Причинно-следственная структура

В математической физике причинная структура лоренцева многообразия описывает причинно-следственные связи между точками многообразия.

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представлено лоренцевским многообразием . Причинно-следственные связи между точками многообразия интерпретируются как описание того, какие события в пространстве-времени могут влиять на какие другие события.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцева многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждения причинной структуры для таких многообразий должны быть сформулированы в терминах гладких кривых, соединяющих пары точек. Условия на касательных векторах кривых затем определяют причинные связи.

Если — лоренцево многообразие (для метрики на многообразии ), то ненулевые касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три непересекающихся типа. Касательный вектор — это:${\displaystyle \,(М,г)}$ ${\displaystyle г}$ ${\displaystyle М}$${\displaystyle X}$

• времяподобный если${\displaystyle \,г(X,X)<0}$
• нулевой или светоподобный , если${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• космически подобный если${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Здесь мы используем метрическую сигнатуру . Мы говорим, что касательный вектор не является пространственноподобным, если он нулевой или времениподобный.${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots)}$

Каноническое лоренцево многообразие — это пространство-время Минковского , где и — плоская метрика Минковского . Названия для касательных векторов берут начало в физике этой модели. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку касательное пространство также является и, следовательно, касательные векторы могут быть отождествлены с точками в пространстве. Четырехмерный вектор классифицируется в соответствии со знаком , где — декартова координата в трехмерном пространстве, — константа, представляющая универсальный предел скорости, и — время. Классификация любого вектора в пространстве будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре , поскольку начало координат может быть смещено) из-за инвариантности метрики.${\displaystyle М=\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle г}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle X=(т,г)}$${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle т}$

В каждой точке времениподобного касательного вектора в касательном пространстве точки можно разделить на два класса. Для этого сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов.${\displaystyle М}$

Если и являются двумя времениподобными касательными векторами в точке, мы говорим, что и эквивалентны (пишется ), если .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\сим Y}$${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$

Тогда есть два класса эквивалентности , которые между собой содержат все времениподобные касательные векторы в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности направленным в будущее , а другой — направленным в прошлое . Физически это обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и прошлое, соответствует выбору стрелы времени в точке. Обозначения, направленные в будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке по непрерывности.

Лоренцево многообразие является ориентированным во времени ^[1], если для всего многообразия можно сделать непрерывное обозначение направленных в будущее и направленных в прошлое векторов.

Путь в — это непрерывное отображение , где — невырожденный интервал (т. е. связное множество, содержащее более одной точки) в . Гладкий путь дифференцируем соответствующее число раз (обычно ), а регулярный путь имеет неисчезающую производную.${\displaystyle М}$${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle C^{\infty}}$

Кривая в — это образ пути или, точнее, класс эквивалентности образов путей, связанных повторной параметризацией, т. е. гомеоморфизмами или диффеоморфизмами . Когда является ориентируемым по времени, кривая ориентирована, если требуется, чтобы изменение параметра было монотонным .${\displaystyle М}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle М}$

Гладкие регулярные кривые (или пути) в можно классифицировать в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая${\displaystyle М}$

• хронологический (или времениподобный ), если касательный вектор времениподобен во всех точках кривой. Также называется мировой линией . ^[2]
• null , если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• пространственноподобным , если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинно-следственная (или непространственноподобная ), если касательный вектор времениподобен или равен нулю во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности гарантируют, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически всеми пространствами-временами.${\displaystyle \Сигма}$

Если многообразие является ориентированным во времени, то непространственноподобные кривые можно далее классифицировать в зависимости от их ориентации относительно времени.

Хронологическая, нулевая или причинно-следственная кривая${\displaystyle М}$

• направлена ​​в будущее , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направленным в прошлое , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, поскольку только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию относительно времени.

• Замкнутая времениподобная кривая — это замкнутая кривая, которая всюду направлена ​​в будущее (или всюду направлена ​​в прошлое).
• Замкнутая нулевая кривая — это замкнутая кривая, которая всюду имеет нулевую точку, направленную в будущее (или всюду имеет нулевую точку, направленную в прошлое).
• Голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической — это фактор красного смещения .

Между точками и в многообразии существует несколько причинно-следственных связей .${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle М}$

• ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее хронологическая (временная) кривая от до .${\displaystyle у}$${\displaystyle \,x\ll y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$
• ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая от до .${\displaystyle у}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$
• ${\displaystyle x}$ причинно предшествует (часто обозначается или ), если строго причинно предшествует или .${\displaystyle у}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos ^[3] (часто обозначается или ), если или существует направленная в будущее нулевая кривая от до ^[4] (или, что эквивалентно, и ).${\displaystyle у}$${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\nearrow y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\not \ll y}$

Эти отношения удовлетворяют следующим свойствам:

• ${\displaystyle x\ll y}$подразумевает (это тривиально следует из определения) ^[5]${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$, подразумевает ^[5]${\displaystyle y\prec z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, подразумевает ^[5]${\displaystyle y\ll z}$${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll}$, , являются транзитивными . ^[5] не является транзитивным. ^[6]${\стиль_отображения <}$${\displaystyle \prec}$ ${\displaystyle \to}$
• ${\displaystyle \prec}$, являются рефлексивными ^[4]${\displaystyle \to}$

Для точки в многообразии мы определяем ^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle М}$

• Хронологическое будущее обозначается как множество всех точек в , которые хронологически предшествуют :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle у}$${\displaystyle М}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• Хронологическое прошлое обозначается как множество всех точек в , которые хронологически предшествуют :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(x)}$${\displaystyle у}$${\displaystyle М}$${\displaystyle у}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

Мы аналогично определяем

• Причинное будущее (также называемое абсолютным будущим ) , обозначаемое как множество всех точек в , которые причинно предшествуют :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle у}$${\displaystyle М}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• Причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) обозначается как множество всех точек в , которые причинно предшествуют :${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• Будущий нулевой конус как множество всех точек в таких, что .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\to y}$
• Прошлый нулевой конус как множество всех точек в таких, что .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y\to x}$
• Световой конус как нулевые конусы будущего и прошлого вместе. ^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• в других местах как точки, не находящиеся в световом конусе, каузальном будущем или каузальном прошлом. ^[7]

Точки, содержащиеся в , например, могут быть достигнуты из с помощью направленной в будущее времениподобной кривой. Точка может быть достигнута, например, из точек, содержащихся в с помощью направленной в будущее непространственноподобной кривой.${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

В пространстве-времени Минковского множество — это внутренняя часть будущего светового конуса в . Множество — это полный будущий световой конус в , включая сам конус.${\displaystyle \,I^{+}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \,J^{+}(x)}$${\displaystyle x}$

Эти множества, определенные для всех в , в совокупности называются причинной структурой .${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Для подмножества мы определяем [ ⁵ ]${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Для двух подмножеств мы определяем${\displaystyle S,T}$${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее относительно${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ , ​​, является хронологическим будущим рассматриваемым как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно иная концепция, нежели , которая дает множество точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее времениподобные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать в , во втором случае они этого не делают. См. Хокинга и Эллиса.${\displaystyle I^{+}[S;T]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• Причинное будущее относительно${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$ , ​​, является причинным будущим , рассматриваемым как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно иная концепция, нежели , которая дает множество точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее причинные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать в , во втором случае они этого не делают. См. Хокинга и Эллиса.${\displaystyle J^{+}[S;T]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$
• Множество будущего — это множество, замкнутое относительно хронологического будущего.
• Множество прошедших событий — это множество, закрытое относительно хронологического прошлого.
• Неразложимое прошедшее множество (IP) — это прошедшее множество, которое не является объединением двух различных открытых прошлых собственных подмножеств.
• IP, который не совпадает с прошлым какой-либо точки, называется терминальным неразложимым прошлым множеством (TIP).${\displaystyle M}$
• Правильное неразложимое прошедшее множество (PIP) — это IP, которое не является TIP. — правильное неразложимое прошедшее множество (PIP).${\displaystyle I^{-}(x)}$
• Будущее развитие Коши , это множество всех точек , для которых каждая направленная в прошлое нерасширяемая причинная кривая через пересекается по крайней мере один раз. Аналогично для прошлого развития Коши. Развитие Коши является объединением будущего и прошлого развития Коши. Развертки Коши важны для изучения детерминизма .${\displaystyle S}$${\displaystyle D^{+}(S)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$
• Подмножество является ахрональным, если не существует такого, что , или, что эквивалентно, если не пересекается с .${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle q,r\in S}$${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I^{+}[S]}$

• Поверхность Коши — это замкнутое ахрональное множество, развертка Коши которого имеет вид .${\displaystyle M}$
• Метрика является глобально гиперболической , если ее можно разбить на поверхности Коши.
• Множество , нарушающее хронологию, представляет собой множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
• Множество , нарушающее причинность, — это множество точек, через которые проходят замкнутые причинно-следственные кривые.
• Граница множества, нарушающего причинность, — это горизонт Коши . Если горизонт Коши генерируется замкнутыми нулевыми геодезическими, то с каждой из них связан фактор красного смещения.
• Для каузальной кривой каузальный ромб (здесь мы используем более свободное определение «кривой», где это просто набор точек) является точкой в ​​каузальном прошлом . Другими словами: каузальный ромб мировой линии частицы — это набор всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки в , так и в будущем некоторой точки в . В дискретной версии каузальный ромб — это набор всех каузальных путей, которые соединяются с .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$${\displaystyle \gamma (t_{1})}$${\displaystyle \gamma (t_{2})}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t_{2})}$${\displaystyle \gamma (t_{1})}$

См. Пенроуз (1972), стр. 13.

• Точка находится в тогда и только тогда, когда находится в .${\displaystyle x}$${\displaystyle \,I^{-}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Горизм генерируется нулевыми геодезическими конгруэнциями.

Топологические свойства:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$открыт для всех точек в .${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$открыт для всех подмножеств .${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$для всех подмножеств . Вот замыкание подмножества .${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Две метрики и конформно связаны [ ^8], если для некоторой действительной функции, называемой конформным множителем . (См. конформное отображение ).${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$${\displaystyle \Omega }$

Рассматривая определения того, какие касательные векторы являются времениподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем или . В качестве примера предположим, что является времениподобным касательным вектором относительно метрики . Это означает, что . Тогда мы имеем, что является времениподобным касательным вектором относительно тоже.${\displaystyle \,g}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,g}$${\displaystyle \,g(X,X)<0}$${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

Из этого следует, что причинная структура лоренцева многообразия не изменяется при конформном преобразовании .

Нулевая геодезическая остается нулевой геодезической при конформном масштабировании.

Бесконечная метрика допускает геодезические бесконечной длины/собственного времени. Однако иногда мы можем сделать конформное масштабирование метрики с конформным множителем, который достаточно быстро уменьшается до 0 по мере приближения к бесконечности, чтобы получить конформную границу многообразия. Топологическая структура конформной границы зависит от причинной структуры.

• Направленные в будущее временные геодезические линии заканчиваются на будущей временной бесконечности .${\displaystyle i^{+}}$
• Направленные в прошлое временные геодезические линии заканчиваются на , прошлой времениподобной бесконечности .${\displaystyle i^{-}}$
• Нулевые геодезические, направленные в будущее, заканчиваются на ℐ ⁺ , будущей нулевой бесконечности .
• Нулевые геодезические, направленные в прошлое, заканчиваются на ℐ ⁻ , прошлой нулевой бесконечности .
• Пространственноподобные геодезические заканчиваются на пространственноподобной бесконечности .

В различных пространствах:

• Пространство Минковского : точки, ℐ ^± — нулевые листы, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 2.${\displaystyle i^{\pm }}$
• Антидеситтеровское пространство : не существует времениподобной или нулевой бесконечности, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 1.
• Пространство де Ситтера : будущая и прошлая временная бесконечность имеет коразмерность 1.

Если геодезическая заканчивается после конечного аффинного параметра и невозможно расширить многообразие, чтобы продолжить геодезическую, то мы имеем сингулярность .

• Для черных дыр будущая временная граница заканчивается в некоторых местах сингулярностью .
• Для Большого взрыва прошедшая временная граница также является сингулярностью.

Абсолютный горизонт событий — это прошлый нулевой конус будущей времениподобной бесконечности. Он генерируется нулевыми геодезическими, которые подчиняются оптическому уравнению Райчаудхури .

• Причинно-следственная динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинно-следственные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая кривая времени
• Гипотеза космической цензуры
• Глобально гиперболическое многообразие
• Пространство-время Маламента–Хогарта
• Нулевая бесконечность
• Диаграмма Пенроуза
• Теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярностях
• Пространство-время

• Хокинг, SW ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
• Хокинг, SW ; Израэль, W. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , SIAM, ISBN 0898710057
• Сард, РД (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.

• Причинно-следственные сети машины Тьюринга Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинная сеть». MathWorld .