Измеримое пространство

В математике измеримое пространство или пространство Бореля ^[1] является базовым объектом в теории меры . Оно состоит из множества и σ-алгебры , которая определяет подмножества , которые будут измеряться.

Она охватывает и обобщает интуитивные понятия, такие как длина, площадь и объем, с помощью набора «точек» в пространстве, но регионы пространства являются элементами σ-алгебры , поскольку интуитивные меры обычно не определяются для точек. Алгебра также охватывает отношения, которые можно ожидать от регионов: регион может быть определен как пересечение других регионов, объединение других регионов или пространство за исключением другого региона.${\displaystyle X}$

Рассмотрим множество и σ-алгебру на Тогда кортеж называется измеримым пространством. ^[2]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

Обратите внимание, что в отличие от пространства меры , для измеримого пространства мера не требуется.

Посмотрите на множество: Одна возможная -алгебра будет: Тогда - измеримое пространство. Другая возможная -алгебра будет набором мощности на : При этом второе измеримое пространство на множестве задается как $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$${\displaystyle \сигма}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

Если конечно или счетно бесконечно, то -алгебра чаще всего является степенным множеством , поэтому Это приводит к измеримому пространству${\displaystyle X}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

Если - топологическое пространство , то -алгебра чаще всего является -алгеброй Бореля, поэтому Это приводит к измеримому пространству , которое является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа.${\displaystyle X}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \сигма}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Термин «пространство Бореля» используется для различных типов измеримых пространств. Он может относиться к

• любое измеримое пространство, поэтому это синоним измеримого пространства, как определено выше ^[1]
• измеримое пространство, изоморфное по Борелю измеримому подмножеству действительных чисел (снова с -алгеброй Бореля) ^[3]${\displaystyle \сигма}$

Семейства множеств${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ более${\displaystyle \Омега}$ в т е
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	Режиссер ​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\чашка B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Омега \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	ФИП
π -система
Полукольцо										Никогда
Полуалгебра (Полуполе)										Никогда
Монотонный класс						только если${\displaystyle A_{i}\searrow }$	только если${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆-система (система Дынкина)				только если ${\displaystyle A\subseteq B}$			только если или они не пересекаются${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			Никогда
Кольцо (Теория порядка)
Кольцо (Теория меры)										Никогда
δ-кольцо										Никогда
𝜎-Кольцо										Никогда
Алгебра (Полевая)										Никогда
𝜎-Алгебра (𝜎-Поле)										Никогда
Двойственный идеал
Фильтр				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Предварительный фильтр (база фильтра)				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Фильтр подосновы				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Открытая топология							(даже произвольный )${\displaystyle \чашка}$			Никогда
Закрытая топология						(даже произвольный )${\displaystyle \cap}$				Никогда
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	направлен вниз	конечные пересечения	конечные союзы	относительные дополнения	дополняет в${\displaystyle \Омега}$	счетные пересечения	исчисляемые союзы	содержит${\displaystyle \Омега}$	содержит${\displaystyle \varnothing }$	Свойство конечного пересечения
Кроме того, полукольцо — это π -система , в которой каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из Полуалгебра — это полукольцо, в котором каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из — произвольные элементы из и предполагается, что${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

• Множество Бореля  – Класс математических множеств
• Измеримая функция  – Функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Мера  – обобщение массы, длины, площади и объема.
• Стандартное борелевское пространство  – Математическое построение в топологии
• Категория измеримых пространств