Теорема Каратеодори о расширении

В теории меры теорема Каратеодори о расширении (названная в честь математика Константина Каратеодори ) утверждает, что любая предмера, определенная на данном кольце подмножеств R данного множества Ω, может быть расширена до меры на σ-кольце, порожденном R , и это расширение является единственным, если предмера является σ-конечной . Следовательно, любая предмера на кольце, содержащем все интервалы действительных чисел, может быть расширена до алгебры Бореля множества действительных чисел. Это чрезвычайно мощный результат теории меры, который приводит, например, к мере Лебега .

Эту теорему также иногда называют теоремой о расширении Каратеодори– Фреше , теоремой о расширении Каратеодори– Хопфа , теоремой о расширении Хопфа и теоремой о расширении Хана – Колмогорова . ^[1]

Можно привести несколько очень похожих утверждений теоремы. Чуть более сложное, основанное на полукольцах множеств, приведено ниже. Более короткое и простое утверждение выглядит следующим образом. В этой форме его часто называют теоремой Хана–Колмогорова .

Пусть будет алгеброй подмножеств множества Рассмотрим функцию множества , которая является сигма-аддитивной , что означает, что для любого непересекающегося семейства элементов из , такого что (Функции, подчиняющиеся этим двум свойствам, известны как предмеры .) Тогда, продолжается до меры, определенной на -алгебре , порожденной ; то есть существует мера, такая что ее ограничение на совпадает с${\displaystyle \Сигма _{0}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \mu _{0}:\Sigma _{0}\to [0,\infty]}$$$${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{ 0}(А_{n})}$$${\displaystyle \{A_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle \Сигма _{0}}$${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Сигма _{0}.}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \сигма}$ ${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \Сигма _{0}}$$${\displaystyle \mu:\Sigma \to [0,\infty]}$$${\displaystyle \Сигма _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}.}$

Если -конечно , то расширение единственно.${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \сигма}$

Эта теорема замечательна тем, что позволяет построить меру, сначала определив ее на небольшой алгебре множеств, где ее сигма-аддитивность может быть легко проверена, а затем эта теорема гарантирует ее расширение до сигма-алгебры. Доказательство этой теоремы нетривиально, поскольку требует расширения с алгебры множеств до потенциально гораздо большей сигма-алгебры, гарантируя, что расширение будет единственным (если является -конечной), и, более того, что оно не перестанет удовлетворять сигма-аддитивности исходной функции.${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \сигма}$

Для данного множества мы называем семейство подмножеств${\displaystyle \Омега,}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \Омега}$полукольцо множеств , если оно обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$
• Для всех, кого мы имеем (замкнутых относительно попарных пересечений)${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}}}$
• Для всех существует конечное число непересекающихся множеств, таких что ( относительные дополнения можно записать в виде конечных непересекающихся объединений ).${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}},}$${\displaystyle K_{i}\in {\mathcal {S}},i=1,2,\ldots ,n,}$${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}}$

Первое свойство можно заменить на since${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing }$${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\implies A\setminus A=\varnothing \in {\mathcal {S}}.}$

Используя те же обозначения , мы называем семейство подмножеств${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \Омега}$кольцо множеств, если оно обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {R}}}$
• Для всех, кого мы имеем (закрытых попарными союзами)${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
• Для всех , кто у нас есть (закрыто в рамках относительных дополнений).${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}},}$${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

Таким образом, любое кольцо на также является полукольцом.${\displaystyle \Омега}$

Иногда в контексте теории меры добавляется следующее ограничение:

• ${\displaystyle \Омега}$является несвязным объединением счетного семейства множеств в${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Поле множеств (соответственно полуполе) — это кольцо (соответственно полукольцо), содержащее в качестве одного из своих элементов также .${\displaystyle \Омега}$

• Произвольные (возможно, несчетные ) пересечения колец на все еще являются кольцами на${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Омега .}$
• Если — непустое подмножество множества , то мы определяем кольцо, порожденное (отмеченное ), как пересечение всех колец, содержащих Легко видеть, что кольцо, порожденное , является наименьшим кольцом, содержащим${\displaystyle А}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega)}$${\displaystyle \Омега,}$${\displaystyle А}$${\displaystyle R(A)}$${\displaystyle А.}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А.}$
• Для полукольца множество всех конечных объединений множеств из есть кольцо, порожденное (Можно показать, что равно множеству всех конечных непересекающихся объединений множеств из ).${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S:}$ $${\displaystyle R(S)=\left\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\right\}}$$${\displaystyle R(S)}$${\displaystyle S}$
• Содержание , определенное на полукольце, может быть расширено на кольце, порожденном Такое расширение уникально. Расширенное содержание можно записать: для с непересекающимся.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle S}$${\displaystyle С.}$$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$$${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},}$${\displaystyle A_{i}\in S}$

Кроме того, можно доказать, что является предмерой тогда и только тогда, когда расширенное содержание также является предмерой, и что любая предмера , которая расширяет предмеру, обязательно имеет эту форму.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle R(S)}$${\displaystyle S}$

В теории меры нас интересуют не сами полукольца и кольца, а скорее σ-алгебры, порожденные ими. Идея состоит в том, что можно построить предмеру на полукольце (например, меры Стилтьеса ), которая затем может быть расширена до предмеры на, которая в конечном итоге может быть расширена до меры на σ-алгебре с помощью теоремы Каратеодори о расширении. Поскольку σ-алгебры, порожденные полукольцами и кольцами, одинаковы, разница на самом деле не имеет значения (по крайней мере, в контексте теории меры). На самом деле, теорему Каратеодори о расширении можно немного обобщить, заменив кольцо полуполем. ^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle R(S),}$

Определение полукольца может показаться немного запутанным, но следующий пример показывает, почему оно полезно (более того, оно позволяет нам дать явное представление наименьшего кольца, содержащего некоторое полукольцо).

Подумайте о подмножестве , определяемом множеством всех полуоткрытых интервалов для действительных чисел a и b. Это полукольцо, но не кольцо. Меры Стилтьеса определены на интервалах; счетную аддитивность на полукольце не так уж сложно доказать, поскольку мы рассматриваем только счетные объединения интервалов, которые сами являются интервалами. Доказательство этого для произвольных счетных объединений интервалов выполняется с помощью теоремы Каратеодори.${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle [a,b)}$

Пусть будет кольцом множеств на и пусть будет предмерой на , означающей, что и для всех множеств , для которых существует счетное разложение на непересекающиеся множества, мы имеем${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu :R\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R,}$$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).}$$

Пусть будет -алгеброй, порожденной Условием предмеры является необходимое условие для того, чтобы быть ограничением на меры на Теорема Каратеодори о расширении утверждает, что оно также является достаточным, ^[3] то есть существует мера такая, что является расширением , то есть Более того, если является -конечно , то расширение является единственным (и также -конечно). ^[4]${\displaystyle \sigma (R)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sigma (R).}$${\displaystyle \mu ^{\prime }:\sigma (R)\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle \mu ;}$${\displaystyle \mu ^{\prime }{\big \vert }_{R}=\mu .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu ^{\prime }}$${\displaystyle \sigma }$

Сначала расширим до внешней меры на множестве степеней с помощью , а затем ограничим ее множеством -измеримых множеств (то есть, измеримых по Каратеодори множеств ), которое является множеством всех таких, что для каждого является -алгеброй и является -аддитивным на ней по лемме Каратеодори.${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in R\right\}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle M\subseteq X}$${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })}$${\displaystyle S\subseteq X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \sigma }$

Осталось проверить, что содержит То есть, проверить, что каждое множество в является -измеримым. Это делается с помощью основных методов теории меры деления и сложения множеств.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mu ^{*}}$

Для единственности возьмем любое другое расширение , так что останется показать, что по -аддитивности единственность можно свести к случаю, когда является конечной, что теперь и будет предполагаться.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu =\mu ^{*}.}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu (X)}$

Теперь мы могли бы конкретно доказать, используя иерархию Бореля и поскольку на базовом уровне, мы можем использовать вполне упорядоченную индукцию, чтобы достичь уровня уровня${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$${\displaystyle \sigma (R)}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle \nu =\mu ^{*}}$${\displaystyle \omega _{1},}$${\displaystyle \sigma (R).}$

Может быть более одного расширения предмеры для сгенерированной σ-алгебры, если предмера не является -конечной, даже если сами расширения являются -конечными (см. пример «Через рациональные числа» ниже).${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

Возьмем алгебру, порожденную всеми полуоткрытыми интервалами [ a , b ) на вещественной прямой, и дадим таким интервалам меру бесконечности, если они непусты. Расширение Каратеодори дает всем непустым множествам меру бесконечности. Другое расширение задается счетной мерой .

Этот пример является более подробным вариантом вышеприведенного. Рациональный замкнуто-открытый интервал — это любое подмножество вида , где .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$

Пусть будет и пусть будет алгеброй всех конечных объединений рациональных замкнуто-открытых интервалов, содержащихся в . Легко доказать , что на самом деле является алгеброй. Также легко видеть, что кардинал каждого непустого множества в равен . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1)}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Пусть — функция подсчета множеств ( ), определенная в . Ясно, что конечно аддитивна и -аддитивна в . Поскольку каждое непустое множество в бесконечно, то для каждого непустого множества ,${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \#}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle A\in \Sigma _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty }$

Теперь пусть будет -алгеброй, порожденной . Легко видеть, что является -алгеброй всех подмножеств , и оба являются мерами, определенными на , и оба являются расширениями . Обратите внимание, что в этом случае оба расширения являются -конечными, поскольку счетно.${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \#}$${\displaystyle 2\#}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$

Другой пример тесно связан с неудачей некоторых форм теоремы Фубини для пространств, которые не являются σ-конечными. Предположим, что — единичный интервал с мерой Лебега, а — единичный интервал с дискретной счетной мерой. Пусть кольцо порождается произведениями, где — измеримо по Лебегу, а — любое подмножество, и дадим этому множеству меру . Это имеет очень большое количество различных расширений меры; например:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu (A){\text{card}}(B)}$

• Мера подмножества — это сумма мер его горизонтальных секций. Это наименьшее возможное расширение. Здесь диагональ имеет меру 0.
• Мера подмножества есть где - число точек подмножества с заданной -координатой. Диагональ имеет меру 1.${\displaystyle \int _{0}^{1}n(x)dx}$${\displaystyle n(x)}$${\displaystyle x}$
• Расширение Каратеодори, которое является наибольшим возможным расширением. Любое подмножество конечной меры содержится в некотором объединении счетного числа горизонтальных линий. В частности, диагональ имеет меру бесконечности.

• Внешняя мера : доказательство теоремы Каратеодори о расширении основано на концепции внешней меры.
• Меры Лёба , построенные с использованием теоремы Каратеодори о расширении.

В данной статье использованы материалы из теоремы Хана–Колмогорова из PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .