Точечные группы в четырех измерениях

В геометрии точечная группа в четырех измерениях — это группа изометрий в четырех измерениях, которая оставляет начало координат неподвижным, или, соответственно, группа изометрий трехмерной сферы .

• 1889 Эдуард Гурса , «Сюр-ле-замены, ортогональные и ле-регулярные разделения пространства» , «Анналы научных исследований де l'École Normale Supérieure», сер. 3, 6, (стр. 9–102, стр. 80–81 тетраэдры), тетраэдр Гурса
• 1951, AC Hurley, Конечные группы вращений и классы кристаллов в четырех измерениях , Труды Кембриджского философского общества, т. 47, выпуск 04, стр. 650 ^[1]
• 1962 AL MacKay Bravais Lattices in Fourmer Space ^[2]
• 1964 Патрик дю Валь , Гомографии, кватернионы и вращения , 4D-точечные группы на основе кватернионов
• 1975 Ян Мозжимас, Анджей Солецкий, Точечные группы R4 , Отчеты по математической физике, том 7, выпуск 3, стр. 363-394 ^[3]
• 1978 Х. Браун, Р. Бюлов, Й. Нойбюзер, Х. Вондрачек и Х. Цассенхаус, Кристаллографические группы четырехмерного пространства. ^[4]
• 1982 NP Warner, Группы симметрии правильных мозаик S2 и S3 ^[5]
• 1985 Э. ​​Дж. У. Уиттекер, Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов
• 1985 HSM Коксетер , Регулярные и полурегулярные многогранники II , Обозначение Коксетера для точечных групп 4D
• 2003 Джон Конвей и Смит, О кватернионах и октонионах , Завершенные 4D-группы точек на основе кватернионов
• 2018 NW Johnson Geometries and Transformations , Глава 11,12,13, Полные полихорические группы, стр. 249, дуопризматические группы, стр. 269

Существует четыре основных изометрии 4-мерной точечной симметрии : симметрия отражения , симметрия вращения , роторное отражение и двойное вращение .

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: эта статья сильно дезорганизована, без четкого представления о структуре. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Январь 2021 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Группы точек в этой статье даны в нотации Коксетера , которые основаны на группах Коксетера , с разметкой для расширенных групп и подгрупп. ^[6] Нотация Коксетера имеет прямое соответствие диаграмме Коксетера, такой как [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,3], [5,3,3] и [p,2,q]. Эти группы ограничивают 3-сферу в идентичные гиперсферические тетраэдрические области. Количество областей является порядком группы. Количество зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h является числом Коксетера группы Коксетера , n является размерностью (4). ^[7]

Для перекрестных ссылок здесь также приведены обозначения на основе кватернионов Патрика дю Валя (1964) ^[8] и Джона Конвея (2003). ^[9] Обозначение Конвея позволяет вычислять порядок группы как произведение элементов с порядками хиральных полиэдральных групп: (T=12, O=24, I=60). В обозначении Конвея префикс (±) подразумевает центральную инверсию , а суффикс (.2) подразумевает зеркальную симметрию. Аналогично, в обозначении Дю Валя есть верхний индекс звездочка (*) для зеркальной симметрии.

Существует пять инволюционных групп: отсутствие симметрии [ ] ⁺ , симметрия отражения [ ], 2-кратная вращательная симметрия [2] ⁺ , 2-кратное роторное отражение [2 ⁺ ,2 ⁺ ] и центральная точечная симметрия [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ] как 2-кратное двойное вращение .

Полихорическая группа — одна из пяти групп симметрии 4-мерных правильных многогранников . Существуют также три многогранные призматические группы и бесконечное множество дуопризматических групп. Каждая группа определяется фундаментальной областью тетраэдра Гурса , ограниченной зеркальными плоскостями. Двугранные углы между зеркалами определяют порядок двугранной симметрии . Диаграмма Коксетера–Дынкина — это граф, в котором узлы представляют зеркальные плоскости, а ребра называются ветвями и помечаются порядком их двугранных углов между зеркалами.

Термин полихорон (множественное число polychora , прилагательное polychoric ), происходит от греческих корней poly («много») и choros («комната» или «пространство») и был предложен ^[10] Норманом Джонсоном и Джорджем Ольшевским в контексте однородной полихоры (4-многогранника) и связанных с ними 4-мерных групп симметрии. ^[11]

Группы Коксетера ранга 4 позволяют набору из 4 зеркал охватывать 4-пространство и делят 3-сферу на тетраэдрические фундаментальные домены. Группы Коксетера более низкого ранга могут ограничивать только осоэдрические или гозотопные фундаментальные домены на 3-сфере.

Подобно 3D- полиэдральным группам , названия 4D-полихорических групп, приведенные здесь, образованы греческими префиксами количества ячеек соответствующих правильных многогранников с треугольной гранью. ^[12] Расширенные симметрии существуют в однородных полихорах с симметричными кольцевыми узорами в конструкции диаграммы Коксетера . Хиральные симметрии существуют в чередующихся однородных полихорах.

Только неприводимые группы имеют числа Кокстера, но дуопризматические группы [p,2,p] можно удвоить до p,2,p, добавив 2-кратное вращение к фундаментальной области, и это дает эффективное число Кокстера 2 p , например, [4,2,4] и ее полная симметрия B ₄ , [4,3,3] с числом Кокстера 8.

Группа Вейля	Кватернион Конвея	Абстрактная структура	Диаграмма Коксетера		нотация Коксетера	Заказ	Подгруппа коммутатора	Число Кокстера (ч)	Зеркала (м)
Полные полихорические группы
А 4	+ 1 / 60 [I×I].2 1	С 5			[3,3,3]	120	[3,3,3] +	5		10
Д 4	±1/3[T×T].2	1/2. 2 С 4			[3 1,1,1 ]	192	[3 1,1,1 ] +	6		12
Б 4	±1/6[O×O].2	2 С 4 = С 2 ≀С 4			[4,3,3]	384		8	4	12
Ф 4	±1/2[O×O].2 3	3. 2 С 4			[3,4,3]	1152	[3 + ,4,3 + ]	12	12	12
Н 4	±[I×I].2	2.(А 5 ×А 5 ).2			[5,3,3]	14400	[5,3,3] +	30		60
Полные многогранные призматические группы
А 3 А 1	+1/24[O×O].2 3	С 4 × Д 1			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	48	[3,3] +	-		6	1
Б 3 А 1	±1/24[O×O].2	С 4 × Д 1			[4,3,2] = [4,3]×[ ]	96		-	3	6	1
Н 3 А 1	±1/60[I×I].2	А 5 × Д 1			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	240	[5,3] +	-		15	1
Полные дуопризматические группы
4А 1 = 2Д 2	±1/2[D 4 ×D 4 ]	Д 1 4 = Д 2 2			[2,2,2] = [ ] 4 = [2] 2	16	[ ] +	4	1	1	1	1
Д 2 Б 2	±1/2[D 4 ×D 8 ]	Д2 × Д4​			[2,2,4] = [2]×[4]	32	[2] +	-	1	1	2	2
Д 2 А 2	±1/2[D 4 ×D 6 ]	Д2 × Д3​			[2,2,3] = [2]×[3]	24	[3] +	-	1	1	3
Д 2 Г 2	±1/2[D 4 ×D 12 ]	Д2 × Д6​			[2,2,6] = [2]×[6]	48		-	1	1	3	3
Д 2 Н 2	±1/2[D 4 ×D 10 ]	Д2 × Д5​			[2,2,5] = [2]×[5]	40	[5] +	-	1	1	5
2Б 2	±1/2[D 8 ×D 8 ]	Д 4 2			[4,2,4] = [4] 2	64	[2 + ,2,2 + ]	8	2	2	2	2
Б 2 А 2	±1/2[D 8 ×D 6 ]	Д4 × Д3​			[4,2,3] = [4]×[3]	48	[2 + ,2,3 + ]	-	2	2	3
Б 2 Г 2	±1/2[D 8 ×D 12 ]	Д 4 ×Д 6			[4,2,6] = [4]×[6]	96		-	2	2	3	3
В 2 Н 2	±1/2[D 8 ×D 10 ]	Д 4 ×Д 5			[4,2,5] = [4]×[5]	80	[2 + ,2,5 + ]	-	2	2	5
2А 2	±1/2[D 6 ×D 6 ]	Д 3 2			[3,2,3] = [3] 2	36	[3 + ,2,3 + ]	6	3		3
А 2 Г 2	±1/2[D 6 ×D 12 ]	Д 3 ×Д 6			[3,2,6] = [3]×[6]	72		-	3		3	3
2G 2	±1/2[D 12 ×D 12 ]	Д 6 2			[6,2,6] = [6] 2	144		12	3	3	3	3
А 2 Н 2	±1/2[D 6 ×D 10 ]	Д 3 ×Д 5			[3,2,5] = [3]×[5]	60	[3 + ,2,5 + ]	-	3		5
Г 2 Н 2	±1/2[D 12 ×D 10 ]	Д 6 ×Д 5			[6,2,5] = [6]×[5]	120		-	3	3	5
2H 2	±1/2[D 10 ×D 10 ]	Д 5 2			[5,2,5] = [5] 2	100	[5 + ,2,5 + ]	10	5		5
В общем случае p,q=2,3,4...
2И 2 (2п)	±1/2[D 4p ×D 4p ]	Д 2п 2			[2п,2,2п] = [2п] 2	16п 2	[п + ,2,п + ]	2п	п	п	п	п
2И 2 (п)	±1/2[ D2p × D2p ]	Д п 2			[п,2,п] = [п] 2	4п 2		2п	п		п
Я 2 (п)Я 2 (к)	±1/2[ D4p × D4q ]	Д2п × Д2q​			[2p,2,2q] = [2p]×[2q]	16pq	[п + ,2,q + ]	-	п	п	д	д
Я 2 (п)Я 2 (к)	±1/2[ D2p × D2q ]	D п ×D д			[п,2,q] = [п]×[q]	4пк		-	п		д

Порядок симметрии равен числу ячеек правильного полихора, умноженному на симметрию его ячеек. Укороченные двойные полихоры имеют ячейки, которые соответствуют фундаментальным доменам группы симметрии.

Сети для выпуклых правильных 4-мерных многогранников и всеусеченных двойственных многогранников

Симметрия	А 4	Д 4	Б 4	Ф 4	Н 4
4-многогранник	5-ти ячеечный	демитессеракт	тессеракт	24-ячеечный	120-ячеечный
Клетки	5 {3,3}	16 {3,3}	8 {4,3}	24 {3,4}	120 {5,3}
Симметрия клетки	[3,3], порядок 24		[4,3], заказ 48		[5,3], порядок 120
Диаграмма Коксетера		=
4-политопная сетка
Omnitrcation (Обрезание)	всенаправленный. 5-ячеечный	omni. демитессеракт	омни.тессеракт	всенаправленный. 24-ячеечный	всенаправленный. 120-ячеечный
Двойная сетка Omnitruncation
Диаграмма Коксетера
Клетки	5×24 = 120	(16/2)×24 = 192	8×48 = 384	24×48 = 1152	120×120 = 14400

Прямыми подгруппами рефлективных 4-мерных точечных групп являются:

нотация Коксетера		Кватернион Конвея	Структура	Заказ	Оси вращения
Полихорические группы
	[3,3,3] +	+1/60[I× I ]	А 5	60			10 3	10 2
	3,3,3 +	±1/60[I× I ]	А 5 × Z 2	120			10 3	(10+?) 2
	[3 1,1,1 ] +	±1/3[Т×Т]	1/2. 2 А 4	96			16 3	18 2
	[4,3,3] +	±1/6[O×O]	2 А 4 = А 2 ≀А 4	192	6 4		16 3	36 2
	[3,4,3] +	±1/2[O×O]	3. 2 А 4	576	18 4	16 3	16 3	72 2
	[3 + ,4,3 + ]	±[Т×Т]		288		16 3	16 3	(72+18) 2
	[[3 + ,4,3 + ]]	±[О×Т]		576			32 3	(72+18+?) 2
	3,4,3 +	±[О×О]		1152	18 4		32 3	(72+?) 2
	[5,3,3] +	±[I×I]	2.(А 5 ×А 5 )	7200		72 5	200 3	450 2
Многогранные призматические группы
	[3,3,2] +	+ 1 / 24 [О× О ]	А 4 × Z 2	24		4 3	4 3	(6+6) 2
	[4,3,2] +	±1/24[O×O]	С4 × З2​	48		6 4	8 3	(3+6+12) 2
	[5,3,2] +	±1/60[I×I]	А 5 × Z 2	120		12 5	20 3	(15+30) 2
Дуопризматические группы
	[2,2,2] +	+1/2[D 4 ×D 4 ]		8		1 2	1 2	4 2
	[3,2,3] +	+1/2[D 6 ×D 6 ]		18		1 3	1 3	9 2
	[4,2,4] +	+1/2[D 8 ×D 8 ]		32		1 4	1 4	16 2
(p,q=2,3,4...), НОД(p,q)=1
	[п,2,п] +	+1/2[D 2p ×D 2p ]		2п 2		1 стр.	1 стр.	(стр.) 2
	[п,2,д] +	+1/2[ D2p × D2q ]		2пк		1 стр.	1 кв.	(пк) 2
	[п + ,2,q + ]	+[C p ×C q ]	Zп × Zд​	пк		1 стр.	1 кв.

• Пентахорическая группа – А ₄ , [3,3,3], (), порядок 120, (Дю Валь #51' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^†* , Конвей + ¹ / ₆₀ [I×I].2 ₁ ), названный в честь 5-клеточного (пентахорон), заданного кольцевой диаграммой Коксетера . Иногда ее также называют гипертетраэдрической группой для расширения тетраэдрической группы [3,3]. В этой группе имеется 10 зеркальных гиперплоскостей. Она изоморфна абстрактной симметрической группе , S ₅ .
  • Расширенная пентахорическая группа , Aut ( A ₄ ), [[3,3,3]], (Удвоение можно обозначить с помощью сложенной диаграммы,), порядок 240, (Дю Валь #51 (I ^†* /C ₂ ;I/C ₂ ) ^†* , Конвей ± ¹ / ₆₀ [I× I ].2). Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: S ₅ ×C ₂ .
    • Хиральная расширенная пентахорная группа — [[3,3,3]] ⁺ , (), порядок 120, (Дю Валь #32 (I ^† /C ₂ ;I/C ₂ ) ^† , Конвей ± ¹ / ₆₀ [Ix I ]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub 5-cell ,, хотя его нельзя сделать однородным. Он изоморфен прямому произведению абстрактных групп: A ₅ ×C ₂ .
  • Хиральная пентахорная группа — [3,3,3] ⁺ , (), порядок 60, (Дю Валь #32' (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) ^† , Конвей + ¹ / ₆₀ [I× I ]). Она изоморфна абстрактной знакопеременной группе , A ₅ .
    • Расширенная хиральная пентахорическая группа — [[3,3,3] ⁺ ], порядок 120, (Дю Валь #51" (I ^† /C ₁ ;I/C ₁ ) _– ^†* , Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Коксетер связывает эту группу с абстрактной группой (4,6|2,3). ^[13] Она также изоморфна абстрактной симметрической группе , S ₅ .

• Гексадекахорическая группа – B ₄ , [4,3,3], (), порядок 384, (Дю Валь #47 (O/V;O/V) ^* , Конвей ± ¹ / ₆ [O×O].2), названный в честь 16-клеточного (гексадекахорон),. В этой группе имеется 16 зеркальных гиперплоскостей, которые можно идентифицировать в 2 ортогональных множествах: 12 из подгруппы [3 ^1,1,1 ] и 4 из подгруппы [2,2,2]. Она также называется гипероктаэдрической группой для расширения 3D -октаэдрической группы [4,3] и тессерактической группой для тессеракта ,.
  • Хиральная гексадекахорная группа — [4,3,3] ⁺ , (), порядок 192, (Дю Валь #27 (O/V;O/V), Конвей ± ¹ / ₆ [O×O]). Эта группа представляет собой конструкцию омниснопёрого тессеракта ,, хотя его нельзя сделать однородным.
  • Ионная уменьшенная гексадекахорная группа — [4,(3,3) ⁺ ], (), порядок 192, (Дю Валь #41 (T/V;T/V) ^* , Конвей ± ¹ / ₃ [T×T].2). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкцией.
  • Полугексадекахорная группа — это [1 ⁺ ,4,3,3], (=), порядок 192, и то же самое, что и симметрия #demitesseractic: [3 ^1,1,1 ]. Эта группа выражается в тессерактной чередующейся конструкции 16-ячейки ,=.
    • Группа [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=), порядок 96 и совпадает с хиральной демитессерактической группой [3 ^1,1,1 ] ⁺ , а также является коммутантной подгруппой [4,3,3].
  • Высокоиндексная отражательная подгруппа — это призматическая октаэдрическая симметрия , [4,3,2] (), порядок 96, индекс подгруппы 4, (Дю Валь #44 (O/C ₂ ;O/C ₂ ) ^* , Конвей ± ¹ / ₂₄ [O×O].2). Усеченная кубическая призма имеет эту симметрию с диаграммой Коксетераа кубическая призма является конструкцией тессеракта с более низкой симметрией , как.
    • Его хиральная подгруппа — [4,3,2] ⁺ , (), порядок 48, (Дю Валь #26 (O/C ₂ ;O/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₂₄ [O×O]). Примером является плосконосая кубическая антипризма ,, хотя его нельзя сделать однородным.
    • Ионные подгруппы:
      • [(3,4) ⁺ ,2], (), порядок 48, (Дю Валь #44b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ₋ ^* , Конвей + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₁ ). Плосконосая кубическая призма имеет эту симметрию с диаграммой Коксетера.
        • [(3,4) ⁺ ,2 ⁺ ], (), заказ 24, (Дю Валь #44' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₁ ).
      • [4,3 ⁺ ,2], (), порядок 48, (Дю Валь #39 (T/C ₂ ;T/C ₂ ) _c ^* , Конвей ± ¹ / ₁₂ [T×T].2).
        • [4,3 ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3 ⁺ ,1] = [4,3 ⁺ ], (=), порядок 24, (Du Val #44" (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T×T].2 ₃ ). Это 3D пиритоэдрическая группа , [4,3 ⁺ ].
        • [3 ⁺ ,4,2 ⁺ ], (), порядок 24, (Дю Валь #21 (T/C ₂ ;T/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₁₂ [T×T]).
      • [3,4,2 ⁺ ], (), порядок 48, (Дю Валь #39' (T/C ₂ ;T/C ₂ ) ₋ ^* , Конвей ± ¹ / ₁₂ [T× T ].2).
      • [4,(3,2) ⁺ ], () , порядок 48, (Дю Вал #40b' (O/C ₁ ;O/C _{1 )} − _* ^, Конвей + ^1/24 [O× O ].2 ₁ ).
    • Полуподгруппа [4,3,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] = [4,3], (=), порядок 48 (Du Val #44b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) _c ^* , Conway + ¹ / ₂₄ [O×O].2 ₃ ). Она называется октаэдрической пирамидальной группой и имеет трехмерную октаэдрическую симметрию , [4,3]. Кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {4,3}.

      

      • Киральная полуподгруппа [(4,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [4,3,1] ⁺ = [4,3] ⁺ , (=), порядок 24 (Дю Валь #26b' (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₂₄ [O×O]). Это 3D хиральная октаэдрическая группа , [4,3] ⁺ . Плосконосая кубическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{4,3}.
  • Другая высокоиндексная отражательная подгруппа – это призматическая тетраэдрическая симметрия , [3,3,2], () , порядок 48, индекс подгруппы 8, (Дю Вал #40b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ) ^* , Конвей + ^1/24 _[ O× O ].2 ₃ ).
    • Хиральная подгруппа — [3,3,2] ⁺ , (), порядок 24, (Дю Валь #26b" (O/C ₁ ;O/C ₁ ), Конвей + ¹ / ₂₄ [O× O ]). Примером является плосконосая тетраэдрическая антипризма ,, хотя его нельзя сделать однородным.
    • Ионная подгруппа — [(3,3) ⁺ ,2], (), порядок 24, (Дю Валь #39b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ) _c ^* , Конвей + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₃ ). Примером является плосконосая тетраэдрическая призма ,.
    • Полуподгруппа равна [3,3,2,1 ⁺ ] = [3,3,1] = [3,3], (=), порядок 24, (Du Val #39b" (T/C ₁ ;T/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₁₂ [T× T ].2 ₁ ). Она называется тетраэдрической пирамидальной группой и является трехмерной тетраэдрической группой , [3,3]. Правильная тетраэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ {3,3}.

      

      • Киральная полуподгруппа [(3,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [3,3] ⁺ (=), порядок 12, (Du Val #21b' (T/C ₁ ;T/C ₁ ), Conway + ¹ / ₁₂ [T×T]). Это 3D хиральная тетраэдрическая группа , [3,3] ⁺ . Плосконосая тетраэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли: ( ) ∨ sr{3,3}.
  • Другая высокоиндексная радиальная отражательная подгруппа — [4,(3,3) ^* ], индекс 24, удаляет зеркала с двугранными углами порядка 3, создавая [2,2,2] (), порядок 16. Другие — [4,2,4] (), [4,2,2] (), с индексами подгрупп 6 и 12, порядками 64 и 32. Эти группы являются низшими симметриями тессеракта : (), (), и (). Эти группы имеют #дуопризматическую симметрию.

• Икозитетрахорическая группа – F ₄ , [3,4,3], (), заказ 1152, (Дю Валь #45 (O/T;O/T) ^* , Конвей ± ¹ / ₂ [OxO].2), названный в честь 24-клеточного (икоситрахорон),. В этой симметрии имеется 24 зеркальных плоскости, которые можно разложить на два ортогональных набора из 12 зеркал в подгруппах демитсерактической симметрии [3 ^1,1,1 ], как [3 ^* ,4,3] и [3,4,3 ^* ], как подгруппы индекса 6.
  • Расширенная икоситетрахорическая группа , Aut ( F ₄ ), [[3,4,3]], () имеет порядок 2304, (Дю Валя #48 (O/O;O/O) ^* , Конвей ±[O×O].2).
    • Хиральная расширенная икоситетрахорическая группа , [[3,4,3]] ⁺ , () имеет порядок 1152, (Дю Валь #25 (O/O;O/O), Конвей ±[OxO]). Эта группа представляет собой конструкцию omnisnub 24-cell ,, хотя его нельзя сделать однородным.
  • Ионные уменьшенные икоситетрахорические группы , [3 ⁺ ,4,3] и [3,4,3 ⁺ ], (или), имеют порядок 576, (Дю Валь #43 (T/T;T/T) ^* , Конвей ±[T×T].2). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкциейили.
    • Двойная уменьшенная икоситетрахорическая группа , [3 ⁺ ,4,3 ⁺ ] (двойное уменьшение можно показать разрывом на диаграмме 4-ветвь):), порядок 288, (Дю Валь #20 (T/T;T/T), Конвей ±[T×T]) является коммутаторной подгруппой [3,4,3].
      • Его можно расширить как [[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]], () заказ 576, (Дю Валь #23 (T/T;O/O), Конвей ±[OxT]).
  • Хиральная икоситетрахорическая группа — [3,4,3] ⁺ , (), заказ 576, (Дю Валь #28 (O/T;O/T), Конвей ± ¹ / ₂ [O×O]).
    • Расширенная хиральная икоситетрахорическая группа , [[3,4,3] ⁺ ] имеет порядок 1152, (Дю Валь #46 (O/T;O/T) ₋ ^* , Конвей ± ¹ / ₂ [OxO]. 2 ). Коксетер связывает эту группу с абстрактной группой (4,8|2,3). ^[13]

• Демитессерактическая группа – D ₄ , [3 ^1,1,1 ], [3,3 ^1,1 ] или [3,3,4,1 ⁺ ], (=), порядок 192, (Дю Валь #42 (T/V;T/V) ₋ ^* , Конвей ± ¹ / ₃ [T× T ].2), названный в честь (демитессеракт) 4-демикубической конструкции 16-клеточного,или. В этой группе симметрии 12 зеркал.
  • Существует два типа расширенных симметрий, получаемых путем добавления зеркал: <[3,3 ^1,1 ]>, которая становится [4,3,3] путем деления пополам фундаментальной области зеркалом с возможными тремя ориентациями; и полная расширенная группа [3[3 ^1,1,1 ]] становится [3,4,3].
  • Хиральная демитессерактическая группа — [3 ^1,1,1 ] ⁺ или [1 ⁺ ,4,(3,3) ⁺ ], (=), порядок 96, (Дю Валь #22 (T/V;T/V), Конвей ± ¹ / ₃ [T×T]). Эта группа приводит к плосконосому 24-клеточному с конструкцией=.

[5,3,3] + 72 вращения 5-го порядка	[5,3,3] + 200 вращений 3-го порядка
[5,3,3] + 450 вращений 2-го порядка	[5,3,3] + все вращения
[5,3],, икосаэдрическая пирамидальная группа изоморфна 3d икосаэдрической симметрии

• Гексакосихорная группа – H ₄ , [5,3,3], (), порядок 14400, (Дю Валь #50 (I/I;I/I) ^* , Конвей ±[I×I].2), названный по имени 600-клеточного (гексакосихорона),. Иногда ее также называют гиперикосаэдрической группой для расширения трехмерной икосаэдрической группы [5,3], а также гекатоникосахорической группой или додекаконтахорической группой из 120-клеточной ,.
  • Хиральная гексакосихорная группа — [5,3,3] ⁺ , (), порядок 7200, (Дю Валь #30 (I/I;I/I), Конвей ±[I×I]). Эта группа представляет конструкцию курносого 120-клеточного ,, хотя его нельзя сделать однородным.
  • Высокоиндексная отражательная подгруппа — это призматическая икосаэдрическая симметрия , [5,3,2], (), порядок 240, индекс подгруппы 60, (Дю Валь #49 (I/C ₂ ;I/C ₂ ) ^* , Конвей ± ¹ / ₆₀ [IxI].2).
    • Его хиральная подгруппа — [5,3,2] ⁺ , (), порядок 120, (Дю Валь #31 (I/C ₂ ;I/C ₂ ), Конвей ± ¹ / ₆₀ [IxI]). Эта группа представляет собой конструкцию плосконосой додекаэдрической антипризмы ,, хотя его нельзя сделать однородным.
    • Ионная подгруппа — это [(5,3) ⁺ ,2], (), порядок 120, (Дю Валь #49' (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ^* , Конвей + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₁ ). Эта группа представляет собой конструкцию плосконосой додекаэдрической призмы ,.
    • Полуподгруппа — это [5,3,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] = [5,3], (=), порядок 120, (Du Val #49" (I/C ₁ ;I/C ₁ ) ₋ ^* , Conway + ¹ / ₆₀ [IxI].2 ₃ ). Она называется икосаэдрической пирамидальной группой и является трехмерной икосаэдрической группой , [5,3]. Правильная додекаэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ {5,3}.
      • Киральная полуподгруппа — это [(5,3) ⁺ ,2,1 ⁺ ] = [5,3,1] ⁺ = [5,3] ⁺ , (=), порядок 60, (Du Val #31' (I/C ₁ ;I/C ₁ ), Conway + ¹ / ₆₀ [IxI]). Это 3D хиральная икосаэдрическая группа , [5,3] ⁺ . Плосконосая додекаэдрическая пирамида может иметь эту симметрию с символом Шлефли : ( ) ∨ sr{5,3}.

• Дуопризматические группы – [p,2,q], (), порядка 4 pq , существуют для всех 2 ≤  p , q  < ∞. В этой симметрии имеется p+q зеркал, которые тривиально разлагаются на два ортогональных набора p и q зеркал диэдральной симметрии : [p] и [q].
  • Хиральная подгруппа — [p,2,p] ⁺ ,(), порядок 2 pq . Его можно удвоить как [[2p,2,2p] ⁺ ].
  • Если p и q равны, [p,2,p], (), симметрию можно удвоить как [[p,2,p]], ().
    • Удвоения: [[2 ⁺ ,2,p ⁺ ]], (), [[2p,2 ⁺ ,2p]], [[2p ⁺ ,2 ⁺ ,2p ^​​+ ]].
  • [п,2,∞], (), он представляет собой линейную группу в 3-мерном пространстве,
  • [∞,2,∞], () он представляет собой симметрию евклидовой плоскости с двумя наборами параллельных зеркал и прямоугольной областью ( орбифолд *2222).
  • Подгруппы включают: [p ⁺ ,2,q], (), [п,2,q ⁺ ], (), [p ⁺ ,2,q ⁺ ], ().
  • А для четных значений: [2p,2 ⁺ ,2q], (), [2p,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q], (), [2p,(2,q) ⁺ ], (), [(p,2) ⁺ ,2q ⁺ ], (), [2p ⁺ ,(2,q) ⁺ ], (), [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ], (), и подгруппа коммуникатора, индекс 16, [2p ⁺ ,2 ⁺ ,2q ⁺ ] ⁺ , ().
• Дигональная дуопризматическая группа – [2,2,2], (), заказ 16.
  • Хиральная подгруппа — [2,2,2] ⁺ , (), заказ 8.
  • Расширенный [[2,2,2]], (), порядок 32. Дуопризма 4-4 имеет эту расширенную симметрию,.
    • Хиральная расширенная группа — [[2,2,2]] ⁺ , порядок 16.
    • Расширенная хиральная подгруппа — [[2,2,2] ⁺ ], порядок 16, с генераторами роторного отражения . Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,2).
  • Другие расширенные [(3,3)[2,2,2]]=[4,3,3], порядок 384, #Гексадекахорическая симметрия. Тессеракт имеет эту симметрию, какили.
  • Ионные уменьшенные подгруппы — [2 ⁺ ,2,2], порядок 8.
    • Двойная уменьшенная подгруппа — [2 ⁺ ,2,2 ⁺ ], порядок 4.
      • Расширено как [[2 ⁺ ,2,2 ⁺ ]], порядок 8.
    • Подгруппы роторного отражения — [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2], [2,2 ⁺ ,2 ⁺ ], [2 ⁺ ,(2,2) ⁺ ], [(2,2) ⁺ ,2 ⁺ ] порядка 4.
    • Тройная уменьшенная подгруппа — [2 ⁺ ,2 ⁺ ,2 ⁺ ], (), порядок 2. Это 2-кратный двойной поворот и 4-мерная центральная инверсия .
  • Полуподгруппа — [1 ⁺ ,2,2,2]=[1,2,2], порядок 8.
• Треугольная дуопризматическая группа – [3,2,3],, заказ 36.
  • Хиральная подгруппа — [3,2,3] ⁺ , порядок 18.
  • Расширенная [[3,2,3]], порядок 72. Дуопризма 3-3 имеет эту расширенную симметрию,.
    • Хиральная расширенная группа — [[3,2,3]] ⁺ , порядок 36.
    • Расширенная хиральная подгруппа — [[3,2,3] ⁺ ], порядок 36, с генераторами роторного отражения . Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,3).
  • Другие расширенные [[3],2,3], [3,2,[3]], порядка 72, изоморфны [6,2,3] и [3,2,6].
  • И 3,2,3 , порядок 144, и изоморфен [6,2,6].
  • И [[[3]],2,[3]]], порядок 288, изоморфный [[6,2,6]]. Дуопризма 6–6 имеет эту симметрию, какили.
  • Ионные уменьшенные подгруппы — [3 ⁺ ,2,3], [3,2,3 ⁺ ], порядок 18.
    • Двойная уменьшенная подгруппа — [3 ⁺ ,2,3 ⁺ ], порядок 9.
      • Расширено как [[3 ⁺ ,2,3 ⁺ ]], порядок 18.
  • Подгруппа с высоким индексом — [3,2], порядок 12, индекс 3, которая изоморфна группе с диэдральной симметрией в трех измерениях , [3,2], D _3h .
    • [3,2] ⁺ , порядок 6
• Квадратная дуопризматическая группа – [4,2,4],, заказ 64.
  • Хиральная подгруппа — [4,2,4] ⁺ , порядок 32.
  • Расширенный [[4,2,4]], порядок 128. Дуопризма 4–4 имеет эту расширенную симметрию,.
    • Хиральная расширенная группа — [[4,2,4]] ⁺ , порядок 64.
    • Расширенная хиральная подгруппа — [[4,2,4] ⁺ ], порядок 64, с генераторами роторного отражения . Она изоморфна абстрактной группе (4,4|2,4).
  • Другие расширенные [[4],2,4], [4,2,[4]], порядок 128, и изоморфны [8,2,4] и [4,2,8]. Дуопризма 4–8 имеет эту симметрию, какили.
  • И 4,2 , 4 , порядок 256, и изоморфен [8,2,8].
  • И [[[4]],2,[4]]] порядка 512, изоморфного [[8,2,8]]. Дуопризма 8–8 имеет эту симметрию, какили.
  • Ионные уменьшенные подгруппы: [4 ⁺ ,2,4], [4,2,4 ⁺ ], порядок 32.
    • Двойная уменьшенная подгруппа — [4 ⁺ ,2,4 ⁺ ], порядок 16.
      • Расширено как [[4 ⁺ ,2,4 ⁺ ]], порядок 32.
    • Подгруппы роторного отражения: [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4], [4,2 ⁺ ,4 ⁺ ], [4 ⁺ ,(2,4) ⁺ ], [(4,2) ⁺ ,4 ⁺ ], (,,,) заказ 16.
    • Тройная уменьшенная подгруппа — [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ], (), заказ 8.
  • Половинные подгруппы — это [1 ⁺ ,4,2,4]=[2,2,4], (), [4,2,4,1 ⁺ ]=[4,2,2], (), заказ 32.
    • [1 ⁺ ,4,2,4] ⁺ =[2,2,4] ⁺ , (), [4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ =[4,2,2] ⁺ , (), заказ 16.
  • Половина подгруппы снова равна [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ]=[2,2,2], (), заказ 16.
    • [1 ⁺ ,4,2,4,1 ⁺ ] ⁺ = [1 ⁺ ,4,2 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2,2,2] ⁺ , () заказ 8

Это сводка 4-мерных точечных групп в нотации Коксетера . 227 из них являются кристаллографическими точечными группами (для определенных значений p и q). ^{[14] [ which? ]} (nc) дано для некристаллографических групп. Некоторые кристаллографические группы ^{[ which? ]} имеют свои порядки, индексированные (order.index) их абстрактной групповой структурой. ^[15]

Конечные группы
[ ]: Символ Заказ [1] + 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Символ Заказ [1 + ,2] + 1.1 [2] + 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Символ Заказ [2 + ,2 + ] + = [(2 + ,2 + ,2 + )] 1.1 [2 + ,2 + ] 2.1 [2,2] + 4.1 [2 + ,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Символ Заказ [(2 + ,2 + ,2 + ,2 + )] = [2 + ,2 + ,2 + ] + 1.1 [2 + ,2 + ,2 + ] 2.1 [2 + ,2,2 + ] 4.1 [(2,2) + ,2 + ] 4 [[2 + ,2 + ,2 + ]] 4 [2,2,2] + 8 [2 + ,2,2] 8.1 [(2,2) + ,2] 8 [[2 + ,2,2 + ]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]] + 16 [[2,2 + ,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[ п ]: Символ Заказ [ п ] + п [ п ] 2п [стр,2]: Символ Заказ [ п ,2] + 2 стр. [ п ,2] 4 стр. [2п,2 + ]: Символ Заказ [2 п ,2 + ] 4 стр. [2 п + ,2 + ] 2 стр. [ п ,2,2]: Символ Заказ [ п + ,2,2 + ] 2 стр. [( п ,2) + ,2 + ] 2 стр. [ п ,2,2] + 4 стр. [ п ,2,2 + ] 4 стр. [п + ,2,2] 4 стр. [(п,2) + ,2] 4 стр. [п,2,2] 8 стр. [2 п ,2 + ,2]: Символ Заказ [2 п + ,2 + ,2 + ] + п [2 п + ,2 + ,2 + ] 2 стр. [2 п + ,2 + ,2] 4 стр. [2 п + ,(2,2) + ] 4 стр. [2 п ,(2,2) + ] 8 стр. [2 п ,2 + ,2] 8 стр.	[ п ,2, д ]: Символ Заказ [ п + ,2, д + ] пк [ п ,2, д ] + 2 пк [ п + ,2, д ] 2 пк [ п ,2, д ] 4 пк [( п ,2) + ,2 д ]: Символ Заказ [( п ,2) + ,2 д + ] 2 пк [( п ,2) + ,2 д ] 4 пк [2 п ,2,2 д ]: Символ Заказ [2 п + ,2 + ,2 q + ] + = [(2 п + ,2 + ,2 q + ,2 + )] пк [2 п + ,2 + ,2 д + ] 2пк [2 п ,2 + ,2 д + ] 4 пк [((2 п ,2) + ,(2 к ,2) + )] 4 пк [2 п ,2 + ,2 д ] 8 пк [[ п ,2, п ]]: Символ Заказ [[ п + ,2, п + ]] 2 п 2 [[ п ,2, п ]] + 4 п 2 [[ п ,2, п ] + ] 4 п 2 [[ п ,2, п ]] 8 стр 2 [[2 п ,2,2 п ]]: Символ Заказ [[(2 п + ,2 + ,2 п + ,2 + )]] 2 п 2 [[2 п + ,2 + ,2 п + ]] 4 п 2 [[((2 п ,2) + ,(2 п ,2) + )]] 8 стр 2 [[2 п ,2 + ,2 п ]] 16 стр. 2	[3,3,2]: Символ Заказ [(3,3) Δ ,2,1 + ] ≅ [2,2] + 4 [(3,3) Δ ,2] ≅ [2,(2,2) + ] 8 [(3,3) ⅄ ,2,1 + ] ≅ [4,2 + ] 8 [(3,3) + ,2,1 + ] = [3,3] + 12.5 [(3,3) ⅄ ,2] ≅ [2,4,2 + ] 16 [3,3,2,1 + ] = [3,3] 24 [(3,3) + ,2] 24.10 [3,3,2] + 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Символ Заказ [1 + ,4,3 + ,2,1 + ] = [3,3] + 12 [3 + ,4,2 + ] 24 [(3,4) + ,2 + ] 24 [1 + ,4,3 + ,2] = [(3,3) + ,2] 24.10 [3 + ,4,2,1 + ] = [3 + ,4] 24.10 [(4,3) + ,2,1 + ] = [4,3] + 24.15 [1 + ,4,3,2,1 + ] = [3,3] 24 [1 + ,4,(3,2) + ] = [3,3,2] + 24 [3,4,2 + ] 48 [4,3 + ,2] 48.22 [4,(3,2) + ] 48 [(4,3) + ,2] 48.36 [1 + ,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1 + ] = [4,3] 48.36 [4,3,2] + 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Символ Заказ [(5,3) + ,2,1 + ] = [5,3] + 60.13 [5,3,2,1 + ] = [5,3] 120.2 [(5,3) + ,2] 120.2 [5,3,2] + 120.2 [5,3,2] 240 (неприменимо)	[3 1,1,1 ]: Символ Заказ [3 1,1,1 ] ≅ [ [4,2 + ,4]] + 32 [3 1,1,1 ] ⅄ 64 [3 1,1,1 ] + 96.1 [3 1,1,1 ] 192.2 <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] 384.1 [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Символ Заказ [3,3,3] + 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]] + 120.2 [[3,3,3] + ] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Символ Заказ [1 + ,4,(3,3) Δ ] = [3 1,1,1 ] Δ ≅[[4,2 + ,4]] + 32 [4,(3,3) Δ ] = [2 + ,4[2,2,2] + ] ≅[[4,2 + ,4]] 64 [1 + ,4,(3,3) ⅄ ] = [3 1,1,1 ] ⅄ 64 [1 + ,4,(3,3) + ] = [3 1,1,1 ] + 96.1 [4,(3,3) ⅄ ] ≅ [[4,2,4]] 128 [1 + ,4,3,3] = [3 1,1,1 ] 192.2 [4,(3,3) + ] 192.1 [4,3,3] + 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Символ Заказ [3 + ,4,3 + ] 288.1 [3,4,3 ⅄ ] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3] + 576.2 [3 + ,4,3] 576.1 [[3 + ,4,3 + ]] 576 (не найдено) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]] + 1152 (не найдено) [[3,4,3] + ] 1152 (не найдено) [[3,4,3]] 2304 (н.с.) [5,3,3]: Символ Заказ [5,3,3] + 7200 (независимо) [5,3,3] 14400 (не указано)