры, но не, например, меру Лебега .

Меры, принимающие значения в банаховых пространствах, были подробно изучены. ^[22] Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций на гильбертовом пространстве, называется проекционно-значной мерой ; они используются в функциональном анализе для спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используется термин положительная мера . Положительные меры замкнуты относительно конической комбинации , но не общей линейной комбинации , в то время как знаковые меры являются линейным замыканием положительных мер.

Другое обобщение — конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности мы требуем только конечной аддитивности. Исторически это определение было использовано первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как пределы Банаха , двойственное к и компактификация Стоуна–Чеха . Все они так или иначе связаны с аксиомой выбора . Содержание остается полезным в определенных технических задачах в геометрической теории меры ; это теория мер Банаха .${\displaystyle L^{\infty }}$

Заряд является обобщением в обоих направлениях: это конечно-аддитивная, знаковая мера. ^[23] (Ср. ba пространство для информации об ограниченных зарядах, где мы говорим, что заряд ограничен , подразумевая, что его диапазон является ограниченным подмножеством R .)

Найдите значение слова «измеримый» в Викисловаре, бесплатном словаре.

• «Мера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебник: Теория меры для чайников