Вектор Лапласа–Рунге–Ленца
Вектор, используемый в астрономии

В классической механике вектор Лапласа –Рунге–Ленца (ЛРЛ) — это вектор, используемый в основном для описания формы и ориентации орбиты одного астрономического тела вокруг другого, например, двойной звезды или планеты, вращающейся вокруг звезды. Для двух тел, взаимодействующих посредством ньютоновской гравитации , вектор ЛРЛ является константой движения , что означает, что он одинаков независимо от того, где он вычисляется на орбите; [1] [2] эквивалентно, вектор ЛРЛ считается сохраняющимся . В более общем смысле вектор ЛРЛ сохраняется во всех задачах, в которых два тела взаимодействуют посредством центральной силы , которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними; такие задачи называются задачами Кеплера . [3] [4] [5] [6]

Атом водорода является проблемой Кеплера, поскольку он состоит из двух заряженных частиц, взаимодействующих по закону электростатики Кулона , другой центральной силе с обратным квадратом. Вектор LRL был существенным в первом квантово-механическом выводе спектра атома водорода [7] [8] до разработки уравнения Шредингера . Однако этот подход редко используется сегодня.

В классической и квантовой механике сохраняющиеся величины обычно соответствуют симметрии системы. [9] Сохранение вектора LRL соответствует необычной симметрии; задача Кеплера математически эквивалентна частице, свободно движущейся по поверхности четырехмерной (гипер-)сферы , [10] так что вся задача симметрична при определенных вращениях четырехмерного пространства. [11] Эта более высокая симметрия является результатом двух свойств задачи Кеплера: вектор скорости всегда движется по идеальной окружности , и при заданной полной энергии все такие окружности скорости пересекаются друг с другом в тех же двух точках. [12]

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца назван в честь Пьера-Симона де Лапласа , Карла Рунге и Вильгельма Ленца . Он также известен как вектор Лапласа , [13] [14] вектор Рунге–Ленца [15] и вектор Ленца . [8] По иронии судьбы, никто из этих ученых не открыл его. [15] Вектор LRL был повторно открыт и переформулирован несколько раз; [15] например, он эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета небесной механики . [2] [14] [16] Были определены различные обобщения вектора LRL, которые включают эффекты специальной теории относительности , электромагнитных полей и даже различных типов центральных сил. [17] [18] [19]

Контекст

Отдельная частица, движущаяся под действием любой консервативной центральной силы, имеет по крайней мере четыре константы движения: полную энергию E и три декартовых компонента вектора момента импульса L относительно центра силы. [20] [21] Орбита частицы ограничена плоскостью, определяемой начальным импульсом частицы p (или, что эквивалентно, ее скоростью v ) и вектором r между частицей и центром силы [20] [21] (см. рисунок 1). Эта плоскость движения перпендикулярна вектору постоянного момента импульса L = r × p ; это может быть выражено математически уравнением скалярного произведения векторов r ⋅ L = 0 . Учитывая его математическое определение ниже, вектор Лапласа–Рунге–Ленца (вектор LRL) A всегда перпендикулярен вектору постоянного момента импульса L для всех центральных сил ( A ⋅ L = 0 ). Следовательно, A всегда лежит в плоскости движения. Как показано ниже, A указывает от центра силы к перицентру движения, точке наибольшего сближения, а ее длина пропорциональна эксцентриситету орбиты. [1]

Вектор LRL A ​​постоянен по длине и направлению, но только для центральной силы с обратной квадратной зависимостью. [1] Для других центральных сил вектор A не постоянен, а изменяется как по длине, так и по направлению. Если центральная сила приблизительно подчиняется закону обратной квадратной зависимости, вектор A приблизительно постоянен по длине, но медленно меняет свое направление. [ 14] Обобщенный сохраняющийся вектор LRL может быть определен для всех центральных сил, но этот обобщенный вектор является сложной функцией положения и обычно не выражается в замкнутой форме . [18] [19] А {\displaystyle {\mathcal {A}}}

Вектор LRL отличается от других сохраняющихся величин следующим свойством. В то время как для типичных сохраняющихся величин существует соответствующая циклическая координата в трехмерном лагранжиане системы, для вектора LRL такой координаты не существует. Таким образом, сохранение вектора LRL должно быть выведено напрямую, например, методом скобок Пуассона , как описано ниже. Сохраняющиеся величины такого рода называются «динамическими», в отличие от обычных «геометрических» законов сохранения, например, закона сохранения момента импульса.

История повторного открытия

Вектор LRL A ​​является константой движения задачи Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, таких как движение планет и двойных звезд. Тем не менее, он никогда не был хорошо известен среди физиков, возможно, потому, что он менее интуитивен, чем импульс и угловой момент. Следовательно, он был независимо переоткрыт несколько раз за последние три столетия. [15]

Якоб Германн был первым, кто показал, что A сохраняется для особого случая центральной силы, обратно пропорциональной квадрату [22], и разработал ее связь с эксцентриситетом орбитального эллипса . Работа Германна была обобщена до ее современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. [23] В конце века Пьер-Симон де Лаплас заново открыл сохранение A , выведя его аналитически, а не геометрически. [24] В середине девятнадцатого века Уильям Роуэн Гамильтон вывел эквивалентный вектор эксцентриситета, определенный ниже, [16] используя его, чтобы показать, что вектор импульса p движется по окружности при движении под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату (рисунок 3). [12]

В начале двадцатого века Джозайя Уиллард Гиббс вывел тот же вектор с помощью векторного анализа . [25] Вывод Гиббса был использован в качестве примера Карлом Рунге в популярном немецком учебнике по векторам, [26] на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о (старой) квантово-механической трактовке атома водорода. [27] В 1926 году Вольфганг Паули использовал вектор LRL для вывода уровней энергии атома водорода, используя формулировку матричной механики квантовой механики, [7] после чего он стал известен в основном как вектор Рунге-Ленца . [15]

Определение

Обратноквадратичная центральная сила, действующая на отдельную частицу, описывается уравнением Соответствующая потенциальная энергия определяется выражением . Постоянный параметр k описывает величину центральной силы; он равен G Mm для гравитационной и − ⁠ Ф ( г ) = − к г 2 г ^ ; {\displaystyle \mathbf {F} (r)=- {\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ;} В ( г ) = − к / г {\displaystyle V(r)=-k/r} 1/4 π ε 0⁠ Qq для электростатических сил. Сила притяжения, если k > 0 , и отталкивания, если k < 0 .

Рисунок 1: Вектор LRL A ​​(показан красным) в четырех точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату. Центр притяжения показан в виде маленького черного круга, из которого исходят векторы положения (также черные). Вектор углового момента L перпендикулярен орбите. Копланарные векторы p × L и ( mk / r ) r показаны синим и зеленым цветом соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор A постоянен по направлению и величине.

Вектор LRL A ​​математически определяется формулой [1]

А = п × Л − м к г ^ , {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} ,}

где

  • m — масса точечной частицы, движущейся под действием центральной силы,
  • p — вектор его импульса,
  • L = r × p — вектор его углового момента,
  • r — радиус-вектор частицы (рисунок 1),
  • г ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } — соответствующий единичный вектор , т.е. , и г ^ = г г {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}
  • r — величина r , расстояние массы от центра силы.

Единицы измерения вектора LRL в системе СИ — джоуль-килограмм-метр (Дж⋅кг⋅м). Это следует из того, что единицы измерения p и L — кг⋅м/с и Дж⋅с соответственно. Это согласуется с единицами измерения m (кг) и k (Н⋅м 2 ).

Это определение вектора LRL A ​​относится к одной точечной частице массой m, движущейся под действием фиксированной силы. Однако то же самое определение можно распространить на задачи двух тел, такие как задача Кеплера, взяв m как приведенную массу двух тел, а r как вектор между двумя телами.

Поскольку предполагаемая сила консервативна, полная энергия E является константой движения, Э = п 2 2 м − к г = 1 2 м в 2 − к г . {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}.}

Предполагаемая сила также является центральной силой. Следовательно, вектор момента импульса L также сохраняется и определяет плоскость, в которой движется частица. Вектор LRL A ​​перпендикулярен вектору момента импульса L, поскольку и p × L, и r перпендикулярны L. Из этого следует, что A лежит в плоскости движения.

Альтернативные формулировки для той же константы движения могут быть определены, как правило, путем масштабирования вектора с константами, такими как масса m , параметр силы k или угловой момент L. [15] Наиболее распространенный вариант — деление A на mk , что дает вектор эксцентриситета, [2] [16] безразмерный вектор вдоль большой полуоси, модуль которого равен эксцентриситету конического сечения: Эквивалентная формула [14] умножает этот вектор эксцентриситета на большую полуось a , давая результирующему вектору единицы длины. Еще одна формула [28] делит A на , давая эквивалентную сохраняющуюся величину с единицами обратной длины, величину, которая появляется в решении задачи Кеплера, где — угол между A и вектором положения r . Дополнительные альтернативные формулировки приведены ниже. е = А м к = 1 м к ( п × Л ) − г ^ . {\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} .} L 2 {\displaystyle L^{2}} u ≡ 1 r = k m L 2 + A L 2 cos ⁡ θ {\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta } θ {\displaystyle \theta }

Вывод орбит Кеплера

Рисунок 2: Упрощенная версия рисунка 1, определяющая угол θ между A и r в одной точке орбиты.

Форму и ориентацию орбит можно определить из вектора LRL следующим образом. [1] Взяв скалярное произведение A с вектором положения r, получаем уравнение , где θ — угол между r и A (рисунок 2). Перестановка скалярного тройного произведения дает A ⋅ r = A ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ = r ⋅ ( p × L ) − m k r , {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =A\cdot r\cdot \cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr,} r ⋅ ( p × L ) = ( r × p ) ⋅ L = L ⋅ L = L 2 {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}

Перестановка дает решение уравнения Кеплера

1 r = m k L 2 + A L 2 cos ⁡ θ {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}+{\frac {A}{L^{2}}}\cos \theta }

Это соответствует формуле для конического сечения с эксцентриситетом e , где эксцентриситет и C являются константами. [1] 1 r = C ⋅ ( 1 + e ⋅ cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}=C\cdot \left(1+e\cdot \cos \theta \right)} e = A | m k | ≥ 0 {\displaystyle e={\frac {A}{\left|mk\right|}}\geq 0}

Взяв скалярное произведение A на себя, получаем уравнение, включающее полную энергию E , [1] которое можно переписать в терминах эксцентриситета, [1] A 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 , {\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2},} e 2 = 1 + 2 L 2 m k 2 E . {\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E.}

Таким образом, если энергия E отрицательна (связанные орбиты), эксцентриситет меньше единицы и орбита представляет собой эллипс. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые «рассеянными орбитами» [1] ), эксцентриситет больше единицы и орбита представляет собой гиперболу . [1] Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет равен единице и орбита представляет собой параболу . [1] Во всех случаях направление A лежит вдоль оси симметрии конического сечения и указывает от центра силы к перицентру, точке наибольшего сближения. [1]

Круговые годографы импульса

Рисунок 3: Вектор импульса p (показан синим цветом) движется по окружности, когда частица движется по эллипсу. Четыре отмеченные точки соответствуют точкам на рисунке 1. Окружность центрирована на оси y в положении A / L (показано пурпурным цветом), с радиусом mk / L (показано зеленым цветом). Угол η определяет эксцентриситет e эллиптической орбиты ( cos η = e ). По теореме о вписанном угле для окружностей , η также является углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения с осью p x , p x = ± p 0 , которые зависят только от E , но не от L .

Сохранение вектора LRL A ​​и вектора углового момента L полезно для демонстрации того, что вектор импульса p движется по окружности под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату. [12] [15]

Взяв скалярное произведение самого себя, получаем m k r ^ = p × L − A {\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A} } ( m k ) 2 = A 2 + p 2 L 2 + 2 L ⋅ ( p × A ) . {\displaystyle (mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} ).}

Далее выбираем L вдоль оси z , а большую полуось в качестве оси x , получаем уравнение геометрического места для p :

p x 2 + ( p y − A L ) 2 = ( m k L ) 2 . {\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-{\frac {A}{L}}\right)^{2}=\left({\frac {mk}{L}}\right)^{2}.}

Другими словами, вектор импульса p ограничен окружностью радиуса mk / L = L / ℓ с центром в точке (0, A / L ) . [29] Для ограниченных орбит эксцентриситет e соответствует косинусу угла η, показанного на рисунке 3. Для неограниченных орбит имеем и, таким образом, окружность не пересекает ось . A > m k {\displaystyle A>mk} p x {\displaystyle p_{x}}

В вырожденном пределе круговых орбит, и, таким образом, при исчезновении A , центр окружности находится в начале координат (0,0) . Для краткости также полезно ввести переменную . p 0 = 2 m | E | {\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}

Этот круговой годограф полезен для иллюстрации симметрии задачи Кеплера.

Константы движения и суперинтегрируемость

Семь скалярных величин E , A и L (будучи векторами, последние две вносят по три сохраняющихся величины каждая) связаны двумя уравнениями, A ⋅ L = 0 и A 2 = m 2 k 2 + 2 mEL 2 , что дает пять независимых констант движения . (Поскольку величина A , а следовательно, и эксцентриситет e орбиты, могут быть определены из полного углового момента L и энергии E , только направление A сохраняется независимо; более того, поскольку A должно быть перпендикулярно L , оно вносит только одну дополнительную сохраняющуюся величину.)

Это согласуется с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и векторы скорости, каждый из которых имеет три компонента), которые определяют орбиту частицы, поскольку начальное время не определяется константой движения. Результирующая 1-мерная орбита в 6-мерном фазовом пространстве, таким образом, полностью определена.

Механическая система с d степенями свободы может иметь не более 2 d − 1 констант движения, поскольку имеется 2 d начальных условий, а начальное время не может быть определено константой движения. Система с более чем d константами движения называется суперинтегрируемой , а система с 2 d − 1 константами называется максимально суперинтегрируемой . [30] Поскольку решение уравнения Гамильтона–Якоби в одной системе координат может дать только d констант движения, суперинтегрируемые системы должны быть разделимы в более чем одной системе координат. [31] Задача Кеплера является максимально суперинтегрируемой, поскольку она имеет три степени свободы ( d = 3 ) и пять независимых констант движения; ее уравнение Гамильтона–Якоби разделимо как в сферических координатах , так и в параболических координатах , [17] как описано ниже.

Максимально суперинтегрируемые системы следуют замкнутым одномерным орбитам в фазовом пространстве , поскольку орбита является пересечением изоповерхностей фазового пространства их констант движения. Следовательно, орбиты перпендикулярны всем градиентам всех этих независимых изоповерхностей, пяти в этой конкретной задаче, и, следовательно, определяются обобщенными перекрестными произведениями всех этих градиентов. В результате все суперинтегрируемые системы автоматически описываются механикой Намбу [32] альтернативно и эквивалентно гамильтоновой механике .

Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием коммутационных соотношений , как показано ниже. [33] Тем не менее, эквивалентно, они также квантуются в рамках Намбу, как, например, эта классическая задача Кеплера в квантовом атоме водорода. [34]

Эволюция под воздействием возмущенных потенциалов

Рисунок 5: Постепенно прецессирующая эллиптическая орбита с эксцентриситетом e  = 0,667. Такая прецессия возникает в задаче Кеплера, если притягивающая центральная сила слегка отклоняется от закона обратных квадратов. Скорость прецессии можно рассчитать с помощью формул в тексте.

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца A сохраняется только для идеальной центральной силы, обратно пропорциональной квадрату. Однако в большинстве практических задач, таких как движение планет, потенциальная энергия взаимодействия между двумя телами не является точно законом обратно пропорционального квадрату, а может включать в себя дополнительную центральную силу, так называемое возмущение, описываемое потенциальной энергией h ( r ) . В таких случаях вектор LRL медленно вращается в плоскости орбиты, что соответствует медленной апсидальной прецессии орбиты.

По предположению, возмущающий потенциал h ( r ) является консервативной центральной силой, что подразумевает, что полная энергия E и вектор момента импульса L сохраняются. Таким образом, движение по-прежнему лежит в плоскости, перпендикулярной L , и величина A сохраняется из уравнения A 2 = m 2 k 2 + 2 mEL 2 . Возмущающий потенциал h ( r ) может быть функцией любого вида, но должен быть значительно слабее основной силы, обратной квадрату, между двумя телами.

Скорость , с которой вращается вектор LRL, дает информацию о возмущающем потенциале h ( r ) . Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол , легко показать [1] , что A вращается со скоростью , где T — орбитальный период, а тождество L dt = m r 2 dθ использовалось для преобразования временного интеграла в угловой интеграл (рисунок 5). Выражение в угловых скобках, ⟨ h ( r )⟩ , представляет возмущающий потенциал, но усредненный за один полный период; то есть усредненный за один полный проход тела по своей орбите. Математически это среднее по времени соответствует следующей величине в фигурных скобках. Это усреднение помогает подавить колебания скорости вращения. ∂ ∂ L ⟨ h ( r ) ⟩ = ∂ ∂ L { 1 T ∫ 0 T h ( r ) d t } = ∂ ∂ L { m L 2 ∫ 0 2 π r 2 h ( r ) d θ } , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\},\end{aligned}}}

Этот подход был использован для проверки общей теории относительности Эйнштейна , которая добавляет небольшое эффективное обратное кубическое возмущение к нормальному ньютоновскому гравитационному потенциалу, [35] h ( r ) = k L 2 m 2 c 2 ( 1 r 3 ) . {\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right).}

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение для выражения r через θ , вычисляется скорость прецессии перицентра, вызванная этим неньютоновским возмущением, которая [35] близко соответствует наблюдаемой аномальной прецессии Меркурия [36] и двойных пульсаров . [37] Это согласие с экспериментом является убедительным доказательством общей теории относительности. [38] [39] 1 r = m k L 2 ( 1 + A m k cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)} 6 π k 2 T L 2 c 2 , {\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}},}

Скобки Пуассона

Немасштабированные функции

Алгебраическая структура задачи, как объясняется в последующих разделах, SO(4)/ Z 2 ~ SO(3) × SO(3) . [11] Три компонента L i вектора углового момента L имеют скобки Пуассона [1], где i = 1, 2, 3, а ε ijs — полностью антисимметричный тензор , т. е . символ Леви-Чивиты ; индекс суммирования s используется здесь, чтобы избежать путаницы с параметром силы k, определенным выше. Тогда, поскольку вектор LRL A ​​преобразуется как вектор, мы имеем следующие соотношения скобок Пуассона между A и L : [40] Наконец, соотношения скобок Пуассона между различными компонентами A следующие: [41] где — гамильтониан. Обратите внимание, что диапазон компонент A и компонент L не замкнут относительно скобок Пуассона из-за множителя в правой части этого последнего соотношения. { L i , L j } = ∑ s = 1 3 ε i j s L s , {\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},} { A i , L j } = ∑ s = 1 3 ε i j s A s . {\displaystyle \{A_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}A_{s}.} { A i , A j } = − 2 m H ∑ s = 1 3 ε i j s L s , {\displaystyle \{A_{i},A_{j}\}=-2mH\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s},} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H}

Наконец, поскольку L и A являются константами движения, мы имеем { A i , H } = { L i , H } = 0. {\displaystyle \{A_{i},H\}=\{L_{i},H\}=0.}

Скобки Пуассона будут расширены до квантово-механических коммутационных соотношений в следующем разделе, а до скобок Ли — в следующем разделе.

Масштабируемые функции

Как отмечено ниже, масштабированный вектор Лапласа–Рунге–Ленца D может быть определен в тех же единицах, что и угловой момент, путем деления A на . Поскольку D по-прежнему преобразуется как вектор, скобки Пуассона D с вектором углового момента L могут быть записаны в аналогичной форме [11] [8] p 0 = 2 m | H | {\textstyle p_{0}={\sqrt {2m|H|}}} { D i , L j } = ∑ s = 1 3 ε i j s D s . {\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}D_{s}.}

Скобки Пуассона D с самим собой зависят от знака H , т. е. от того , является ли энергия отрицательной (производящей замкнутые эллиптические орбиты под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату) или положительной (производящей открытые гиперболические орбиты под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату). Для отрицательных энергий — т. е. для связанных систем — скобки Пуассона равны [42] Теперь мы можем оценить мотивацию выбранного масштабирования D : при таком масштабировании гамильтониан больше не появляется в правой части предыдущего соотношения. Таким образом, диапазон трех компонент L и трех компонентов D образует шестимерную алгебру Ли под действием скобки Пуассона. Эта алгебра Ли изоморфна so(4) , алгебре Ли 4-мерной группы вращений SO(4) . [43] { D i , D j } = ∑ s = 1 3 ε i j s L s . {\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}

Напротив, для положительной энергии скобки Пуассона имеют противоположный знак. В этом случае алгебра Ли изоморфна so(3,1) . { D i , D j } = − ∑ s = 1 3 ε i j s L s . {\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\varepsilon _{ijs}L_{s}.}

Различие между положительными и отрицательными энергиями возникает из-за того, что желаемое масштабирование — то, которое устраняет гамильтониан из правой части скобок Пуассона между компонентами масштабированного вектора LRL — включает квадратный корень гамильтониана. Чтобы получить действительные функции, мы должны затем взять абсолютное значение гамильтониана, которое различает положительные значения (где ) и отрицательные значения (где ). | H | = H {\displaystyle |H|=H} | H | = − H {\displaystyle |H|=-H}

Оператор Лапласа-Рунге-Ленца для атома водорода в импульсном пространстве

Масштабированный оператор Лапласа-Рунге-Ленца в импульсном пространстве был найден в 2022 году. [44] [45] Формула для оператора проще, чем в позиционном пространстве:

A ^ p = ı ( l ^ p + 1 ) p − ( p 2 + 1 ) 2 ı ∇ p , {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {p} }=\imath ({\hat {l}}_{\mathbf {p} }+1)\mathbf {p} -{\frac {(p^{2}+1)}{2}}\imath \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} },}

где «оператор степени»

l ^ p = ( p ∇ p ) {\displaystyle {\hat {l}}_{\mathbf {p} }=(\mathbf {p} \mathbf {\nabla } _{\mathbf {p} })}

умножает однородный многочлен на его степень.

Инварианты Казимира и уровни энергии

Инварианты Казимира для отрицательных энергий имеют вид и имеют исчезающие скобки Пуассона со всеми компонентами D и L , C 2 тривиально равен нулю, поскольку два вектора всегда перпендикулярны. C 1 = D ⋅ D + L ⋅ L = m k 2 2 | E | , C 2 = D ⋅ L = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2|E|}},\\C_{2}&=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,\end{aligned}}} { C 1 , L i } = { C 1 , D i } = { C 2 , L i } = { C 2 , D i } = 0. {\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0.}

Однако другой инвариант, C 1 , нетривиален и зависит только от m , k и E . При каноническом квантовании этот инвариант позволяет выводить уровни энергии водородоподобных атомов , используя только квантово-механические канонические коммутационные соотношения вместо обычного решения уравнения Шредингера. [8] [43] Этот вывод подробно обсуждается в следующем разделе.

Квантовая механика атома водорода

Рисунок 6: Уровни энергии атома водорода, предсказанные на основе коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа–Рунге–Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона обеспечивают простое руководство для квантования большинства классических систем: коммутационное отношение двух квантово-механических операторов определяется скобкой Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на iħ . [46]

Выполнив это квантование и вычислив собственные значения оператора Казимира C 1 для задачи Кеплера, Вольфганг Паули смог вывести уровни энергии водородоподобных атомов (рисунок 6) и, таким образом, их атомный эмиссионный спектр. [7] Этот элегантный вывод 1926 года был получен до разработки уравнения Шредингера . [47]

Тонкость квантово-механического оператора для вектора LRL A ​​заключается в том, что операторы импульса и углового момента не коммутируют; следовательно, квантовое операторное перекрестное произведение p и L должно быть определено тщательно. [8] Обычно операторы для декартовых компонентов A s определяются с помощью симметризованного (эрмитова) произведения. Как только это сделано, можно показать, что квантовые операторы LRL удовлетворяют коммутационным соотношениям, в точности аналогичным соотношениям скобок Пуассона в предыдущем разделе — просто заменив скобки Пуассона на умноженные на коммутатор. [48] [49] A s = − m k r ^ s + 1 2 ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε s i j ( p i ℓ j + ℓ j p i ) , {\displaystyle A_{s}=-mk{\hat {r}}_{s}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{sij}(p_{i}\ell _{j}+\ell _{j}p_{i}),} 1 / ( i ℏ ) {\displaystyle 1/(i\hbar )}

Из этих операторов можно определить дополнительные лестничные операторы для L. Они дополнительно связывают между собой различные собственные состояния L2 , а значит, и различные спиновые мультиплеты. J 0 = A 3 , J ± 1 = ∓ 1 2 ( A 1 ± i A 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{0}&=A_{3},\\J_{\pm 1}&=\mp {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(A_{1}\pm iA_{2}\right).\end{aligned}}}

Аналогичным образом можно определить нормализованный первый инвариантный оператор Казимира, квантовый аналог вышеприведенного, где H −1 — обратный оператор энергии Гамильтона , а I — тождественный оператор . C 1 = − m k 2 2 ℏ 2 H − 1 − I , {\displaystyle C_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I,}

Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям | ℓ mn〉 полного углового момента, азимутального углового момента и операторов энергии, можно увидеть, что собственные значения первого оператора Казимира, C 1 , квантуются, n 2 − 1 . Важно, что в силу обращения в нуль C 2 они не зависят от квантовых чисел ℓ и m , что делает уровни энергии вырожденными . [8]

Следовательно, энергетические уровни задаются с помощью что совпадает с формулой Ридберга для водородоподобных атомов (рисунок 6). Дополнительные операторы симметрии A связали различные ℓ мультиплеты между собой для заданной энергии (и C 1 ), диктуя n 2 ​​состояний на каждом уровне. По сути, они расширили группу углового момента SO(3) до SO(4) / Z 2 ~ SO(3) × SO(3) . [50] E n = − m k 2 2 ℏ 2 n 2 , {\displaystyle E_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}

Сохранение и симметрия

Сохранение вектора LRL соответствует тонкой симметрии системы. В классической механике симметрии — это непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике симметрии — это непрерывные операции, которые «смешивают» электронные орбитали с одинаковой энергией, т. е. вырождают уровни энергии. С такими симметриями обычно связана сохраняющаяся величина. [1] Например, каждая центральная сила симметрична относительно группы вращения SO(3) , что приводит к сохранению углового момента L. Классически общее вращение системы не влияет на энергию орбиты; в квантовой механике вращения смешивают сферические гармоники с одинаковым квантовым числом ℓ, не изменяя энергию.

Рисунок 7: Семейство годографов кругового импульса для заданной энергии E. Все окружности проходят через одни и те же две точки на оси p x (см. Рисунок 3). Это семейство годографов соответствует одному семейству аполлоновых окружностей и σ-изоповерхностям биполярных координат . ± p 0 = ± 2 m | E | {\textstyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m|E|}}}

Симметрия для центральной силы, обратной квадрату, выше и тоньше. Своеобразная симметрия задачи Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L , так и вектора LRL A ​​(как определено выше) и, квантово-механически, гарантирует, что уровни энергии водорода не зависят от квантовых чисел углового момента ℓ и m . Однако симметрия более тонкая, поскольку операция симметрии должна происходить в пространстве более высокого измерения ; такие симметрии часто называют «скрытыми симметриями». [51]

Классически, более высокая симметрия задачи Кеплера допускает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не момент импульса; выражаясь по-другому, орбиты с одинаковой энергией, но разным моментом импульса (эксцентриситетом) могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Квантово-механически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами ℓ и m , такими как атомные орбитали s ( ℓ = 0 ) и p ( ℓ = 1 ). Такое смешивание невозможно осуществить с помощью обычных трехмерных трансляций или вращений, но оно эквивалентно вращению в более высоком измерении.

Для отрицательных энергий, т.е. для связанных систем, более высокой группой симметрии является SO(4) , которая сохраняет длину четырехмерных векторов. | e | 2 = e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + e 4 2 . {\displaystyle |\mathbf {e} |^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}.}

В 1935 году Владимир Фок показал, что квантово-механическая связанная задача Кеплера эквивалентна задаче свободной частицы, заключенной в трехмерной единичной сфере в четырехмерном пространстве. [10] В частности, Фок показал, что волновая функция Шредингера в импульсном пространстве для задачи Кеплера была стереографической проекцией сферических гармоник на сферу. Вращение сферы и повторное проецирование приводит к непрерывному отображению эллиптических орбит без изменения энергии, симметрии SO(4), иногда известной как симметрия Фока ; [52] квантово-механически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым квантовым числом энергии n . Валентин Баргманн впоследствии заметил, что скобки Пуассона для вектора углового момента L и масштабированного вектора LRL A ​​образуют алгебру Ли для SO(4) . [11] [42] Проще говоря, шесть величин A и L соответствуют шести сохраняющимся угловым моментам в четырех измерениях, связанным с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (существует шесть способов выбора двух осей из четырех). Этот вывод не подразумевает, что наша вселенная является трехмерной сферой; он просто означает, что эта конкретная физическая задача (задача двух тел для центральных сил, обратных квадрату) математически эквивалентна свободной частице на трехмерной сфере.

Для положительных энергий, т.е. для несвязанных, «рассеянных» систем, более высокая группа симметрии — SO(3,1) , которая сохраняет длину Минковского 4-векторов. d s 2 = e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 − e 4 2 . {\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}.}

Оба случая — с отрицательной и положительной энергией — были рассмотрены Фоком [10] и Баргманном [11] и энциклопедически рассмотрены Бандером и Ициксоном. [53] [54]

Орбиты систем центральных сил – и в частности, задачи Кеплера – также симметричны относительно отражения . Следовательно, группы SO(3) , SO(4) и SO(3,1), указанные выше, не являются полными группами симметрии их орбит; полные группы – это O(3) , O(4) и O(3,1) , соответственно. Тем не менее, для демонстрации сохранения углового момента и векторов LRL нужны только связанные подгруппы SO(3) , SO(4) и SO + (3,1) ; симметрия отражения не имеет значения для сохранения, которое может быть выведено из алгебры Ли группы.

Вращательная симметрия в четырех измерениях

Рисунок 8: Годографы импульса на рисунке 7 соответствуют стереографическим проекциям больших кругов на трехмерную единичную сферу η . Все большие круги пересекают ось η x , которая перпендикулярна странице; проекция идет от Северного полюса ( единичный вектор w ) к плоскости η x − η y , как показано здесь для пурпурного годографа пунктирными черными линиями. Большой круг на широте α соответствует эксцентриситету e = sin α . Цвета больших кругов, показанных здесь, соответствуют их соответствующим годографам на рисунке 7.

Связь между задачей Кеплера и четырехмерной вращательной симметрией SO(4) можно легко визуализировать. [53] [55] [56] Пусть четырехмерные декартовы координаты будут обозначены ( w , x , y , z ), где ( x , y , z ) представляют декартовы координаты нормального вектора положения r . Трехмерный вектор импульса p связан с четырехмерным вектором на трехмерной единичной сфере, где — единичный вектор вдоль новой оси w . Преобразование, отображающее p в η, может быть однозначно инвертировано; например, x- компонента импульса равна и аналогично для p y и p z . Другими словами, трехмерный вектор p является стереографической проекцией четырехмерного вектора, масштабированного на p 0 (рисунок 8). η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} η = p 2 − p 0 2 p 2 + p 0 2 w ^ + 2 p 0 p 2 + p 0 2 p = m k − r p 0 2 m k w ^ + r p 0 m k p , {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&={\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&={\frac {mk-rp_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp_{0}}{mk}}\mathbf {p} ,\end{aligned}}} w ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {w}} } p x = p 0 η x 1 − η w , {\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}},} η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}

Без потери общности мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбрав декартовы координаты таким образом, чтобы ось z была совмещена с вектором углового момента L, а годографы импульса были совмещены, как на рисунке 7, с центрами окружностей на оси y . Поскольку движение плоское, а p и L перпендикулярны, p z = η z = 0 , и внимание может быть ограничено трехмерным вектором . Семейство аполлоновых окружностей годографов импульса (рисунок 7) соответствует семейству больших окружностей на трехмерной сфере, все из которых пересекают ось η x в двух фокусах η x = ±1 , соответствующих фокусам годографа импульса в p x = ± p 0. Эти большие окружности связаны простым вращением вокруг оси η x (рисунок 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с одинаковой энергией друг в друга; Однако такое вращение ортогонально обычным трехмерным вращениям, поскольку преобразует четвертое измерение η w . Эта более высокая симметрия характерна для задачи Кеплера и соответствует сохранению вектора LRL. η = ( η w , η x , η y ) {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\eta _{x},\eta _{y})} η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}

Элегантное решение задачи Кеплера в переменных действие-угол можно получить, исключив избыточные четырехмерные координаты в пользу эллиптических цилиндрических координат ( χ , ψ , φ ) [57] , где sn , cn и dn — эллиптические функции Якоби . η {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} η w = cn ⁡ χ cn ⁡ ψ , η x = sn ⁡ χ dn ⁡ ψ cos ⁡ ϕ , η y = sn ⁡ χ dn ⁡ ψ sin ⁡ ϕ , η z = dn ⁡ χ sn ⁡ ψ , {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{w}&=\operatorname {cn} \chi \operatorname {cn} \psi ,\\[1ex]\eta _{x}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \cos \phi ,\\[1ex]\eta _{y}&=\operatorname {sn} \chi \operatorname {dn} \psi \sin \phi ,\\[1ex]\eta _{z}&=\operatorname {dn} \chi \operatorname {sn} \psi ,\end{aligned}}}

Обобщения на другие потенциалы и относительность

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца также можно обобщить для определения сохраняющихся величин, применимых к другим ситуациям.

При наличии однородного электрического поля E обобщенный вектор Лапласа–Рунге–Ленца равен [17] [58] где q — заряд вращающейся частицы. Хотя он не сохраняется, он порождает сохраняющуюся величину, а именно . A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A = A + m q 2 [ ( r × E ) × r ] , {\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right],} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A ⋅ E {\displaystyle {\mathcal {A}}\cdot \mathbf {E} }

Далее обобщая вектор Лапласа–Рунге–Ленца на другие потенциалы и специальную теорию относительности , наиболее общую форму можно записать как [18] где u = 1/ r и ξ = cos θ , с углом θ , определяемым как и γ — фактор Лоренца . Как и прежде, мы можем получить сохраняющийся бинормальный вектор B , взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента A = ( ∂ ξ ∂ u ) ( p × L ) + [ ξ − u ( ∂ ξ ∂ u ) ] L 2 r ^ , {\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} ,} θ = L ∫ u d u m 2 c 2 ( γ 2 − 1 ) − L 2 u 2 , {\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}(\gamma ^{2}-1)-L^{2}u^{2}}}},} B = L × A . {\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}.}

Эти два вектора также могут быть объединены в сохраняющийся диадический тензор W , W = α A ⊗ A + β B ⊗ B . {\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}.}

На иллюстрации можно рассчитать вектор LRL для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. [18] Поскольку сила является центральной, вектор углового момента сохраняется, и движение происходит в плоскости. F ( r ) = − k r , {\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} ,}

Сохраняющийся диадический тензор можно записать в простой форме, хотя p и r не обязательно перпендикулярны. W = 1 2 m p ⊗ p + k 2 r ⊗ r , {\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} ,}

Соответствующий вектор Рунге–Ленца более сложен, где — собственная частота колебаний, а A = 1 m r 2 ω 0 A − m r 2 E + L 2 { ( p × L ) + ( m r ω 0 A − m r E ) r ^ } , {\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\},} ω 0 = k m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} A = ( E 2 − ω 2 L 2 ) 1 / 2 / ω . {\displaystyle A=(E^{2}-\omega ^{2}L^{2})^{1/2}/\omega .}

Доказательства того, что вектор Лапласа–Рунге–Ленца сохраняется в задачах Кеплера

Ниже приведены аргументы, показывающие, что вектор LRL сохраняется под действием центральных сил, подчиняющихся закону обратных квадратов.

Прямое доказательство сохранения

Центральная сила, действующая на частицу , для некоторой функции радиуса . Поскольку угловой момент сохраняется при центральных силах, и где импульс и где тройное векторное произведение было упрощено с помощью формулы Лагранжа F {\displaystyle \mathbf {F} } F = d p d t = f ( r ) r r = f ( r ) r ^ {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} } f ( r ) {\displaystyle f(r)} r {\displaystyle r} L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} } d d t L = 0 {\textstyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0} d d t ( p × L ) = d p d t × L = f ( r ) r ^ × ( r × m d r d t ) = f ( r ) m r [ r ( r ⋅ d r d t ) − r 2 d r d t ] , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right],} p = m d r d t {\textstyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}} r × ( r × d r d t ) = r ( r ⋅ d r d t ) − r 2 d r d t . {\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}.}

Тождество дает уравнение d d t ( r ⋅ r ) = 2 r ⋅ d r d t = d d t ( r 2 ) = 2 r d r d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(r^{2})=2r{\frac {dr}{dt}}} d d t ( p × L ) = − m f ( r ) r 2 [ 1 r d r d t − r r 2 d r d t ] = − m f ( r ) r 2 d d t ( r r ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right).}

Для частного случая центральной силы, обратной квадрату , это равно f ( r ) = − k r 2 {\textstyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}} d d t ( p × L ) = m k d d t ( r r ) = d d t ( m k r ^ ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}(mk\mathbf {\hat {r}} ).}

Следовательно, A сохраняется для центральных сил, обратных квадрату [59] d d t A = d d t ( p × L ) − d d t ( m k r ^ ) = 0 . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} .}

Более короткое доказательство получается с использованием соотношения углового момента к угловой скорости, , которое справедливо для частицы, движущейся в плоскости, перпендикулярной . Уточняя центральные силы с обратными квадратами, производная по времени от равна , где последнее равенство справедливо, поскольку единичный вектор может изменяться только при вращении, и является орбитальной скоростью вращающегося вектора. Таким образом, A рассматривается как разность двух векторов с равными производными по времени. L = m r 2 ω {\displaystyle \mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}} L {\displaystyle \mathbf {L} } p × L {\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} } d d t p × L = ( − k r 2 r ^ ) × ( m r 2 ω ) = m k ω × r ^ = m k d d t r ^ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} ,} ω × r ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} }

Как описано в другом месте этой статьи, этот вектор LRL A ​​является частным случаем общего сохраняющегося вектора , который может быть определен для всех центральных сил. [18] [19] Однако, поскольку большинство центральных сил не создают замкнутых орбит (см. теорему Бертрана ), аналогичный вектор редко имеет простое определение и, как правило, является многозначной функцией угла θ между r и . A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} A {\displaystyle {\mathcal {A}}}

Уравнение Гамильтона–Якоби в параболических координатах

Постоянство вектора LRL также можно вывести из уравнения Гамильтона–Якоби в параболических координатах ( ξ , η ) , которые определяются уравнениями , где r представляет собой радиус в плоскости орбиты ξ = r + x , η = r − x , {\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=r+x,\\\eta &=r-x,\end{aligned}}} r = x 2 + y 2 . {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Инверсия этих координат x = 1 2 ( ξ − η ) , y = ξ η , {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}(\xi -\eta ),\\y&={\sqrt {\xi \eta }},\end{aligned}}}

Разделение уравнения Гамильтона–Якоби в этих координатах дает два эквивалентных уравнения [17] [60]

2 ξ p ξ 2 − m k − m E ξ = − Γ , 2 η p η 2 − m k − m E η = Γ , {\displaystyle {\begin{aligned}2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi &=-\Gamma ,\\2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta &=\Gamma ,\end{aligned}}} где Γ — константа движения. Вычитание и перевыражение в терминах декартовых импульсов p x и p y показывает, что Γ эквивалентна вектору LRL Γ = p y ( x p y − y p x ) − m k x r = A x . {\displaystyle \Gamma =p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}=A_{x}.}

Теорема Нётер

Связь между вращательной симметрией, описанной выше, и сохранением вектора LRL может быть количественно установлена ​​с помощью теоремы Нётер . Эта теорема, которая используется для нахождения констант движения, утверждает, что любое бесконечно малое изменение обобщенных координат физической системы , которое заставляет лагранжиан изменяться в первом порядке на полную производную по времени, соответствует сохраняющейся величине Γ δ q i = ε g i ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle \delta q_{i}=\varepsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} δ L = ε d d t G ( q , t ) {\displaystyle \delta L=\varepsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,t)} Γ = − G + ∑ i g i ( ∂ L ∂ q ˙ i ) . {\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right).}

В частности, сохраняющийся компонент вектора LRL A ​​s соответствует изменению координат [61] , где i равно 1, 2 и 3, причем x i и p i являются i -тыми компонентами векторов положения и импульса r и p , соответственно; как обычно, δ представляет собой дельту Кронекера . Результирующее изменение первого порядка в лагранжиане равно δ s x i = ε 2 [ 2 p i x s − x i p s − δ i s ( r ⋅ p ) ] , {\displaystyle \delta _{s}x_{i}={\frac {\varepsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-\delta _{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right],} δ L = 1 2 ε m k d d t ( x s r ) . {\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\varepsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}

Подстановка в общую формулу для сохраняющейся величины Γ дает сохраняющуюся компоненту A s вектора LRL, A s = [ p 2 x s − p s   ( r ⋅ p ) ] − m k ( x s r ) = [ p × ( r × p ) ] s − m k ( x s r ) . {\displaystyle A_{s}=\left[p^{2}x_{s}-p_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]_{s}-mk\left({\frac {x_{s}}{r}}\right).}

Трансформация лжи

Рисунок 9: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора LRL A. При изменении параметра масштабирования λ изменяются энергия и угловой момент, но эксцентриситет e , а также величина и направление A остаются неизменными.

Вывод теоремы Нётер о сохранении вектора LRL A ​​элегантен, но имеет один недостаток: изменение координат δx i включает в себя не только положение r , но и импульс p или, что эквивалентно, скорость v . [62] Этот недостаток можно устранить, выведя сохранение A, используя подход, впервые предложенный Софусом Ли . [63] [64] В частности, можно определить преобразование Ли [51] , в котором координаты r и время t масштабируются различными степенями параметра λ (рисунок 9), t → λ 3 t , r → λ 2 r , p → 1 λ p . {\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\qquad \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\qquad \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} .}

Это преобразование изменяет полный угловой момент L и энергию E , но сохраняет их произведение EL 2. Следовательно, эксцентриситет e и величина A сохраняются, как видно из уравнения для A2 L → λ L , E → 1 λ 2 E , {\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\qquad E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E,} A 2 = m 2 k 2 e 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 . {\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}.}

Направление A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при глобальном масштабировании. Это преобразование также сохраняет третий закон Кеплера , а именно, что полуось a и период T образуют константу  T 2 / a 3 .

Альтернативные шкалы, символы и формулировки

В отличие от векторов импульса и момента импульса p и L , не существует общепринятого определения вектора Лапласа–Рунге–Ленца; в научной литературе используются несколько различных масштабных коэффициентов и символов. Наиболее распространенное определение приведено выше, но другой распространенной альтернативой является деление на величину mk для получения безразмерного сохраняющегося вектора эксцентриситета, где v — вектор скорости. Этот масштабированный вектор e имеет то же направление, что и A , а его величина равна эксцентриситету орбиты и, таким образом, обращается в нуль для круговых орбит. e = 1 m k ( p × L ) − r ^ = m k ( v × ( r × v ) ) − r ^ , {\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\right)-\mathbf {\hat {r}} ,}

Возможны и другие масштабированные версии, например, путем деления A только на m или на p 0 , который имеет те же единицы, что и вектор момента импульса L . M = v × L − k r ^ , {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} ,} D = A p 0 = 1 2 m | E | { p × L − m k r ^ } , {\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m|E|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\},}

В редких случаях знак вектора LRL может быть изменен на противоположный, т. е. масштабирован на −1 . Другие общие символы для вектора LRL включают a , R , F , J и V. Однако выбор масштабирования и символа для вектора LRL не влияет на его сохранение.

Рисунок 4: Вектор момента импульса L , вектор LRL A ​​и вектор Гамильтона, бинормаль B , взаимно перпендикулярны; A и B направлены вдоль большой и малой осей соответственно эллиптической орбиты задачи Кеплера.

Альтернативным сохраняющимся вектором является бинормальный вектор B, изученный Уильямом Роуэном Гамильтоном [16].

B = p − ( m k L 2 r )   ( L × r ) , {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right),}

которая сохраняется и направлена ​​вдоль малой полуоси эллипса. (Она не определена для исчезающего эксцентриситета.)

Вектор LRL A ​​= B × L является перекрестным произведением B и L (рисунок 4). На годографе импульса в соответствующем разделе выше легко увидеть, что B связывает начало импульсов с центром кругового годографа и обладает величиной A / L. В перигелии он указывает в направлении импульса.

Вектор B обозначается как «бинормальный», поскольку он перпендикулярен как A , так и L. Подобно самому вектору LRL, бинормальный вектор может быть определен с помощью различных масштабов и символов.

Два сохраняющихся вектора, A и B, можно объединить, чтобы сформировать сохраняющийся диадический тензор W , [18] где α и β — произвольные масштабные константы, представляющие собой тензорное произведение (которое не связано с векторным перекрестным произведением , несмотря на их похожий символ). Записанное в явных компонентах, это уравнение имеет вид W = α A ⊗ A + β B ⊗ B , {\displaystyle \mathbf {W} =\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} ,} ⊗ {\displaystyle \otimes } W i j = α A i A j + β B i B j . {\displaystyle W_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}.}

Будучи перпендикулярными друг другу, векторы A и B можно рассматривать как главные оси сохраняющегося тензора W , т. е. его масштабированные собственные векторы . W перпендикулярен L , поскольку A и B также перпендикулярны L , L ⋅ A = L ⋅ B = 0 . L ⋅ W = α ( L ⋅ A ) A + β ( L ⋅ B ) B = 0 , {\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0,}

Более конкретно, это уравнение в явных компонентах выглядит так: ( L ⋅ W ) j = α ( ∑ i = 1 3 L i A i ) A j + β ( ∑ i = 1 3 L i B i ) B j = 0. {\displaystyle \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} \right)_{j}=\alpha \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}A_{i}\right)A_{j}+\beta \left(\sum _{i=1}^{3}L_{i}B_{i}\right)B_{j}=0.}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abcdefghijklmno Голдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. С. 102–105, 421–422.
  2. ^ abc Taff, LG (1985). Небесная механика: вычислительное руководство для практиков . Нью-Йорк: John Wiley and Sons. С. 42–43.
  3. ^ Голдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. С. 94–102.
  4. ^ Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 38. ISBN 0-387-96890-3.
  5. ^ Зоммерфельд, А. (1964). Механика . Лекции по теоретической физике. Т. 1. Перевод Мартина О. Стерна (4-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press. С. 38–45.
  6. ^ Ланцош, К. (1970). Вариационные принципы механики (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. С. 118, 129, 242, 248.
  7. ^ abc Паули, В. (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
  8. ^ abcdef Бом, А. (1993). Квантовая механика: основы и приложения (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 205–222.
  9. ^ Hanca, J.; Tulejab, S.; Hancova, M. (2004). «Симметрии и законы сохранения: Следствия теоремы Нётер». American Journal of Physics . 72 (4): 428–35. Bibcode : 2004AmJPh..72..428H. doi : 10.1119/1.1591764.
  10. ^ abc Фок, В. (1935). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms». Zeitschrift für Physik . 98 (3–4): 145–154. Бибкод : 1935ZPhy...98..145F. дои : 10.1007/BF01336904. S2CID  123112334.
  11. ^ abcde Баргманн, В. (1936). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock». Zeitschrift für Physik . 99 (7–8): 576–582. Бибкод : 1936ZPhy...99..576B. дои : 10.1007/BF01338811. S2CID  117461194.
  12. ^ abc Гамильтон, WR (1847). «Годограф или новый метод выражения на символическом языке закона притяжения Ньютона». Труды Королевской Ирландской Академии . 3 : 344–353.
  13. ^ Голдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 421.
  14. ^ abcd Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 413–415. ISBN 0-387-96890-3.
  15. ^ abcdefg Goldstein, H. (1975). «Предыстория вектора Рунге–Ленца». American Journal of Physics . 43 (8): 737–738. Bibcode : 1975AmJPh..43..737G. doi : 10.1119/1.9745.
    Goldstein, H. (1976). «Еще о предыстории вектора Рунге–Ленца». American Journal of Physics . 44 (11): 1123–1124. Bibcode : 1976AmJPh..44.1123G. doi : 10.1119/1.10202.
  16. ^ abcd Гамильтон, WR (1847). «Применение кватернионов к некоторым динамическим вопросам». Труды Королевской Ирландской Академии . 3 : Приложение III.
  17. ^ abcd Ландау, Л. Д .; Лифшиц Е. М. (1976). Механика (3-е изд.). Pergamon Press. стр. 154. ISBN 0-08-021022-8.
  18. ^ abcdef Фрадкин, ДМ (1967). "Существование динамических симметрий O4 и SU3 для всех классических центральных потенциальных задач". Progress of Theoretical Physics . 37 (5): 798–812. Bibcode :1967PThPh..37..798F. doi : 10.1143/PTP.37.798 .
  19. ^ abc Yoshida, T. (1987). "Два метода обобщения вектора Лапласа–Рунге–Ленца". European Journal of Physics . 8 (4): 258–259. Bibcode :1987EJPh....8..258Y. doi :10.1088/0143-0807/8/4/005. S2CID  250843588.
  20. ^ ab Goldstein, H. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Addison Wesley. стр. 1–11.
  21. ^ ab Symon, KR (1971). Механика (3-е изд.). Addison Wesley. стр. 103–109, 115–128.
  22. ^ Германн, Дж. (1710). «Метод исследования орбиты Пианети, не ипотека, которую оказывает центральная сила или чистая гравитация дельи Стесси, Пианети соно в области взаимного обмена квадратами расстояния, че и медицинская тяга от Центра, и когда она направляется силой напряжения ". Джорнале де Леттерати д'Италия . 2 : 447–467.
    Германн, Дж. (1710). «Отрывок из письма М. Германа к М. Бернулли от Падуи 12 июля 1710 года». История Королевской академии наук . 1732 : 519–521.
  23. ^ Бернулли, Дж. (1710). «Отрывок из ответа М. Бернулли на М. Германа от Базеля 7 октября 1710 года». История Королевской академии наук . 1732 : 521–544.
  24. ^ Лаплас, PS (1799). Traité de mécanique celeste. Париж, Дюпра. Том I, Premiere Party, Livre II, стр. 165 и далее.
  25. ^ Гиббс, Дж. В .; Уилсон Э. Б. (1901). Векторный анализ. Нью-Йорк: Scribners. стр. 135.
  26. ^ Рунге, К. (1919). Векторанализ . Том. И. Лейпциг: Хирцель.
  27. ^ Ленц, В. (1924). «Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung». Zeitschrift für Physik . 24 (1): 197–207. Бибкод : 1924ZPhy...24..197L. дои : 10.1007/BF01327245. S2CID  121552327.
  28. ^ Symon, KR (1971). Механика (3-е изд.). Addison Wesley. стр. 130–131.
  29. ^ Сохраняющийся бинормальный вектор Гамильтона на этой плоскости импульса (розовый) имеет более простое геометрическое значение и может фактически вытеснять его, как , см. Patera, RP (1981). "Вывод вектора Рунге-Ленца в пространстве импульсов", Am. J. Phys 49 593–594. Он имеет длину A / L и обсуждается в разделе #Альтернативные масштабирования, символы и формулировки. B ≡ L × A / L 2 {\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {L} \times \mathbf {A} /L^{2}} A = B × L {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }
  30. ^ Эванс, Н. У. (1990). «Суперинтегрируемость в классической механике». Physical Review A. 41 ( 10): 5666–5676. Bibcode : 1990PhRvA..41.5666E. doi : 10.1103/PhysRevA.41.5666. PMID  9902953.
  31. ^ Зоммерфельд, А. (1923). Атомная структура и спектральные линии . Лондон: Метуэн. стр. 118.
  32. ^ Curtright, T.; Zachos C. (2003). "Классическая и квантовая механика Намбу". Physical Review . D68 (8): 085001. arXiv : hep-th/0212267 . Bibcode : 2003PhRvD..68h5001C. doi : 10.1103/PhysRevD.68.085001. S2CID  17388447.
  33. ^ Эванс, Н. В. (1991). «Групповая теория системы Смородинского–Винтерница». Журнал математической физики . 32 (12): 3369–3375. Bibcode : 1991JMP....32.3369E. doi : 10.1063/1.529449.
  34. ^ Zachos, C.; Curtright T. (2004). «Браны, квантовые скобки Намбу и атом водорода». Czech Journal of Physics . 54 (11): 1393–1398. arXiv : math-ph/0408012 . Bibcode :2004CzJPh..54.1393Z. doi :10.1007/s10582-004-9807-x. S2CID  14074249.
  35. ^ аб Эйнштейн, А. (1915). «Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie». Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1915 : 831–839. Бибкод : 1915SPAW.......831E.
  36. ^ Леверье, UJJ (1859). «Письмо г-на Леверье к г-ну Фэю о теории Меркурия и о движении перихели этой планеты». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 49 : 379–383.
  37. ^ Уилл, CM (1979). Общая теория относительности, обзор века Эйнштейна (ред. SW Hawking и W Israel). Кембридж: Cambridge University Press. Глава 2.
  38. ^ Паис, А. (1982). Тонкий Господь: Наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Oxford University Press.
  39. ^ Roseveare, NT (1982). Перигелий Меркурия от Леверье до Эйнштейна . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-858174-1.
  40. ^ Холл 2013 Предложение 17.25.
  41. ^ Холл 2013 Предложение 18.7; обратите внимание, что Холл использует другую нормализацию вектора LRL.
  42. ^ ab Hall 2013 Теорема 18.9.
  43. ^ ab Hall 2013, Раздел 18.4.4.
  44. ^ Ефимов, СП (2022). «Модификация координатного пространства теории Фока. Гармонические тензоры в квантовой задаче Кулона». Успехи физических наук . 65 (9): 952–967. Bibcode :2022PhyU...65..952E. doi :10.3367/UFNe.2021.04.038966. S2CID  234871720.
  45. ^ Ефимов, СП (2023). «Оператор Рунге-Ленца в импульсном пространстве». Письма в ЖЭТФ . 117 (9): 716–720. Bibcode : 2023JETPL.117..716E. doi : 10.1134/S0021364023600635 . S2CID  259225778.
  46. ^ Дирак, П. А. М. (1958). Принципы квантовой механики (4-е пересмотренное издание). Oxford University Press.
  47. ^ Шрёдингер, Э. (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem». Аннален дер Физик . 384 (4): 361–376. Бибкод : 1926АнП...384..361С. дои : 10.1002/andp.19263840404 .
  48. ^ Холл 2013 Предложение 18.12.
  49. ^ Мерцбахер, Ойген (1998-01-07). Квантовая механика. John Wiley & Sons. стр. 268–270. ISBN 978-0-471-88702-7.
  50. ^ Холл 2013 Теорема 18.14.
  51. ^ ab Prince, GE; Eliezer CJ (1981). «О симметриях Ли классической задачи Кеплера». Journal of Physics A: Mathematical and General . 14 (3): 587–596. Bibcode :1981JPhA...14..587P. doi :10.1088/0305-4470/14/3/009.
  52. ^ Никитин, АГ (7 декабря 2012 г.). «Новые точно решаемые системы с симметрией Фока». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 45 (48): 485204. arXiv : 1205.3094 . Bibcode :2012JPhA...45V5204N. doi :10.1088/1751-8113/45/48/485204. S2CID  119138270.
  53. ^ ab Bander, M.; Itzykson C. (1966). «Теория групп и атом водорода (I)». Reviews of Modern Physics . 38 (2): 330–345. Bibcode : 1966RvMP...38..330B. doi : 10.1103/RevModPhys.38.330.
  54. ^ Bander, M.; Itzykson C. (1966). «Теория групп и атом водорода (II)». Reviews of Modern Physics . 38 (2): 346–358. Bibcode : 1966RvMP...38..346B. doi : 10.1103/RevModPhys.38.346.
  55. ^ Роджерс, ХХ (1973). «Преобразования симметрии классической задачи Кеплера». Журнал математической физики . 14 (8): 1125–1129. Bibcode : 1973JMP....14.1125R. doi : 10.1063/1.1666448.
  56. ^ Гийемен, В.; Стернберг С. (1990). Вариации на тему Кеплера . Том 42. Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-1042-1.
  57. ^ Лакшманан, М.; Хасегава Х. (1984). «О канонической эквивалентности задачи Кеплера в координатном и импульсном пространствах». Journal of Physics A. 17 ( 16): L889–L893. Bibcode :1984JPhA...17L.889L. doi :10.1088/0305-4470/17/16/006.
  58. ^ Redmond, PJ (1964). «Обобщение вектора Рунге–Ленца в присутствии электрического поля». Physical Review . 133 (5B): B1352–B1353. Bibcode :1964PhRv..133.1352R. doi :10.1103/PhysRev.133.B1352.
  59. ^ Холл 2013 Предложение 2.34.
  60. ^ Dulock, VA; McIntosh HV (1966). «О вырождении задачи Кеплера». Pacific Journal of Mathematics . 19 : 39–55. doi : 10.2140/pjm.1966.19.39 .
  61. ^ Lévy-Leblond, JM (1971). "Законы сохранения для калибровочно-инвариантных лагранжианов в классической механике". American Journal of Physics . 39 (5): 502–506. Bibcode : 1971AmJPh..39..502L. doi : 10.1119/1.1986202.
  62. ^ Гонсалес-Гаскон, Ф. (1977). «Заметки о симметриях систем дифференциальных уравнений». Журнал математической физики . 18 (9): 1763–1767. Bibcode : 1977JMP....18.1763G. doi : 10.1063/1.523486.
  63. ^ Ли, С. (1891). Vorlesungen über Differentialgleichungen. Лейпциг: Тойбнер.
  64. ^ Инс, Э. Л. (1926). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Довер (переиздание 1956 года). С. 93–113.

Дальнейшее чтение

  • Баез, Джон (2008). «Повторный взгляд на задачу Кеплера: вектор Лапласа–Рунге–Ленца» (PDF) . Получено 31.05.2021 .
  • Баез, Джон (2003). "Загадки гравитационной задачи двух тел". Архивировано из оригинала 2008-10-21 . Получено 2004-12-11 .
  • Баез, Джон (2018). "Загадки гравитационной задачи двух тел" . Получено 2021-05-31 .Обновленная версия предыдущего источника.
  • D'Eliseo, MM (2007). "Орбитальное уравнение первого порядка". American Journal of Physics . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D. doi : 10.1119/1.2432126.
  • Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158.
  • Leach, PGL; GP Flessas (2003). «Обобщения вектора Лапласа–Рунге–Ленца». J. Nonlinear Math. Phys . 10 (3): 340–423. arXiv : math-ph/0403028 . Bibcode :2003JNMP...10..340L. doi :10.2991/jnmp.2003.10.3.6. S2CID  73707398.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Laplace–Runge–Lenz_vector&oldid=1253729438"