Усеченный 24-клеточный


24-ячеечный

Усеченный 24-ячеечный

Усеченный 24-ячеечный
Диаграммы Шлегеля, центрированные на одной [3,4] (ячейки на противоположных [4,3])

В геометрии усеченный 24-ячейник — это однородный 4-мерный многогранник , образованный усечением правильного 24 -ячейника .

Существует две степени усечения, включая битусечение .

Усеченный 24-ячеечный


Диаграмма Шлегеля
Усеченный 24-ячеечный
ТипОднородный 4-многогранник
Символы Шлефлиt{3,4,3}
tr{3,3,4}= t{3 1,1,1 } = т { 3 3 , 4 } {\displaystyle t\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}}
т { 3 3 3 } {\displaystyle t\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}
Диаграмма Коксетера

Клетки4824 4.6.6
24 4.4.4
Лица240144 {4}
96 {6}
Края384
Вершины192
Вершинная фигура
равносторонняя треугольная пирамида
Группа симметрииФ 4 [3,4,3], приказ 1152
Подгруппа вращения[3,4,3] + , порядок 576
Подгруппа коммутатора[3 + ,4,3 + ], порядок 288
Характеристикивыпуклый
Единый индекс23 24 25

Усеченный 24-ячейковый или усеченный икоситетрахорон является однородным 4-мерным многогранником (или однородным 4-многогранником ), который ограничен 48 ячейками : 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами . Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в вершинной фигуре равносторонней треугольной пирамиды .

Строительство

Усеченный 24-ячейник можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:

Группа Коксетера Ф 4 {\displaystyle {F}_{4}} = [3,4,3] С 4 {\displaystyle {C}_{4}} = [4,3,3] Д 4 {\displaystyle {D}_{4}} = [3,3 1,1 ]
Символ Шлефлит{3,4,3}тр{3,3,4}т{3 1,1,1 }
Заказ1152384192
Полная группа
симметрии
[3,4,3][4,3,3]<[3,3 1,1 ]> = [4,3,3]
[3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]
Диаграмма Коксетера
Грани3:
1:
2:
1:
1:
1,1,1:
1:
Вершинная фигура

Зонотоп

Это также зонотоп : его можно образовать как сумму Минковского шести отрезков, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+1,−1,0,0).

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усеченного 24-клеточного многоугольника с длиной ребра sqrt(2) представляют собой перестановки координат и комбинации знаков:

(0,1,2,3) [4!×2 3 = 192 вершины]

Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки

(1,1,1,5) [4×2 4 = 64 вершины]
(1,3,3,3) [4×2 4 = 64 вершины]
(2,2,2,4) [4×2 4 = 64 вершины]

Структура

24 кубические ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; а 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.

Прогнозы

Параллельная проекция усеченного 24-ячейника в трехмерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую структуру:

  • Проекционная оболочка представляет собой усеченный кубооктаэдр .
  • Два усеченных октаэдра проецируются на усеченный октаэдр, лежащий в центре оболочки.
  • Шесть кубоидальных объемов соединяют квадратные грани этого центрального усеченного октаэдра с центром восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра. Это изображения 12 кубических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
  • 12 квадратных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями оставшихся 12 кубов.
  • Шесть восьмиугольных граней большого ромбокубооктаэдра являются изображениями шести усеченных октаэдров.
  • 8 (неравномерных) усеченных октаэдрических объемов, лежащих между шестиугольными гранями проекционной оболочки и центральным усеченным октаэдром, являются изображениями оставшихся 16 усеченных октаэдров, по паре ячеек на каждое изображение.

Изображения

ортографические проекции
самолет КоксетераФ 4
График
Диэдральная симметрия[12]
самолет КоксетераБ 3 / А 2 (а)Б 3 / А 2 (б)
График
Диэдральная симметрия[6][6]
самолет КоксетераБ 4Б 2 / А 3
График
Диэдральная симметрия[8][4]

Диаграмма Шлегеля
( видны кубические ячейки)

Диаграмма Шлегеля
8 из 24 видимых усеченных октаэдрических ячеек

Стереографическая проекция
с центром в усеченном тетраэдре
Сетки

Усеченный 24-ячеечный

Двойной к усеченному 24-элементному

Выпуклая оболочка усеченного 24-ячейника и его двойственного (предполагая, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихор, состоящий из 480 ячеек: 48 кубов , 144 квадратных антипризм , 288 тетраэдров (как тетрагональных двуклиноидов) и 384 вершин. Его вершинная фигура — гексакисный треугольный купол .


Вершинная фигура

Усеченный 24-ячеечный

Усеченный 24-ячеечный

Диаграмма Шлегеля , центрированная на усеченном кубе, со скрытыми альтернативными ячейками
ТипОднородный 4-многогранник
Символ Шлефли2т{3,4,3}
Диаграмма Коксетера
Клетки48 ( 3.8.8 )
Лица336192 {3}
144 {8}
Края576
Вершины288
Крайняя фигура3.8.8
Вершинная фигура
тетрагональный двуклиновидный
двойной многогранникДисфеноидальный 288-клеточный
Группа симметрииАут (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304
Характеристикивыпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный
Единый индекс26 27 28
Сеть

Усеченный 24-ячейник . 48-ячейник , или тетраконтоктахорон , представляет собой 4-мерный однородный многогранник (или однородный 4-политоп ), полученный из 24-ячейника .

В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник.

Он создается путем побитового усечения 24-ячеечной ячейки (усечения на полпути к глубине, которая дала бы двойную 24-ячеечную ячейку).

Будучи однородным 4-многогранником, он вершинно-транзитивен . Кроме того, он ячеечно-транзитивен , состоит из 48 усеченных кубов , а также реберно-транзитивен , с 3 ячейками усеченных кубов на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками вокруг каждого ребра.

48 ячеек битусеченной 24-ячейки соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24-ячейки. Таким образом, центры 48 ячеек образуют корневую систему типа F 4 .

Его вершинная фигура — тетрагональный двуклиноид , тетраэдр с 2 противолежащими ребрами длиной 1 и всеми 4 боковыми ребрами длиной √(2+√2).

Альтернативные названия

Структура

Усеченные кубы соединены друг с другом посредством своих восьмиугольных граней в антиориентации ; то есть два соседних усеченных куба повернуты на 45 градусов относительно друг друга так, что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.

Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные восьмиугольные грани, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные треугольные грани, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.

В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , разделяющего полный групповой порядок подгруппового порядка путем удаления одного зеркала за раз. Края существуют в 4 позициях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники в 2 позициях и восьмиугольники в одной. Наконец, существуют 4 типа ячеек, центрированных на 4 углах фундаментального симплекса. [1]

Ф 4к -лицоф кф 0ф 1ф 2ф 3к -цифраПримечания
А 1 А 1( )ф 02882214122с{2,4}Ф 41 А 1 = 288
{ }ф 12288*12021{ }в( )
2*28802112
А 2 А 1{3}ф 233096**20{ }Ф 42 А 1 = 1152/6/2 = 96
Б 2т{4}844*144*11Ф 42 = 1152/8 = 144
А 2 А 1{3}303**9602Ф 42 А 1 = 1152/6/2 = 96
Б 3т{4,3}ф 324241286024*( )Ф 43 = 1152/48 = 24
241224068*24

Координаты

Декартовы координаты бит-усеченной 24-клеточной матрицы с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)
(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

Прогнозы

Проекция в 2 измерения

ортографические проекции
самолет КоксетераФ 4Б 4
График
Диэдральная симметрия[[12]] = [24][8]
самолет КоксетераБ 3 / А 2Б 2 / А 3
График
Диэдральная симметрия[6][[4]] = [8]

Проекция в 3 измерения

орфографическийПерспектива
Следующая анимация показывает ортогональную проекцию битусеченного 24-ячеечного в 3 измерения. Сама анимация представляет собой перспективную проекцию из статического 3D-изображения в 2D, с добавлением вращения, чтобы сделать его структуру более очевидной. Изображения 48 усеченных кубов располагаются следующим образом:

  • Центральный усеченный куб — ​​это ячейка, ближайшая к точке обзора 4D, выделенная для удобства просмотра. Чтобы уменьшить визуальный беспорядок, вершины и ребра, лежащие на этом центральном усеченном кубе, были опущены.
  • Вокруг этого центрального усеченного куба находятся 6 усеченных кубов, прикрепленных через восьмиугольные грани, и 8 усеченных кубов, прикрепленных через треугольные грани. Эти ячейки сделаны прозрачными, так что центральная ячейка видна.
  • 6 внешних квадратных граней проекционной оболочки являются изображениями еще 6 усеченных кубов, а 12 продолговатых восьмиугольных граней проекционной оболочки являются изображениями еще 12 усеченных кубов.
  • Оставшиеся ячейки были отбракованы, поскольку они лежат на дальней стороне битусеченного 24-ячейки и скрыты с точки зрения 4D. Они включают антиподальный усеченный куб, который проецировался бы на тот же объем, что и выделенный усеченный куб, с 6 другими усеченными кубами, окружающими его, прикрепленными посредством восьмиугольных граней, и 8 другими усеченными кубами, окружающими его, прикрепленными посредством треугольных граней.
Следующая анимация показывает перспективную проекцию ячейки-первой битусеченной 24-ячейки в 3 измерения. Ее структура такая же, как и в предыдущей анимации, за исключением того, что есть некоторое ракурсное сокращение из-за перспективной проекции.

Стереографическая проекция

Правильный косой многогранник , {8,4|3}, существует в 4-пространстве с 4 восьмиугольниками вокруг каждой вершины, в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на битусеченном 24-ячейке, использующем все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани битусеченного 24-ячейки можно увидеть удаленными. Двойственный правильный косой многогранник, {4,8|3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями битусеченного 24-ячейки .

Дисфеноидальный 288-клеточный

Дисфеноидальный 288-клеточный
Типсовершенный [2] полихоронный
Символж 1,2 Ж 4 [2]
(1,0,0,0) Ж 4 ⊕ (0,0,0,1) Ж 4 [3]
Коксетер
Клетки
288 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов
Лица576 равных равнобедренных треугольников
  (2 коротких ребра)
Края336192 длины 144 длины 1 {\displaystyle \scriptstyle 1}
2 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
Вершины48
Вершинная фигура
( Триакисоктаэдр )
ДвойнойУсеченный 24-ячеечный
Группа КоксетераАут (F 4 ), [[3,4,3]], заказ 2304
Вектор орбиты(1, 2, 1, 1)
Характеристикивыпуклый , изохорный

Дисфеноидальный 288-ячейник является дуальным к битусеченному 24-ячейнику. Это 4-мерный многогранник (или полихор ), полученный из 24-ячейника . Он строится путем удвоения и вращения 24-ячейника, а затем построения выпуклой оболочки .

Будучи двойственным к однородному полихорону, он является клеточно-транзитивным , состоящим из 288 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов . Кроме того, он является вершинно-транзитивным относительно группы Aut(F 4 ). [3]

Изображения

Ортогональные проекции
Самолеты КоксетераБ 2Б 3Ф 4
Дисфеноидальный
288-клеточный
Усеченный
24-ячеечный

Геометрия

Вершины 288-ячейки — это в точности 24 единичных кватерниона Гурвица с нормой в квадрате 1, объединенные с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с нормой в квадрате 2, спроецированной на единичную 3-сферу . Эти 48 вершин соответствуют бинарной октаэдрической группе 2O или <2,3,4>, порядка 48.

Таким образом, 288-ячейка является единственным нерегулярным 4-мерным многогранником, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не принимая во внимание бесконечное множество дициклических (таких же, как и бинарные диэдральные) групп; регулярными являются 24-ячейка (≘ 2T или <2,3,3>, порядок 24) и 600-ячейка (≘ 2I или <2,3,5>, порядок 120). ( 16-ячейка соответствует бинарной диэдральной группе 2D 2 или <2,2,2>, порядок 16.)

Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2+ 2 /4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячейки в центрах 288 тетраэдров, которые являются вершинами двойственного битусеченного 24-ячейки.

Вершины могут быть окрашены в 2 цвета , скажем, красный и желтый, с 24 единицами Гурвица в красный цвет и 24 дуальными в желтый, причем желтый 24-ячейковый кватернион будет конгруэнтен красному. Таким образом, произведение 2 одинаково окрашенных кватернионов будет красным, а произведение 2 в смешанных цветах будет желтым.

ОбластьСлойШиротакрасныйжелтый
Северное полушарие311 1 {\displaystyle 1} 0
22 /206 2 2 { 1 ± я , 1 ± дж , 1 ± к } {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\;\;\;1\pm \mathrm {i},\;\;\;1\pm \mathrm {j},\ ;\;\;1\pm \mathrm {k} \}}
11/28 1 2 { 1 ± я ± дж ± к } {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}} 0
Экватор006 { ± я , ± дж , ± к } {\displaystyle \{\pm \ mathrm {i}, \pm \ mathrm {j}, \pm \ mathrm {k} \}} 12 2 2 { ± я ± дж , ± я ± к , ± дж ± к } {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} ,\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm { k} ,\,\pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}}
Южное полушарие–1–1/28 1 2 { 1 ± я ± дж ± к } {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}} 0
–22 /206 2 2 { 1 ± я , 1 ± дж , 1 ± к } {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{-1\pm \mathrm {i}, -1\pm \mathrm {j}, -1\pm \mathrm {k} \} }
–3–11 1 {\displaystyle -1} 0
Общий2424

Размещая фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), получаем 6 желтых вершин на следующей более глубокой «широте» в ( 2 /2,x,y,z), за которыми следуют 8 красных вершин на широте в (1/2,x,y,z). Полные координаты даны как линейные комбинации кватернионных единиц , которые в то же время могут быть приняты как элементы группы 2O . Следующая более глубокая широта — это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая заполнена 6 красными и 12 желтыми вершинами. 1 , я , дж , к {\ displaystyle 1, \ mathrm {i}, \ mathrm {j}, \ mathrm {k} }

Слой 2 представляет собой 2-сферу, описывающую правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершиной в северном полюсе имеет 1 из этих ребер в качестве длинного ребра, 2 вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Другое длинное ребро идет от северного полюса в слой 1 и 2 коротких ребра оттуда в слой 2 .

Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длиной 2– 2 ≈ 0,765367, соединяющих смешанные цвета. 192*2/48 = 8 длинных и 144*2/48 = 6 коротких, то есть в каждой вершине сходятся 14 ребер.

576 граней являются равнобедренными с 1 длинным и 2 короткими ребрами, все конгруэнтны. Углы при основании составляют arccos( 4+ 8 /4) ≈ 49.210°. 576*3/48 = 36 граней сходятся в вершине, 576*1/192 = 3 на длинном ребре и 576*2/144 = 8 на коротком.

288 ячеек — это тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 антиподальными и перпендикулярными длинными ребрами, одно из которых соединяет 2 красные и 2 желтые вершины. Все ячейки конгруэнтны. 288*4/48 = 24 ячейки сходятся в вершине. 288*2/192 = 3 ячейки сходятся в длинном ребре, 288*4/144 = 8 в коротком. 288*4/576 = 2 ячейки сходятся в треугольнике.

D 4 равномерная полихора








{3,3 1,1 }
ч{4,3,3}
2р{3,3 1,1 }
ч 3 {4,3,3}
т{3,3 1,1 }
ч 2 {4,3,3}
2т{3,3 1,1 }
ч 2,3 {4,3,3}
г{3,3 1,1 }
{3 1,1,1 }={3,4,3}
рр{3,3 1,1 }
р{3 1,1,1 }=р{3,4,3}
tr{3,3 1,1 }
t{3 1,1,1 }=t{3,4,3}
ср{3,3 1,1 }
с{3 1,1,1 }=s{3,4,3}

B 4 семейство однородных многогранников:

Многогранники симметрии B4
Имятессерактвыпрямленный
тессеракт
усеченный
тессеракт

тессеракт с кантеллированными углами
рунический
тессеракт
битусеченный
тессеракт
усеченный
тессеракт
бежатьусеченныйтессеракт
омниусеченный
тессеракт

Диаграмма Коксетера

=

=

Символ Шлефли
{4,3,3}т 1 {4,3,3}
р{4,3,3}
т 0,1 {4,3,3}
т{4,3,3}
т 0,2 {4,3,3}
рр{4,3,3}
т 0,3 {4,3,3}т 1,2 {4,3,3}
2т{4,3,3}
т 0,1,2 {4,3,3}
тр{4,3,3}
т 0,1,3 {4,3,3}т 0,1,2,3 {4,3,3}

Диаграмма Шлегеля
Б 4
 
Имя16-ячеечныйвыпрямленный
16-элементный
усеченный
16-клеточный
кантеллированный
16-ячеечный
16
-клеточный
усеченный
16-ячеечный
кантит-усеченный
16-клеточный
runcitucated
16-ячеечный
усеченный
16-ячеечный

Диаграмма Коксетера

=

=

=

=

=

=

Символ Шлефли
{3,3,4}т 1 {3,3,4}
р{3,3,4}
т 0,1 {3,3,4}
т{3,3,4}
т 0,2 {3,3,4}
рр{3,3,4}
т 0,3 {3,3,4}т 1,2 {3,3,4}
2т{3,3,4}
т 0,1,2 {3,3,4}
тр{3,3,4}
т 0,1,3 {3,3,4}т 0,1,2,3 {3,3,4}

Диаграмма Шлегеля
Б 4

Семейство однородных многогранников F 4 :

24-ячеечные многогранники семейства
Имя24-ячеечныйусеченный 24-ячеечныйкурносый 24-элементныйвыпрямленный 24-элементныйкантеллированный 24-ячеечныйбитусеченный 24-ячеечныйкантит-усеченный 24-клеточный24-клеточныйruncitucated 24-cellусеченный 24-ячеечный

Символ Шлефли
{3,4,3}т 0,1 {3,4,3}
т{3,4,3}
с{3,4,3}т 1 {3,4,3}
р{3,4,3}
т 0,2 {3,4,3}
рр{3,4,3}
т 1,2 {3,4,3}
2т{3,4,3}
т 0,1,2 {3,4,3}
тр{3,4,3}
т 0,3 {3,4,3}т 0,1,3 {3,4,3}т 0,1,2,3 {3,4,3}

Диаграмма Коксетера

Диаграмма Шлегеля
Ф 4
Б 4
Б 3 (а)
Б 3 (б)
Б 2

Ссылки

  1. ^ Клитцинг, Ричард. "o3x4x3o - продолжение".
  2. ^ ab On Perfect 4-Polytopes Gabor Gévay Contributions to Algebra and Geometry Volume 43 (2002), No. 1, 243-259 ] Таблица 2, стр. 252
  3. ^ ab Кватернионная конструкция многогранников W(F4) с их дуальными многогранниками и ветвление под подгруппами W(B4) и W(B3) × W(A1) Мехмет Коджа 1, Мудхахир Аль-Аджми 2 и Назифе Оздес Коджа 3 Кафедра физики, Научный колледж, Университет султана Кабуса PO Box 36, Al-Khoud 123, Маскат, Султанат Оман, стр. 18. 5.7 Дуальный многогранник многогранника (0, 1, 1, 0)F 4 = W(F 4 )(ω 23 )
  • HSM Коксетер :
    • Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
      • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
      • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
      • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
    • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии (1966)
  • Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)».x3x4o3o=x3x3x4o - тико, o3x4x3o - продолжение
  • 3. Выпуклая однородная полихора на основе икоситетрахорона (24-клеточная) - Модель 24, 27, Георгий Ольшевский.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Truncated_24-cells&oldid=1236328877"