Гомотопия

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «тот же, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна может быть «непрерывно деформирована» в другую, такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , [ ^1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː / , ^[2] HOH -moh-toh-pee ) между двумя функциями. Известное применение гомотопии — определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . ^[3]

На практике существуют технические трудности в использовании гомотопий с некоторыми пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , CW-комплексами или спектрами .

Формально гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция из произведения пространства X на единичный интервал [0, 1] до Y такая, что и для всех . ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$${\displaystyle x\in X}$

Если мы думаем о втором параметре H как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f в g : в момент времени 0 у нас есть функция f , а в момент времени 1 у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунковом управлении», которое позволяет нам плавно переходить от f к g, когда ползунок перемещается от 0 к 1, и наоборот.

Альтернативная запись заключается в том, чтобы сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями является семейством непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно от до . Две версии совпадают, устанавливая . Недостаточно требовать, чтобы каждое отображение было непрерывным. ^[4]${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle h_{0}=f}$${\displaystyle h_{1}=g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$${\displaystyle h_{t}(x)}$

Анимация, зацикленная выше справа, представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями , f и g , тора в R ³ . X — тор, Y — R ³ , f — некоторая непрерывная функция от тора до R ³ , которая переводит тор во вложенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор во вложенную форму поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h _t (X) как функцию параметра t , где t изменяется со временем от 0 до 1 в течение каждого цикла цикла анимации. Она останавливается, затем показывает изображение, когда t изменяется обратно от 1 до 0, останавливается и повторяет этот цикл.

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H, переводящая f в g, как описано выше. Гомотопность — это отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных функций из X в Y . Это отношение гомотопии совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f ₁ , g ₁  : X → Y гомотопны и f ₂ , g ₂  : Y → Z гомотопны, то их композиции f ₂  ∘  f ₁ и g ₂  ∘  g ₁  : X → Z также гомотопны.

• Если заданы и , то отображение, заданное является гомотопией между ними.${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• В более общем случае, если — выпуклое подмножество евклидова пространства и — пути с одинаковыми конечными точками, то существует линейная гомотопия ^[5] (или прямолинейная гомотопия ), заданная формулой${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• Пусть будет функцией тождества на единичном n - круге ; т.е. множество . Пусть будет постоянной функцией , которая отправляет каждую точку в начало координат . Тогда следующее является гомотопией между ними:${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

Для двух топологических пространств X и Y гомотопическая эквивалентность между X и Y — это пара непрерывных отображений f  : X → Y и g  : Y → X , таких, что g  ∘  f гомотопно тождественному отображению id _X , а f  ∘  g гомотопно id _Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или одного и того же гомотопического типа . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга с помощью операций изгибания, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

Гомеоморфизм — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g  ∘  f равно тождественному отображению id _X (а не только гомотопно ему), а f  ∘  g равно id _Y . ^{[6] : 0:53:00} Следовательно, если X и Y гомеоморфны , то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Вот несколько примеров:

• Твердый диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку можно непрерывно деформировать диск вдоль радиальных линий до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно из них является бесконечным множеством, а другое — конечным).
• Лента Мёбиуса и нескрученная (замкнутая) лента гомотопически эквивалентны, поскольку обе ленты можно непрерывно деформировать в окружность. Но они не гомеоморфны.

• Первый пример гомотопической эквивалентности — с точкой, обозначенной . Часть, которую необходимо проверить, — это существование гомотопии между и , проекция на начало координат. Это можно описать как .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сферой ) и .${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • В более общем смысле, .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• Любое расслоение со слоями, гомотопически эквивалентными точке, имеет гомотопически эквивалентные полные и базовые пространства. Это обобщает предыдущие два примера, поскольку является расслоением со слоем .${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• Каждое векторное расслоение является расслоением со слоистой гомотопией, эквивалентной точке.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$для любого , записывая как полное пространство расслоения волокон , а затем применяя гомотопические эквивалентности выше.${\displaystyle 0\leq k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• Если подкомплекс комплекса CW является стягиваемым, то факторпространство гомотопически эквивалентно . ^[7]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$${\displaystyle X}$
• Деформационная ретракция — это гомотопическая эквивалентность.

Функция называется нуль-гомотопной.${\displaystyle f}$ если она гомотопна постоянной функции. (Гомотопия от к постоянной функции тогда иногда называется нуль-гомотопией .) Например, отображение из единичной окружности в любое пространство является нуль-гомотопным в точности тогда, когда его можно непрерывно продолжить до отображения из единичного круга в , которое совпадает с на границе.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Из этих определений следует, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из в себя (которое всегда является гомотопической эквивалентностью) является нуль-гомотопным.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие концепции гомотопически инвариантны , то есть они соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами, то:

• X является линейно связным тогда и только тогда, когда Y является линейно связным.
• X односвязен тогда и только тогда, когда Y односвязен.
• Группы ( сингулярных ) гомологии и когомологии X и Y изоморфны .
• Если X и Y линейно связны, то фундаментальные группы X и Y изоморфны, как и высшие гомотопические группы . (Без предположения о линейной связности π ₁ ( X ,  x ₀ ) изоморфно π ₁ ( Y , f ( x ₀ )), где f  : X → Y — гомотопическая эквивалентность, а x ₀ ∈ X .)

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически инвариантным, является гомология с компактным носителем (которая, грубо говоря, является гомологией компактификации , а компактификация не является гомотопически инвариантной).

Для определения фундаментальной группы необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g являются непрерывными отображениями из X в Y , а K является подмножеством X , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно K, если существует гомотопия H  : X × [0, 1] → Y между f и g такая, что H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g является ретракцией из X в K , а f является тождественным отображением , это известно как сильный деформационный ретракт из X в K. Когда K является точкой, используется термин пунктированная гомотопия .

Когда две заданные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно спросить, могут ли они быть связаны «через вложения». Это приводит к концепции изотопии , которая является гомотопией, H , в обозначениях, используемых ранее, такой, что для каждого фиксированного t , H ( x ,  t ) дает вложение. ^[8]

Схожая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .

Требование, чтобы два вложения были изотопными, является более сильным требованием, чем требование, чтобы они были гомотопными. Например, отображение из интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемое как f ( x ) = − x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия из f в тождество должна была бы поменять конечные точки, что означало бы, что они должны были бы «пройти» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия из f в тождество — это H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная как H ( x ,  y ) = 2 yx  −  x .

Два гомеоморфизма (являющиеся частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно изотопизировать, используя трюк Александера . По этой причине отображение единичного круга в R ² , определяемое как f ( x ,  y ) = (− x , − y ), изотопно повороту на 180 градусов вокруг начала координат, и поэтому тождественное отображение и f изотопны, поскольку их можно соединить поворотами.

В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла, K ₁ и K ₂ , в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или окружности), в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между окружностью и ее образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узлов, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое посредством пути вложений: непрерывная функция, начинающаяся при t  = 0, дающая вложение K ₁ , заканчивающаяся при t  = 1, дающая вложение K ₂ , со всеми промежуточными значениями, соответствующими вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, является изотопией большего пространства, рассматриваемого в свете его действия на вложенном подмногообразии. Узлы K ₁ и K ₂ считаются эквивалентными, когда существует окружающая изотопия, которая перемещает K ₁ в K ₂ . Это подходящее определение в топологической категории.

Похожий язык используется для эквивалентной концепции в контекстах, где есть более сильное понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .

На лоренцевом многообразии некоторые кривые различаются как времениподобные (представляющие собой нечто, что движется только вперед, а не назад во времени в каждой локальной системе отсчета). Временноподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, при которой кривая остается времениподобной во время непрерывного преобразования из одной кривой в другую. Никакая замкнутая времениподобная кривая (ЗВК) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (то есть нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многократно связанным с времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связано (любым типом кривой) и при этом быть времениподобным многократно связанным . ^[9]

Если у нас есть гомотопия H  : X × [0,1] → Y и покрытие p  : Y → Y и нам дано отображение h ₀  : X → Y такое, что H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ называется поднятием h 0 ), то мы можем поднять все H до отображения H  : X × [0, 1] → Y _такого , что p ○ H = H. Свойство поднятия гомотопии используется для характеристики расслоений .

Другим полезным свойством, связанным с гомотопией, является свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества на само множество. Оно полезно при работе с кофибрациями .

Поскольку отношение двух функций , гомотопных относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y. Если мы фиксируем , единичный интервал [0, 1], пересекающийся сам с собой n раз, и берем его границу в качестве подпространства, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где находится в образе подпространства .${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и так мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В случае , ее также называют фундаментальной группой .${\displaystyle n=1}$

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальным гомотопическим инвариантом: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно линейно связаны , а гомотопия между f и g является точечной, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также одинаковы: π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ).

На основе концепции гомотопии разработаны методы вычисления алгебраических и дифференциальных уравнений . К методам для алгебраических уравнений относятся метод продолжения гомотопии ^[10] и метод продолжения (см. численное продолжение ). К методам для дифференциальных уравнений относится метод анализа гомотопии .

Теория гомотопий может быть использована в качестве основы для теории гомологии : можно представить функтор когомологии на пространстве X с помощью отображений X в соответствующее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого базового CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в  пространство Эйленберга–Маклейна находится в естественной биекции с n -й сингулярной группой когомологий  пространства X. Говорят, что омега -спектр пространств Эйленберга–Маклейна представляет пространства для сингулярных когомологий с коэффициентами в G.${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

• Эквивалентность волокнистой гомотопии (относительная версия гомотопической эквивалентности)
• Гомеотопия
• Теория гомотопического типа
• Группа классов картографирования
• гипотеза Пуанкаре
• Регулярная гомотопия

• Армстронг, MA (1979). Базовая топология . Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
• «Гомотопия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Изотопия (в топологии)», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.