Взаимность (электромагнетизм)

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Электромагнитное поле Электромагнитная индукция Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение закон Фарадея уравнения Ефименко формула Лармора закон Ленца Потенциал Льенара–Вихерта Уравнения Лондона сила Лоренца Уравнения Максвелла тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Синхротронное излучение
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Плотность тока Постоянный ток Электрический ток Электроэнергия Электролиз Электродвижущая сила Сопротивление Индуктивность Джоулевое тепло законы Кирхгофа Сетевой анализ закон Ома Параллельная цепь Сопротивление Резонансные полости Последовательная цепь Напряжение Ватт Волноводы
Магнитная цепь двигатель переменного тока двигатель постоянного тока Электрическая машина Электродвигатель Гиратор–конденсатор Асинхронный двигатель Линейный двигатель Магнитодвижущая сила Проницаемость Нежелание (комплекс) Нежелание (реальное) Ротор Статор Трансформатор
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор Электромагнетизм и специальная теория относительности Четырехпоточный Четырехпотенциальный Математические описания Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени Релятивистский электромагнетизм Тензор энергии-напряжения
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Гельмгольц Генри Герц Хопкинсон Ефименко Джоуль Кельвин Кирхгоф Лармор Ленц Лиенар Лоренц Максвелл Нойманн Ом Эрстед Пуассон Пойнтинг Ричи Савар Певица Штейнмец Тесла Томсон Вольта Вебер Вихерт
в т е

В классическом электромагнетизме взаимность относится к ряду связанных теорем, включающих обмен гармоническими во времени плотностями электрического тока (источниками) и результирующими электромагнитными полями в уравнениях Максвелла для инвариантных во времени линейных сред при определенных ограничениях. Взаимность тесно связана с концепцией симметричных операторов из линейной алгебры , применяемой к электромагнетизму.

Возможно , наиболее распространенной и общей такой теоремой является теорема взаимности Лоренца (и ее различные частные случаи, такие как теорема взаимности Рэлея-Карсона ), названная в честь работы Хендрика Лоренца 1896 года, последовавшей за аналогичными результатами относительно звука лорда Рэлея и света Гельмгольца (Potton 2004). В общем, она гласит, что связь между колеблющимся током и результирующим электрическим полем не изменится, если поменять местами точки, где помещен ток, и точки, где измеряется поле. Для конкретного случая электрической сети ее иногда формулируют как утверждение, что напряжения и токи в разных точках сети можно поменять местами. Более технически, из этого следует, что взаимное сопротивление первой цепи из-за второй такое же, как взаимное сопротивление второй цепи из-за первой.

Взаимность полезна в оптике , которая (помимо квантовых эффектов) может быть выражена в терминах классического электромагнетизма, а также в терминах радиометрии .

Аналогичная теорема существует и в электростатике , известная как теорема взаимности Грина , связывающая взаимообмен электрического потенциала и плотности электрического заряда .

Формы теорем взаимности используются во многих электромагнитных приложениях, таких как анализ электрических сетей и антенных систем. ^[1] Например, взаимность подразумевает, что антенны работают одинаково хорошо как передатчики или приемники, и, в частности, что диаграммы излучения и приема антенны идентичны. Взаимность также является базовой леммой, которая используется для доказательства других теорем об электромагнитных системах, таких как симметрия матрицы импеданса и матрицы рассеяния , симметрии функций Грина для использования в вычислительных методах граничных элементов и матриц переноса, а также свойства ортогональности гармонических мод в волноводных системах (в качестве альтернативы доказательству этих свойств непосредственно из симметрий собственных операторов ).

В частности, предположим, что имеется плотность тока , которая создает электрическое поле и магнитное поле , где все три являются периодическими функциями времени с угловой частотой ω , и в частности они имеют зависимость от времени Предположим, что у нас аналогичным образом имеется второй ток с той же частотой ω, который (сам по себе) создает поля и Тогда теорема взаимности Лоренца утверждает, при определенных простых условиях на материалы среды, описанной ниже, что для произвольной поверхности S, охватывающей объем V :${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\,,}$ ${\displaystyle \exp(-i\omega t)\,.}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\,.}$

${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

Эквивалентно, в дифференциальной форме (по теореме о дивергенции ):

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ .}$

Эта общая форма обычно упрощается для ряда особых случаев. В частности, обычно предполагается, что и локализованы (т.е. имеют компактный носитель ), и что нет входящих волн из бесконечно большого расстояния. В этом случае, если интегрировать по всему пространству, то члены поверхностного интеграла сокращаются (см. ниже) и получается:${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\ }$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,\mathrm {d} V=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\mathrm {d} V\ .}$

Этот результат (вместе со следующими упрощениями) иногда называют теоремой о взаимности Рэлея-Карсона , в честь работы лорда Рэлея о звуковых волнах и расширения Карсона (1924; 1930) для приложений радиочастотных антенн. Часто это соотношение еще больше упрощают, рассматривая точечные дипольные источники, в этом случае интегралы исчезают, и мы просто имеем произведение электрического поля на соответствующие дипольные моменты токов. Или, для проводов пренебрежимо малой толщины, мы получаем приложенный ток в одном проводе, умноженный на результирующее напряжение на другом и наоборот; см. также ниже.

Другой частный случай теоремы взаимности Лоренца применяется, когда объем V полностью содержит оба локализованных источника (или, в качестве альтернативы, если V не пересекает ни один из источников). В этом случае:

${\displaystyle \ \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$

В практических задачах встречаются и другие, более обобщенные формы соотношений взаимности Лоренца и других, в которых, помимо плотности электрического тока , используется также плотность магнитного тока . Эти типы соотношений взаимности обычно обсуждаются в электротехнической литературе. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \ }$

Выше принцип взаимности Лоренца был сформулирован в терминах внешнего источника тока и результирующего поля. Часто, особенно для электрических сетей, вместо этого предпочитают думать о внешнем напряжении и результирующих токах. Теорема взаимности Лоренца описывает и этот случай, предполагая омические материалы (т. е. токи, которые линейно реагируют на приложенное поле) с матрицей проводимости 3×3 σ , которая должна быть симметричной , что подразумевается другими условиями ниже. Чтобы правильно описать эту ситуацию, нужно тщательно различать внешние приложенные поля (от возбуждающих напряжений) и общие поля, которые получаются (King, 1963).

Более конкретно, вышеизложенное состояло только из внешних "источниковых" членов, введенных в уравнения Максвелла. Теперь мы обозначаем это как , чтобы отличить его от полного тока, произведенного как внешним источником, так и результирующими электрическими полями в материалах. Если этот внешний ток находится в материале с проводимостью σ , то он соответствует внешне приложенному электрическому полю , где, по определению σ :${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ }$

${\displaystyle \ \mathbf {J} ^{(e)}=\sigma \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$

Более того, электрическое поле выше состояло только из реакции на этот ток и не включало «внешнее» поле. Поэтому теперь мы обозначаем поле, полученное ранее, как , где полное поле определяется как${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(e)}\ .}$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {E} =\mathbf {E} ^{(e)}+\mathbf {E} ^{(r)}\ .}$

Теперь уравнение в левой части теоремы взаимности Лоренца можно переписать, переместив σ из члена внешнего тока в члены поля отклика , а также добавив и вычтя член , чтобы получить внешнее поле, умноженное на полный ток.${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$${\displaystyle \ \mathbf {E} ^{(r)}\ ,}$${\displaystyle \ \sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\mathbf {E} _{2}^{(e)}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \ :}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\\={}&\int _{V}\left[\mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]\operatorname {d} V\ .\end{aligned}}}$

Для предела тонких проводов это дает произведение внешнего приложенного напряжения (1), умноженное на результирующий полный ток (2) и наоборот. В частности, теорема взаимности Рэлея-Карсона становится простым суммированием:

${\displaystyle \ \sum _{n}{\mathcal {V}}_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}=\sum _{n}{\mathcal {V}}_{2}^{(n)}I_{1}^{(n)}}$

где и I обозначают комплексные амплитуды приложенных напряжений переменного тока и результирующих токов, соответственно, в наборе элементов схемы (индексированных как n ) для двух возможных наборов напряжений и${\displaystyle \ {\mathcal {V}}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}\ .}$

Чаще всего это упрощается до случая, когда каждая система имеет один источник напряжения при и Тогда теорема становится просто${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{\text{s}}\ ,}$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{1}^{(1)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ }$${\displaystyle \ {\mathcal {V}}_{2}^{(2)}={\mathcal {V}}_{\text{s}}\ .}$

${\displaystyle I_{1}^{(2)}=I_{2}^{(1)}}$

или словами:

Ток в точке (1) от напряжения в точке (2) идентичен току в точке (2) от того же напряжения в точке (1).

Теорема взаимности Лоренца является просто отражением того факта, что линейный оператор, связывающий и на фиксированной частоте (в линейных средах): где — это обычно симметричный оператор относительно « внутреннего произведения » для векторных полей и ^[8] (Технически, эта несопряженная форма не является истинным внутренним произведением, поскольку она не является вещественнозначной для комплексных полей, но в данном случае это не проблема. В этом смысле оператор не является истинно эрмитовым, а скорее комплексно-симметричным.) Это верно всякий раз, когда диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ при заданном ω являются симметричными матрицами 3×3 (симметричными тензорами ранга 2) — это включает в себя общий случай, когда они являются скалярами (для изотропных сред), конечно. Они не обязательно должны быть действительными — комплексные значения соответствуют материалам с потерями, таким как проводники с конечной проводимостью σ (которая включена в ε через ) — и поэтому теорема взаимности не требует инвариантности относительно обращения времени . Условие симметричности матриц ε и μ почти всегда выполняется; см. ниже исключение.${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} }$$$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \equiv {\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} }$$${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} \ .}$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow \varepsilon +i\sigma /\omega \ }$

Для любого эрмитова оператора под скалярным произведением , по определению, и теорема взаимности Рэлея-Карсона является просто векторной версией этого утверждения для этого конкретного оператора , то есть, Эрмитово свойство оператора здесь может быть получено путем интегрирования по частям . Для конечного объема интегрирования поверхностные члены из этого интегрирования по частям дают более общую теорему о поверхностном интеграле выше. В частности, ключевым фактом является то, что для векторных полей и интегрирования по частям (или теоремы о расходимости ) по объему V , ограниченному поверхностью S, дает тождество:${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$${\displaystyle (f,g)\!}$${\displaystyle (f,\operatorname {\hat {O}} g)=(\operatorname {\hat {O}} f,g)}$${\displaystyle \mathbf {J} =\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} \ :}$${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})=(\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})\ .}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} \ ,}$$${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,\mathrm {d} V\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ .}$$

Это тождество затем применяется дважды, чтобы получить плюс поверхностный член, что дает соотношение взаимности Лоренца.${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle (\operatorname {\hat {O}} \mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$

Условия и доказательство взаимности Лоренца с использованием уравнений Максвелла и векторных операций ^[9]

Мы докажем общую форму теоремы электромагнитного взаимодействия Лоренца, которая утверждает, что поля и , создаваемые двумя различными плотностями синусоидального тока соответственно и одинаковой частоты, удовлетворяют условию ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} .}$$

Возьмем область, в которой диэлектрическая постоянная и проницаемость могут быть функциями положения, но не времени. Уравнения Максвелла, записанные в терминах полных полей, токов и зарядов области, описывают электромагнитное поведение области. Два уравнения ротора следующие:$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

При условиях постоянной частоты из двух уравнений ротора получаем уравнения Максвелла для случая, периодического во времени:$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-j\omega \mathbf {B} \ ,\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D} \ .\end{array}}}$$

Необходимо признать, что символы в уравнениях этой статьи представляют собой комплексные множители , давая синфазные и противофазные части относительно выбранной точки отсчета. Комплексные векторные множители могут быть названы векторными фазорами по аналогии с комплексными скалярными величинами, которые обычно называют фазорами .${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle e^{j\omega t}}$

Эквивалентность векторных операций показывает, что для любых векторов и$${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {H} \ .}$

Если мы применим эту эквивалентность к и получим:${\displaystyle \mathbf {E} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$$${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Если продукты в уравнениях, периодических по времени, берутся, как указано в этой последней эквивалентности, и складываются,$${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\ .}$$

Теперь это может быть интегрировано в объем беспокойства,$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\mathrm {d} V\ .}$$

Из теоремы о расходимости следует, что объемный интеграл равен поверхностному интегралу по границе.${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Эта форма верна для общих сред, но в общем случае линейных, изотропных, не зависящих от времени материалов ε является скаляром, не зависящим от времени. Тогда, как правило, физические величины и${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} \ .}$

Последнее уравнение тогда становится$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right)\mathrm {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Совершенно аналогичным образом получаем для векторов и следующее выражение:${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$$${\displaystyle \int _{V}\left(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1}\right)\operatorname {d} V=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot {\widehat {\mathrm {d} S}}\ .}$$

Вычитая два последних уравнения по членам, получаем и эквивалентно в дифференциальной форме QED$${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\operatorname {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} \ .}$$$${\displaystyle \ \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]\ }$$

Сокращение поверхностных членов в правой части теоремы взаимности Лоренца для интегрирования по всему пространству не совсем очевидно, но может быть получено несколькими способами. Строгая обработка поверхностного интеграла учитывает причинность взаимодействующих состояний волнового поля: вклад поверхностного интеграла на бесконечности исчезает только для взаимодействия свертки по времени двух причинных волновых полей (взаимодействие корреляции по времени приводит к ненулевому вкладу). ^[10]

Другим простым аргументом было бы то, что для локализованного источника поля стремятся к нулю на бесконечности, но этот аргумент не работает в случае среды без потерь: при отсутствии поглощения излучаемые поля затухают обратно пропорционально расстоянию, но площадь поверхности интеграла увеличивается пропорционально квадрату расстояния, поэтому две скорости уравновешивают друг друга в интеграле.

Вместо этого принято (например, Кинг, 1963) предполагать, что среда однородна и изотропна достаточно далеко. В этом случае излучаемое поле асимптотически принимает форму плоских волн, распространяющихся радиально наружу (в направлении) с и где Z — скалярный импеданс окружающей среды. Тогда следует то, что по простому векторному тождеству равно Аналогично, и два члена взаимно уничтожают друг друга.${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} {\mathbf {r} }\cdot \mathbf {E} =0}$${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} /Z}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu /\epsilon }}}$${\displaystyle \ \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}={\frac {\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ ,}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\ .}$${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\frac {\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1}}{Z}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$

Приведенный выше аргумент явно показывает, почему поверхностные члены могут сокращаться, но не обладает общностью. В качестве альтернативы можно рассматривать случай окружающей среды без потерь с граничными условиями излучения, налагаемыми с помощью принципа предельного поглощения (LAP): принимая предел, когда потери (мнимая часть ε ) стремятся к нулю. Для любых ненулевых потерь поля экспоненциально затухают с расстоянием, а поверхностный интеграл исчезает, независимо от того, является ли среда однородной. Поскольку левая часть теоремы взаимности Лоренца исчезает при интегрировании по всему пространству с любыми ненулевыми потерями, она также должна исчезать в пределе, когда потери стремятся к нулю. (Обратите внимание, что LAP неявно налагает условие излучения Зоммерфельда нулевых входящих волн из бесконечности, потому что в противном случае даже произвольно малые потери устранили бы входящие волны, и предел не дал бы решения без потерь.)

Обратный оператор ie, в (который требует спецификации граничных условий на бесконечности в системе без потерь), имеет ту же симметрию, что и и по сути является сверткой функции Грина . Таким образом, другая точка зрения на взаимность Лоренца состоит в том, что она отражает тот факт, что свертка с электромагнитной функцией Грина является комплексно-симметричной (или антиэрмитовой, ниже) линейной операцией при соответствующих условиях на ε и μ . Более конкретно, функция Грина может быть записана как дающая n -ый компонент at из точечного дипольного тока в m -ом направлении at (по сути, дает матричные элементы ), а взаимность Рэлея-Карсона эквивалентна утверждению, что В отличие от этого, как правило, невозможно дать явную формулу для функции Грина (за исключением особых случаев, таких как однородные среды), но она обычно вычисляется численными методами.${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$${\displaystyle \mathbf {E} =\operatorname {\hat {O}} ^{-1}\mathbf {J} }$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {x} '}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} ^{-1}}$${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\ .}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} \ ,}$

Один случай, в котором ε не является симметричной матрицей, — это магнитооптические материалы, в этом случае обычное утверждение о взаимности Лоренца не выполняется (однако, см. ниже обобщение). Если мы допустим магнитооптические материалы, но ограничимся ситуацией, когда поглощение материала пренебрежимо мало , то ε и μ в общем случае будут комплексными эрмитовыми матрицами 3×3 . В этом случае оператор является эрмитовым относительно сопряженного скалярного произведения , и вариант теоремы о взаимности ^{[ требуется ссылка ]} все еще выполняется: где изменения знака происходят из в уравнении выше, что делает оператор антиэрмитовым (пренебрегая поверхностными членами). Для частного случая это дает переформулировку закона сохранения энергии или теоремы Пойнтинга (поскольку здесь мы предположили отсутствие потерь в материалах, в отличие от предыдущего): Средняя по времени скорость работы, выполняемой током (задаваемая действительной частью ), равна среднему по времени внешнему потоку мощности (интегралу вектора Пойнтинга ). По той же причине, однако, поверхностные члены в общем случае не исчезают, если интегрировать по всему пространству для этого варианта взаимности, поэтому форма Рэлея-Карсона не выполняется без дополнительных предположений.${\textstyle \ {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$${\textstyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf {F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,\mathrm {d} V\ ,}$$${\displaystyle -\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]\mathrm {d} V=\oint _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\times \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {\mathrm {d} A} }$$${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}}$${\displaystyle \operatorname {\hat {O}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}\ ,}$${\displaystyle -\mathbf {J} ^{*}\cdot \mathbf {E} }$

Тот факт, что магнитооптические материалы нарушают взаимность Рэлея-Карсона, является ключом к таким устройствам, как изоляторы и циркуляторы Фарадея . Ток на одной стороне изолятора Фарадея создает поле на другой стороне, но не наоборот.

Для комбинации материалов с потерями и магнитооптических материалов, а также в общем случае, когда тензоры ε и μ не являются ни симметричными, ни эрмитовыми матрицами, все равно можно получить обобщенную версию взаимности Лоренца, рассматривая и как существующие в разных системах .${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$

В частности, если удовлетворять уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами и удовлетворять уравнениям Максвелла при ω для системы с материалами , где обозначает транспонирование , то уравнение взаимности Лоренца выполняется. Это может быть далее обобщено на бианизотропные материалы путем транспонирования полного тензора восприимчивости 6×6. ^[11]${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})\ ,}$${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$${\displaystyle \left(\varepsilon _{1}^{\mathsf {T}},\mu _{1}^{\mathsf {T}}\right)\ ,}$${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

Для нелинейных сред теорема взаимности обычно не выполняется. Взаимность также обычно не применяется для изменяющихся во времени («активных») сред; например, когда ε модулируется во времени каким-либо внешним процессом. (В обоих этих случаях частота ω обычно не является сохраняющейся величиной.)

В 1992 году тесно связанная теорема взаимности была сформулирована независимо YA Feld ^[12] и CT Tai, ^[13] и известна как теорема взаимности Feld-Tai или лемма Feld-Tai . Она связывает два гармонических по времени локализованных источника тока и результирующие магнитные поля :

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,\operatorname {d} V=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\,\operatorname {d} V\ .}$

Однако лемма Фельда-Таи справедлива только при гораздо более ограничительных условиях, чем взаимность Лоренца. Она обычно требует неизменяемых во времени линейных сред с изотропным однородным импедансом , т. е. постоянным скалярным отношением μ / ε , за возможным исключением областей идеально проводящего материала.

Точнее, взаимность Фельда-Тая требует эрмитовой (или, скорее, комплексно-симметричной) симметрии электромагнитных операторов, как указано выше, но также опирается на предположение, что оператор, связывающий и , является постоянным скалярным множителем оператора, связывающего и , что верно, когда ε является постоянным скалярным множителем μ (два оператора обычно отличаются заменой ε и μ ). Как указано выше, можно также построить более общую формулировку для интегралов по конечному объему.${\displaystyle \ \mathbf {E} \ }$${\displaystyle \ i\omega \mathbf {J} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {H} \ }$${\displaystyle \ \nabla \times (\mathbf {J} /\varepsilon )\ ,}$

Помимо квантовых эффектов, классическая теория охватывает электрические и магнитные явления в ближнем, среднем и дальнем поле с произвольными временными характеристиками. Оптика относится к дальним почти синусоидальным колебательным электромагнитным эффектам. Вместо парных электрических и магнитных переменных оптика, включая оптическую взаимность, может быть выражена в парных по поляризации радиометрических переменных, таких как спектральная яркость , традиционно называемая удельной интенсивностью .

В 1856 году Герман фон Гельмгольц писал:

«Луч света, исходящий из точки A, достигает точки B, претерпев некоторое количество преломлений, отражений и т. д. В точке A пусть любые две перпендикулярные плоскости a ₁ , a ₂ будут взяты в направлении луча; и пусть колебания луча будут разделены на две части, по одной в каждой из этих плоскостей. Возьмем подобные плоскости b ₁ , b ₂ в луче в точке B ; тогда может быть продемонстрировано следующее предложение. Если, когда количество света J, поляризованного в плоскости a _{1 ,} исходит из A в направлении данного луча, та часть K света, поляризованного в b _{1 ,} достигает B , то, наоборот, если количество света J, поляризованного в b _{1 ,} исходит из B , то то же самое количество света K, поляризованного в a _{1 ,} достигнет A ». ^[14]

Это иногда называют принципом взаимности (или реверсии) Гельмгольца . ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} Когда волна распространяется через материал, на который действует приложенное магнитное поле, взаимность может быть нарушена, поэтому этот принцип не будет применяться. ^[14] Аналогично, когда на пути луча есть движущиеся объекты, принцип может быть полностью неприменим. Исторически сложилось так, что в 1849 году сэр Джордж Стокс сформулировал свой оптический принцип реверсии, не обращая внимания на поляризацию. ^{[21] [22] [23]}

Подобно принципам термодинамики, этот принцип достаточно надежен, чтобы использовать его для проверки правильности проведения экспериментов, в отличие от обычной ситуации, в которой эксперименты являются проверкой предлагаемого закона. ^{[24] [25]}

Простейшая формулировка принципа: если я вижу вас, то вы можете видеть меня . Этот принцип был использован Густавом Кирхгофом при выводе закона теплового излучения и Максом Планком при анализе закона теплового излучения .

Для алгоритмов глобального освещения с трассировкой лучей входящий и исходящий свет можно рассматривать как инверсии друг друга, не влияя на результат функции распределения двунаправленной отражательной способности (BRDF). ^[25]

В то время как приведенные выше теоремы взаимности были справедливы для осциллирующих полей, теорема Грина является аналогичной теоремой для электростатики с фиксированным распределением электрического заряда (Панофски и Филлипс, 1962).

В частности, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий из полной плотности заряда . Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона , , где — диэлектрическая проницаемость вакуума . Аналогично, пусть обозначает электрический потенциал, возникающий из полной плотности заряда , удовлетворяющий . В обоих случаях мы предполагаем, что распределения зарядов локализованы, так что потенциалы можно выбрать стремящимися к нулю на бесконечности. Тогда теорема взаимности Грина утверждает, что для интегралов по всему пространству:${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}/\varepsilon _{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}/\varepsilon _{0}}$

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}\operatorname {d} V~.}$

Эта теорема легко доказывается из второго тождества Грина . Эквивалентно, это утверждение, что

${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})\operatorname {d} V=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})\operatorname {d} V\ ,}$

т.е. это эрмитов оператор (что следует из двукратного интегрирования по частям).${\displaystyle \nabla ^{2}}$

• Принцип эквивалентности поверхностей