Магнитный векторный потенциал

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Электромагнитное поле Электромагнитная индукция Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение закон Фарадея уравнения Ефименко формула Лармора закон Ленца Потенциал Льенара–Вихерта Уравнения Лондона сила Лоренца Уравнения Максвелла тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Синхротронное излучение
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Плотность тока Постоянный ток Электрический ток Электроэнергия Электролиз Электродвижущая сила Сопротивление Индуктивность Джоулевое тепло законы Кирхгофа Сетевой анализ закон Ома Параллельная цепь Сопротивление Резонансные полости Последовательная цепь Напряжение Ватт Волноводы
Магнитная цепь двигатель переменного тока двигатель постоянного тока Электрическая машина Электродвигатель Гиратор–конденсатор Асинхронный двигатель Линейный двигатель Магнитодвижущая сила Проницаемость Нежелание (комплекс) Нежелание (реальное) Ротор Статор Трансформатор
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор Электромагнетизм и специальная теория относительности Четырехпоточный Четырехпотенциальный Математические описания Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени Релятивистский электромагнетизм Тензор энергии-напряжения
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Гельмгольц Генри Герц Хопкинсон Ефименко Джоуль Кельвин Кирхгоф Лармор Ленц Лиенар Лоренц Максвелл Нойманн Ом Эрстед Пуассон Пойнтинг Ричи Савар Певица Штейнмец Тесла Томсон Вольта Вебер Вихерт
в т е

В классическом электромагнетизме магнитный векторный потенциал (часто называемый A ) — это векторная величина, определяемая так, что ее ротор равен магнитному полю : . Вместе с электрическим потенциалом φ магнитный векторный потенциал может использоваться для задания электрического поля E. Поэтому многие уравнения электромагнетизма можно записать либо в терминах полей E и B , либо, что эквивалентно, в терминах потенциалов φ и A. В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика , большинство уравнений используют потенциалы, а не поля.${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

Магнитный векторный потенциал был независимо введен Францем Эрнстом Нейманом ^[1] и Вильгельмом Эдуардом Вебером ^[2] в 1845 и 1846 годах соответственно для обсуждения закона Ампера . ^[3] Уильям Томсон также представил современную версию векторного потенциала в 1847 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем. ^[4]

В данной статье используется система СИ.

В системе СИ единицами измерения А являются В · с · м ⁻¹ и они совпадают с единицами измерения импульса на единицу заряда или силы на единицу тока .

Магнитный векторный потенциал, , является векторным полем , а электрический потенциал , , является скалярным полем, таким что: ^[5] где — магнитное поле , а — электрическое поле . В магнитостатике , где нет переменного во времени тока или распределения заряда , требуется только первое уравнение. (В контексте электродинамики термины векторный потенциал и скалярный потенциал используются для магнитного векторного потенциала и электрического потенциала соответственно. В математике векторный потенциал и скалярный потенциал можно обобщить на более высокие размерности.)${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$

Если электрические и магнитные поля определяются, как указано выше, из потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла : закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея . Например, если является непрерывным и хорошо определено всюду, то это гарантированно не приведет к магнитным монополям . (В математической теории магнитных монополей допускается быть либо неопределенным, либо многозначным в некоторых местах; см. подробности в разделе магнитный монополь ).${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Начнем с приведенных выше определений и вспомним, что дивергенция ротора равна нулю, а ротор градиента — это нулевой вектор:$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Альтернативно, существование и гарантируется этими двумя законами с использованием теоремы Гельмгольца . Например, поскольку магнитное поле является бездивергентным (закон Гаусса для магнетизма; т.е. ), всегда существует , удовлетворяющий приведенному выше определению.${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Векторный потенциал используется при изучении лагранжиана в классической механике и в квантовой механике (см. уравнение Шредингера для заряженных частиц , уравнение Дирака , эффект Ааронова–Бома ).${\displaystyle \mathbf {A} }$

В минимальной связи называется потенциальным импульсом и является частью канонического импульса .${\displaystyle q\mathbf {A} }$

Линейный интеграл по замкнутому контуру равен магнитному потоку , , через поверхность , которую он охватывает:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}$$

Поэтому единицы также эквивалентны веберу на метр . Приведенное выше уравнение полезно при квантовании потока сверхпроводящих контуров .${\displaystyle \mathbf {A} }$

Хотя магнитное поле, , является псевдовектором (также называемым аксиальным вектором ), векторный потенциал, , является полярным вектором . ^[6] Это означает, что если бы правило правой руки для векторных произведений было заменено правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений или определений, то знаки поменялись бы, но A не изменилось бы. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот. ^[6]${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Приведенное выше определение не определяет магнитный векторный потенциал однозначно, поскольку по определению мы можем произвольно добавлять компоненты без завихрений к магнитному потенциалу, не изменяя наблюдаемое магнитное поле. Таким образом, существует степень свободы, доступная при выборе . Это условие известно как калибровочная инвариантность .${\displaystyle \mathbf {A} }$

Два распространенных варианта калибра:

• Датчик Лоренца :$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$
• Калибровка Кулона :$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

В других калибрах формулы для и отличаются; например, см. калибровку Кулона для другой возможности.${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \phi }$

Используя приведенное выше определение потенциалов и применяя его к двум другим уравнениям Максвелла (тем, которые не удовлетворяются автоматически), получаем сложное дифференциальное уравнение, которое можно упростить с помощью калибровки Лоренца , где выбрано для удовлетворения: ^[5]${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$

Используя калибровку Лоренца, уравнения электромагнитных волн можно записать компактно в терминах потенциалов, ^[5]

• Волновое уравнение скалярного потенциала$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\end{aligned}}}$$
• Волновое уравнение векторного потенциала$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\ \partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\ \mathbf {J} \end{aligned}}}$$

Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Фейнман ^[5] и Джексон ^[7] ) с граничным условием, что оба потенциала стремятся к нулю достаточно быстро по мере приближения к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами , которые представляют собой магнитный векторный потенциал и электрический скалярный потенциал, обусловленные текущим распределением плотности тока , плотности заряда и объема , внутри которого и отличны от нуля по крайней мере иногда и в некоторых местах):${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$

• Решения$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

где поля в векторе положения и времени вычисляются из источников в удаленном положении в более раннее время Местоположение является точкой источника в распределении заряда или тока (также переменной интегрирования, в пределах объема ). Более раннее время называется запаздывающим временем и вычисляется как${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle t'.}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle t'}$$${\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.}$$$${\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.}$$

• Условие калибровки Лоренца выполняется:

$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.}$$

• Положение , точки, в которой находятся значения для и , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от до Направление от до не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в исходной точке, — это то, насколько далеко она находится.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} .}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• Интегральное выражение использует запаздывающее время , Это отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, заряд и плотность тока, влияющие на электрический и магнитный потенциал в и , из удаленного местоположения также должны быть в некоторое предшествующее время${\displaystyle t'.}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle t'.}$
• Уравнение для является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[8] В этой форме очевидно, что компонент в заданном направлении зависит только от компонентов , которые имеют то же направление. Если ток передается по прямому проводу, указывает в том же направлении, что и провод.${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Предыдущие уравнения временной области могут быть выражены в частотной области. ^{[9] : 139}

• Датчик Лоренца или${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0\qquad }$${\displaystyle \qquad \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} }$
• Решения${\displaystyle \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\qquad \phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '}$
• Волновые уравнения${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\ \mathbf {J} .}$
• Уравнения электромагнитного поля${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}$

где

${\displaystyle \phi }$и являются скалярными фазорами .${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {E} ,}$и являются векторными фазорами .${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

Есть несколько примечательных вещей, касающихся расчета таким способом:${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \phi }$

• Условие калибровки Лоренца выполняется: Это означает, что электрический потенциал частотной области, , может быть полностью вычислен из распределения плотности тока, .${\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {J} }$
• Положение точки, в которой находятся значения для и , входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от до Направление от до не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в исходной точке, — это то, насколько она далека.${\displaystyle \mathbf {r} ,}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \ \mathbf {r} .}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$
• Подынтегральное выражение использует термин фазового сдвига , который играет роль, эквивалентную замедленному времени . Это отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света; задержка распространения во временной области эквивалентна фазовому сдвигу в частотной области.${\displaystyle e^{-jkR}}$
• Уравнение для является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения: ^[8] В этой форме очевидно, что компонент в заданном направлении зависит только от компонентов , которые имеют то же направление. Если ток передается по прямому проводу, указывает в том же направлении, что и провод.${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

См. Фейнман ^[10] для описания поля вокруг длинного тонкого соленоида .${\displaystyle \mathbf {A} }$

Так как предполагаются квазистатические условия, т.е. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} }$$

${\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ }$и ,${\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

линии и контуры соотносятся так же, как линии и контуры соотносятся с Таким образом, изображение поля вокруг петли потока (которое создавалось бы в тороидальном индукторе ) качественно такое же, как поле вокруг петли тока.${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {B} \ }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \ \mathbf {J} .}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

Рисунок справа — это художественное изображение поля . Более толстые линии обозначают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, поэтому интеграл пути тот же). Линии нарисованы, чтобы (эстетически) передать общий вид поля .${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Рисунок подразумевает , что , верно при любом из следующих предположений:${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

• предполагается калибровка Кулона
• предполагается калибровка Лоренца и нет распределения заряда,${\displaystyle \rho =0}$
• предполагается калибровка Лоренца и нулевая частота
• предполагается калибровка Лоренца и ненулевая частота, но все еще предполагается достаточно низкой, чтобы пренебречь членом${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе со скалярным электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал , также называемый четырехпотенциалом .

Одной из причин для этого является то, что четырех-потенциал является математическим четырех-вектором . Таким образом, используя стандартные правила преобразования четырех-векторов, если электрический и магнитный потенциалы известны в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета.

Другая, связанная мотивация заключается в том, что содержание классического электромагнетизма может быть записано в краткой и удобной форме с использованием электромагнитного четырехпотенциала, особенно при использовании калибровки Лоренца . В частности, в абстрактной индексной нотации набор уравнений Максвелла (в калибровке Лоренца) может быть записан (в гауссовых единицах ) следующим образом: где — даламбертиан , а — четырехток . Первое уравнение — это условие калибровки Лоренца , тогда как второе содержит уравнения Максвелла. Четырехпотенциал также играет очень важную роль в квантовой электродинамике .$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}}$$${\displaystyle \ \Box ^{2}\ }$${\displaystyle \ J\ }$

В поле с электрическим потенциалом и магнитным потенциалом лагранжиан ( ) и гамильтониан ( ) частицы с массой и зарядом равны${\displaystyle \ \phi \ }$${\displaystyle \ \mathbf {A} }$${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {H}}\ }$${\displaystyle \ m\ }$${\displaystyle \ q\ }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(q\ \mathbf {A} -\mathbf {p} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}}$$

• Магнитный скалярный потенциал
• Эффект Ааронова-Бома
• Глюонное поле

• Даффин, У. Дж. (1990). Электричество и магнетизм, четвертое издание . McGraw-Hill.
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике, том 2. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02117-X.
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.
• Краус, Джон Д. (1984). Электромагнетизм (3-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-035423-5.

• Медиа, связанные с Магнитный векторный потенциал на Wikimedia Commons