пространство Лоренца

В математическом анализе пространства Лоренца , введенные Джорджем Г. Лоренцом в 1950-х годах, ^{[1] [2]} являются обобщениями более известных пространств .${\displaystyle L^{p}}$

Пространства Лоренца обозначаются как . Как и пространства, они характеризуются нормой ( технически квазинормой ), которая кодирует информацию о «размере» функции, так же как и норма. Два основных качественных понятия «размера» функции: насколько высок график функции и насколько он разбросан. Нормы Лоренца обеспечивают более жесткий контроль над обоими качествами, чем нормы , путем экспоненциального изменения масштаба меры как в диапазоне ( ), так и в области ( ). Нормы Лоренца, как и нормы, инвариантны относительно произвольных перестановок значений функции.${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$${\displaystyle L^{p}}$

Пространство Лоренца на пространстве с мерой — это пространство комплекснозначных измеримых функций на X, таких, что следующая квазинорма конечна${\displaystyle (X,\мю)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

где и . Таким образом, когда ,${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle 0<q\leq \infty }$${\displaystyle q<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

и, когда ,${\displaystyle q=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

Также принято устанавливать .${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$

Квазинорма инвариантна относительно перестановки значений функции , по сути, по определению. В частности, если задана комплекснозначная измеримая функция, определенная на пространстве меры, , ее убывающая перестановочная функция может быть определена как${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

где так называемая функция распределения , заданная формулой${\displaystyle d_{f}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

Здесь для удобства обозначений определено как .${\displaystyle \inf \varnothing }$${\displaystyle \infty }$

Две функции и равноизмеримы , что означает, что${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f^{\ast }}$

${\displaystyle \lambda {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

где — мера Лебега на прямой. Соответствующая симметричная убывающая функция перестановки , которая также равноизмерима с , будет определена на прямой как${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Учитывая эти определения, для и квазинормы Лоренца имеют вид${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle 0<q\leq \infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

Когда (мера подсчета на ), результирующее пространство Лоренца является пространством последовательностей . Однако в этом случае удобно использовать другие обозначения.${\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Для (или в комплексном случае) пусть обозначает p-норму для и ∞-норму. Обозначим через банахово пространство всех последовательностей с конечной p-нормой. Пусть банахово пространство всех последовательностей , удовлетворяющих , наделенное ∞-нормой. Обозначим через нормированное пространство всех последовательностей только с конечным числом ненулевых элементов. Все эти пространства играют роль в определении пространств последовательностей Лоренца ниже.${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle d(w,p)}$

Пусть будет последовательностью положительных действительных чисел, удовлетворяющей , и определите норму . Пространство последовательностей Лоренца определяется как банахово пространство всех последовательностей, где эта норма конечна. Эквивалентно, мы можем определить как пополнение под .${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }$${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle d(w,p)}$${\displaystyle c_{00}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$

Пространства Лоренца являются подлинными обобщениями пространств в том смысле, что для любого , , что следует из принципа Кавальери . Далее, совпадает со слабым . Они являются квазибанаховыми пространствами (то есть квазинормированными пространствами, которые также являются полными) и нормируемы для и . Когда , снабжено нормой, но невозможно определить норму, эквивалентную квазинорме , слабого пространства. В качестве конкретного примера того, что неравенство треугольника не выполняется в , рассмотрим${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$${\displaystyle L^{p,\infty }}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty }}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1,\infty }}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

квазинорма которых равна единице, тогда как квазинорма их суммы равна четырём.${\displaystyle L^{1,\infty }}$${\displaystyle f+g}$

Пространство содержится в всякий раз, когда . Пространства Лоренца являются действительными интерполяционными пространствами между и .${\displaystyle L^{p,q}}$${\displaystyle L^{p,r}}$${\displaystyle q<r}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty }}$

${\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$где , , , и .${\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }$${\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }$${\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}$${\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}$

Если — неатомическое σ-конечномерное пространство, то (i) для , или ; (ii) для , или ; (iii) для . Здесь для , для , и .${\displaystyle (X,\mu )}$
${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle 1=p<q<\infty }$
${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}$${\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }$${\displaystyle 0<q\leq p=1}$
${\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$
${\displaystyle p'=p/(p-1)}$${\displaystyle 1<p<\infty }$${\displaystyle p'=\infty }$${\displaystyle 0<p\leq 1}$${\displaystyle \infty '=1}$

Следующие условия эквивалентны для . (i) . (ii) где имеет дизъюнктный носитель, с мерой , на котором почти всюду, и . (iii) почти всюду, где и . (iv) где имеет дизъюнктный носитель , с ненулевой мерой, на котором почти всюду, являются положительными константами, и . (v) почти всюду, где .${\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }$
${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \leq 2^{n}}$${\displaystyle 0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}$${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}$${\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}$${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}}$${\displaystyle B_{0},B_{1}}$${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}}$${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$

• Интерполяционное пространство
• Неравенство Харди–Литтлвуда

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье , Graduate Texts in Mathematics, т. 249 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, г-н  2445437.