24-ячеечный | Усеченный 24-ячеечный | Усеченный 24-ячеечный | |
Диаграммы Шлегеля, центрированные на одной [3,4] (ячейки на противоположных [4,3]) |
В геометрии усеченный 24-ячейник — это однородный 4-мерный многогранник , образованный усечением правильного 24 -ячейника .
Существует две степени усечения, включая битусечение .
Диаграмма Шлегеля | ||
---|---|---|
Усеченный 24-ячеечный | ||
Тип | Однородный 4-многогранник | |
Символы Шлефли | t{3,4,3} tr{3,3,4}= t{3 1,1,1 } = | |
Диаграмма Коксетера | ||
Клетки | 48 | 24 4.6.6 24 4.4.4 |
Лица | 240 | 144 {4} 96 {6} |
Края | 384 | |
Вершины | 192 | |
Вершинная фигура | равносторонняя треугольная пирамида | |
Группа симметрии | Ф 4 [3,4,3], приказ 1152 | |
Подгруппа вращения | [3,4,3] + , порядок 576 | |
Подгруппа коммутатора | [3 + ,4,3 + ], порядок 288 | |
Характеристики | выпуклый | |
Единый индекс | 23 24 25 |
Усеченный 24-ячейковый или усеченный икоситетрахорон является однородным 4-мерным многогранником (или однородным 4-многогранником ), который ограничен 48 ячейками : 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами . Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в вершинной фигуре равносторонней треугольной пирамиды .
Усеченный 24-ячейник можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:
Группа Коксетера | = [3,4,3] | = [4,3,3] | = [3,3 1,1 ] |
---|---|---|---|
Символ Шлефли | т{3,4,3} | тр{3,3,4} | т{3 1,1,1 } |
Заказ | 1152 | 384 | 192 |
Полная группа симметрии | [3,4,3] | [4,3,3] | <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] |
Диаграмма Коксетера | |||
Грани | 3: 1: | 2: 1: 1: | 1,1,1: 1: |
Вершинная фигура |
Это также зонотоп : его можно образовать как сумму Минковского шести отрезков, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+1,−1,0,0).
Декартовы координаты вершин усеченного 24-клеточного многоугольника с длиной ребра sqrt(2) представляют собой перестановки координат и комбинации знаков:
Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки
24 кубические ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; а 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.
Параллельная проекция усеченного 24-ячейника в трехмерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую структуру:
самолет Коксетера | Ф 4 | |
---|---|---|
График | ||
Диэдральная симметрия | [12] | |
самолет Коксетера | Б 3 / А 2 (а) | Б 3 / А 2 (б) |
График | ||
Диэдральная симметрия | [6] | [6] |
самолет Коксетера | Б 4 | Б 2 / А 3 |
График | ||
Диэдральная симметрия | [8] | [4] |
Диаграмма Шлегеля ( видны кубические ячейки) | Диаграмма Шлегеля 8 из 24 видимых усеченных октаэдрических ячеек |
Стереографическая проекция с центром в усеченном тетраэдре |
Усеченный 24-ячеечный | Двойной к усеченному 24-элементному |
Выпуклая оболочка усеченного 24-ячейника и его двойственного (предполагая, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихор, состоящий из 480 ячеек: 48 кубов , 144 квадратных антипризм , 288 тетраэдров (как тетрагональных двуклиноидов) и 384 вершин. Его вершинная фигура — гексакисный треугольный купол .
Усеченный 24-ячеечный | ||
---|---|---|
Диаграмма Шлегеля , центрированная на усеченном кубе, со скрытыми альтернативными ячейками | ||
Тип | Однородный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | 2т{3,4,3} | |
Диаграмма Коксетера | ||
Клетки | 48 ( 3.8.8 ) | |
Лица | 336 | 192 {3} 144 {8} |
Края | 576 | |
Вершины | 288 | |
Крайняя фигура | 3.8.8 | |
Вершинная фигура | тетрагональный двуклиновидный | |
двойной многогранник | Дисфеноидальный 288-клеточный | |
Группа симметрии | Аут (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304 | |
Характеристики | выпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный | |
Единый индекс | 26 27 28 |
Усеченный 24-ячейник . 48-ячейник , или тетраконтоктахорон , представляет собой 4-мерный однородный многогранник (или однородный 4-политоп ), полученный из 24-ячейника .
В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник.
Он создается путем побитового усечения 24-ячеечной ячейки (усечения на полпути к глубине, которая дала бы двойную 24-ячеечную ячейку).
Будучи однородным 4-многогранником, он вершинно-транзитивен . Кроме того, он ячеечно-транзитивен , состоит из 48 усеченных кубов , а также реберно-транзитивен , с 3 ячейками усеченных кубов на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками вокруг каждого ребра.
48 ячеек битусеченной 24-ячейки соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24-ячейки. Таким образом, центры 48 ячеек образуют корневую систему типа F 4 .
Его вершинная фигура — тетрагональный двуклиноид , тетраэдр с 2 противолежащими ребрами длиной 1 и всеми 4 боковыми ребрами длиной √(2+√2).
Усеченные кубы соединены друг с другом посредством своих восьмиугольных граней в антиориентации ; то есть два соседних усеченных куба повернуты на 45 градусов относительно друг друга так, что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.
Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные восьмиугольные грани, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные треугольные грани, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.
В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , разделяющего полный групповой порядок подгруппового порядка путем удаления одного зеркала за раз. Края существуют в 4 позициях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники в 2 позициях и восьмиугольники в одной. Наконец, существуют 4 типа ячеек, центрированных на 4 углах фундаментального симплекса. [1]
Ф 4 | к -лицо | ф к | ф 0 | ф 1 | ф 2 | ф 3 | к -цифра | Примечания | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
А 1 А 1 | ( ) | ф 0 | 288 | 2 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 2 | с{2,4} | Ф 4 /А 1 А 1 = 288 | |
{ } | ф 1 | 2 | 288 | * | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 | { }в( ) | |||
2 | * | 288 | 0 | 2 | 1 | 1 | 2 | ||||||
А 2 А 1 | {3} | ф 2 | 3 | 3 | 0 | 96 | * | * | 2 | 0 | { } | Ф 4 /А 2 А 1 = 1152/6/2 = 96 | |
Б 2 | т{4} | 8 | 4 | 4 | * | 144 | * | 1 | 1 | Ф 4 /Б 2 = 1152/8 = 144 | |||
А 2 А 1 | {3} | 3 | 0 | 3 | * | * | 96 | 0 | 2 | Ф 4 /А 2 А 1 = 1152/6/2 = 96 | |||
Б 3 | т{4,3} | ф 3 | 24 | 24 | 12 | 8 | 6 | 0 | 24 | * | ( ) | Ф 4 /Б 3 = 1152/48 = 24 | |
24 | 12 | 24 | 0 | 6 | 8 | * | 24 |
Декартовы координаты бит-усеченной 24-клеточной матрицы с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:
самолет Коксетера | Ф 4 | Б 4 |
---|---|---|
График | ||
Диэдральная симметрия | [[12]] = [24] | [8] |
самолет Коксетера | Б 3 / А 2 | Б 2 / А 3 |
График | ||
Диэдральная симметрия | [6] | [[4]] = [8] |
орфографический | Перспектива |
---|---|
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию битусеченного 24-ячеечного в 3 измерения. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию из статического 3D-изображения в 2D, с добавлением вращения, чтобы сделать его структуру более очевидной. Изображения 48 усеченных кубов располагаются следующим образом:
| Следующая анимация показывает перспективную проекцию ячейки-первой битусеченной 24-ячейки в 3 измерения. Ее структура такая же, как и в предыдущей анимации, за исключением того, что есть некоторое ракурсное сокращение из-за перспективной проекции. |
Правильный косой многогранник , {8,4|3}, существует в 4-пространстве с 4 восьмиугольниками вокруг каждой вершины, в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на битусеченном 24-ячейке, использующем все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани битусеченного 24-ячейки можно увидеть удаленными. Двойственный правильный косой многогранник, {4,8|3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями битусеченного 24-ячейки .
Дисфеноидальный 288-клеточный | ||
---|---|---|
Тип | совершенный [2] полихоронный | |
Символ | ж 1,2 Ж 4 [2] (1,0,0,0) Ж 4 ⊕ (0,0,0,1) Ж 4 [3] | |
Коксетер | ||
Клетки | 288 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов | |
Лица | 576 равных равнобедренных треугольников (2 коротких ребра) | |
Края | 336 | 192 длины 144 длины |
Вершины | 48 | |
Вершинная фигура | ( Триакисоктаэдр ) | |
Двойной | Усеченный 24-ячеечный | |
Группа Коксетера | Аут (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304 | |
Вектор орбиты | (1, 2, 1, 1) | |
Характеристики | выпуклый , изохорный |
Дисфеноидальный 288-ячейник является дуальным к битусеченному 24-ячейнику. Это 4-мерный многогранник (или полихор ), полученный из 24-ячейника . Он строится путем удвоения и вращения 24-ячейника, а затем построения выпуклой оболочки .
Будучи двойственным к однородному полихорону, он является клеточно-транзитивным , состоящим из 288 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов . Кроме того, он является вершинно-транзитивным относительно группы Aut(F 4 ). [3]
Самолеты Коксетера | Б 2 | Б 3 | Ф 4 |
---|---|---|---|
Дисфеноидальный 288-клеточный | |||
Усеченный 24-ячеечный |
Вершины 288-ячейки — это в точности 24 единичных кватерниона Гурвица с нормой в квадрате 1, объединенные с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с нормой в квадрате 2, спроецированной на единичную 3-сферу . Эти 48 вершин соответствуют бинарной октаэдрической группе 2O или <2,3,4>, порядка 48.
Таким образом, 288-ячейка является единственным нерегулярным 4-мерным многогранником, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не принимая во внимание бесконечное множество дициклических (таких же, как и бинарные диэдральные) групп; регулярными являются 24-ячейка (≘ 2T или <2,3,3>, порядок 24) и 600-ячейка (≘ 2I или <2,3,5>, порядок 120). ( 16-ячейка соответствует бинарной диэдральной группе 2D 2 или <2,2,2>, порядок 16.)
Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячейки в центрах 288 тетраэдров, которые являются вершинами двойственного битусеченного 24-ячейки.
Вершины могут быть окрашены в 2 цвета , скажем, красный и желтый, с 24 единицами Гурвица в красный цвет и 24 дуальными в желтый, причем желтый 24-ячейковый кватернион будет конгруэнтен красному. Таким образом, произведение 2 одинаково окрашенных кватернионов будет красным, а произведение 2 в смешанных цветах будет желтым.
Область | Слой | Широта | красный | желтый | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Северное полушарие | 3 | 1 | 1 | 0 | ||
2 | √ 2 /2 | 0 | 6 | |||
1 | 1/2 | 8 | 0 | |||
Экватор | 0 | 0 | 6 | 12 | ||
Южное полушарие | –1 | –1/2 | 8 | 0 | ||
–2 | – √ 2 /2 | 0 | 6 | |||
–3 | –1 | 1 | 0 | |||
Общий | 24 | 24 |
Размещая фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), получаем 6 желтых вершин на следующей более глубокой «широте» в ( √ 2 /2,x,y,z), за которыми следуют 8 красных вершин на широте в (1/2,x,y,z). Полные координаты даны как линейные комбинации кватернионных единиц , которые в то же время могут быть приняты как элементы группы 2O . Следующая более глубокая широта — это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая заполнена 6 красными и 12 желтыми вершинами.
Слой 2 представляет собой 2-сферу, описывающую правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершиной в северном полюсе имеет 1 из этих ребер в качестве длинного ребра, 2 вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Другое длинное ребро идет от северного полюса в слой 1 и 2 коротких ребра оттуда в слой 2 .
Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длиной √ 2– √ 2 ≈ 0,765367, соединяющих смешанные цвета. 192*2/48 = 8 длинных и 144*2/48 = 6 коротких, то есть в каждой вершине сходятся 14 ребер.
576 граней являются равнобедренными с 1 длинным и 2 короткими ребрами, все конгруэнтны. Углы при основании составляют arccos( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49.210°. 576*3/48 = 36 граней сходятся в вершине, 576*1/192 = 3 на длинном ребре и 576*2/144 = 8 на коротком.
288 ячеек — это тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 антиподальными и перпендикулярными длинными ребрами, одно из которых соединяет 2 красные и 2 желтые вершины. Все ячейки конгруэнтны. 288*4/48 = 24 ячейки сходятся в вершине. 288*2/192 = 3 ячейки сходятся в длинном ребре, 288*4/144 = 8 в коротком. 288*4/576 = 2 ячейки сходятся в треугольнике.
D 4 равномерная полихора | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 1,1 } ч{4,3,3} | 2р{3,3 1,1 } ч 3 {4,3,3} | т{3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3} | 2т{3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3} | г{3,3 1,1 } {3 1,1,1 }={3,4,3} | рр{3,3 1,1 } р{3 1,1,1 }=р{3,4,3} | tr{3,3 1,1 } t{3 1,1,1 }=t{3,4,3} | ср{3,3 1,1 } с{3 1,1,1 }=s{3,4,3} |
B 4 семейство однородных многогранников:
Многогранники симметрии B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | тессеракт | выпрямленный тессеракт | усеченный тессеракт | тессеракт с кантеллированными углами | рунический тессеракт | битусеченный тессеракт | усеченный тессеракт | бежатьусеченныйтессеракт | омниусеченный тессеракт | ||
Диаграмма Коксетера | = | = | |||||||||
Символ Шлефли | {4,3,3} | т 1 {4,3,3} р{4,3,3} | т 0,1 {4,3,3} т{4,3,3} | т 0,2 {4,3,3} рр{4,3,3} | т 0,3 {4,3,3} | т 1,2 {4,3,3} 2т{4,3,3} | т 0,1,2 {4,3,3} тр{4,3,3} | т 0,1,3 {4,3,3} | т 0,1,2,3 {4,3,3} | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
Б 4 | |||||||||||
Имя | 16-ячеечный | выпрямленный 16-элементный | усеченный 16-клеточный | кантеллированный 16-ячеечный | 16 -клеточный | усеченный 16-ячеечный | кантит-усеченный 16-клеточный | runcitucated 16-ячеечный | усеченный 16-ячеечный | ||
Диаграмма Коксетера | = | = | = | = | = | = | |||||
Символ Шлефли | {3,3,4} | т 1 {3,3,4} р{3,3,4} | т 0,1 {3,3,4} т{3,3,4} | т 0,2 {3,3,4} рр{3,3,4} | т 0,3 {3,3,4} | т 1,2 {3,3,4} 2т{3,3,4} | т 0,1,2 {3,3,4} тр{3,3,4} | т 0,1,3 {3,3,4} | т 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
Б 4 |
Семейство однородных многогранников F 4 :
24-ячеечные многогранники семейства | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | 24-ячеечный | усеченный 24-ячеечный | курносый 24-элементный | выпрямленный 24-элементный | кантеллированный 24-ячеечный | битусеченный 24-ячеечный | кантит-усеченный 24-клеточный | 24-клеточный | runcitucated 24-cell | усеченный 24-ячеечный | |
Символ Шлефли | {3,4,3} | т 0,1 {3,4,3} т{3,4,3} | с{3,4,3} | т 1 {3,4,3} р{3,4,3} | т 0,2 {3,4,3} рр{3,4,3} | т 1,2 {3,4,3} 2т{3,4,3} | т 0,1,2 {3,4,3} тр{3,4,3} | т 0,3 {3,4,3} | т 0,1,3 {3,4,3} | т 0,1,2,3 {3,4,3} | |
Диаграмма Коксетера | |||||||||||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
Ф 4 | |||||||||||
Б 4 | |||||||||||
Б 3 (а) | |||||||||||
Б 3 (б) | |||||||||||
Б 2 |