Просто связанное пространство

В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным ^[1] ), если оно линейно связно и каждый путь между двумя точками может быть непрерывно преобразован в любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, которое не имеет непересекающихся частей и дыр, которые полностью проходят через него, потому что два пути, проходящие вокруг разных сторон такой дыры, не могут быть непрерывно преобразованы друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором того, что пространство не является односвязным: линейно связное топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Топологическое пространство называется односвязным, если оно линейно связно и любая петля в , определяемая соотношением , может быть стянута в точку: существует непрерывное отображение такое, что ограничено значением , здесь и обозначает единичную окружность и замкнутый единичный круг в евклидовой плоскости соответственно.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{1}\to X}$${\displaystyle F:D^{2}\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle ф.}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

Эквивалентная формулировка такова: является просто связанным тогда и только тогда, когда оно является путевым связным, и всякий раз, когда и являются двумя путями (то есть непрерывными отображениями) с одинаковым началом и конечной точкой ( и ), то может быть непрерывно деформировано в , сохраняя обе конечные точки фиксированными. Явно, существует гомотопия такая, что и${\displaystyle X}$${\displaystyle p:[0,1]\to X}$${\displaystyle q:[0,1]\to X}$${\displaystyle p(0)=q(0)}$${\displaystyle p(1)=q(1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle д}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Топологическое пространство является односвязным тогда и только тогда, когда оно линейно связно, а фундаментальная группа в каждой точке тривиальна, т.е. состоит только из единичного элемента . Аналогично, является односвязным тогда и только тогда, когда для всех точек множество морфизмов в фундаментальном группоиде имеет только один элемент. ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$${\displaystyle X}$

В комплексном анализе : открытое подмножество односвязно тогда и только тогда, когда оба и его дополнение в сфере Римана связаны. Множество комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы дает пример неограниченного, связного, открытого подмножества плоскости, дополнение которой несвязно. Тем не менее оно односвязно. Ослабление требования связности приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждая из его связных компонент односвязна.${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Неформально, объект в нашем пространстве односвязен, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него насквозь. Например, ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой) не являются односвязными, но полый резиновый мяч односвязен. В двух измерениях круг не является односвязным, а диск и линия являются таковыми. Пространства, которые связаны, но не являются односвязными, называются неодносвязными или многосвязными .

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый мяч с полым центром) является односвязной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжиматься в точку, даже если она имеет «дырку» в полом центре. Более сильное условие, что объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью .

• Евклидова плоскость односвязна, но минус начало координат — нет. Если тогда и минус начало координат односвязны.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle n>2,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Аналогично: n -мерная сфера односвязна тогда и только тогда, когда${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 2.}$
• Каждое выпуклое подмножество односвязно .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Тор , (эллиптический) цилиндр , лента Мёбиуса , проективная плоскость и бутылка Клейна не являются просто связанными.
• Каждое топологическое векторное пространство односвязно; это касается как банаховых, так и гильбертовых пространств .
• Ведь специальная ортогональная группа не является односвязной, а специальная унитарная группа является односвязной.${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• Одноточечная компактификация не является односвязной (хотя и односвязна).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Длинная линия односвязна, но ее компактификация, расширенная длинная линия, таковой не является (поскольку она не является даже путевой связностью).${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{*}}$

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (число ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства — это односвязное пространство, которое отображается в посредством покрывающего отображения .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Если и гомотопически эквивалентны и односвязны , то также${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость при экспоненциальном отображении: образ — это , который не является односвязным.${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

Понятие простой связности важно в комплексном анализе по следующим причинам:

• Интегральная теорема Коши утверждает , что если — односвязное открытое подмножество комплексной плоскости и — голоморфная функция , то имеет первообразную по и значение каждого интеграла по с подынтегральным выражением зависит только от конечных точек и пути и может быть вычислено как Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего и${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F(v)-F(u).}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$
• Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество (за исключением самого себя) конформно эквивалентно единичному кругу .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Понятие простой связности также является важнейшим условием в гипотезе Пуанкаре .

• Ретракт деформации  – непрерывное, сохраняющее положение отображение из топологического пространства в подпространство.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Локально односвязное пространство
• n-связное пространство
• Уникогерентное пространство

• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Бурбаки, Николя (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN 3-540-43405-4.
• Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Спрингер. ISBN 0-387-95069-9.
• Джоши, Капли (август 1983). Введение в общую топологию . New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.