6-ортоплекс

6-ортоплекс Гексакросс
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 6-мерный многогранник
Семья	ортоплекс
Символы Шлефли	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
Диаграммы Коксетера-Дынкина	=
5-гранный	64 {3 ⁴ }
4-х гранный	192 {3 ³ }
Клетки	240 {3,3}
Лица	160 {3}
Края	60
Вершины	12
Вершинная фигура	5-ортоплекс
Петри полигон	двенадцатиугольник
Группы Коксетера	В ₆ , [4,3 ⁴ ] Д ₆ , [3 ^3,1,1 ]
Двойной	6-кубовый
Характеристики	выпуклый , многогранник Ганнера

В геометрии 6-ортоплекс , или 6- крестовый многогранник , представляет собой правильный 6-гранник с 12 вершинами , 60 рёбрами , 160 треугольными гранями , 240 тетраэдрическими ячейками , 192 5-ячеечными 4-гранями и 64 5-гранями .

Он имеет две построенные формы, первая из которых является правильной с символом Шлефли {3 ⁴ ,4}, а вторая с попеременно помеченными (в шахматном порядке) гранями с символом Шлефли {3,3,3,3 ^1,1 } или символом Коксетера 3 ₁₁ .

Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами или ортоплексами . Двойственный многогранник — это 6- гиперкуб , или гексагон .

Альтернативные названия

Hexacross , образовано от объединения названия семейства cross polytope с hex (шесть) (измерения) на греческом языке .
Гексаконтитетрапетон как 64- гранный 6-политоп .

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет 6-ортоплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 6-ортоплексе. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}12&10&40&80&80&32\\2&60&8&24&32&16\\3&3&160&6&12&8\\4&6&4&240&4&4\\5&10&10&5&192&2\\6&15&20&15&6&64\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Строительство

Существует три группы Коксетера , связанные с 6-ортоплексом, одна регулярная , двойственная гексаплексу с группой Коксетера C ₆ или [4,3,3,3,3] , и половинная симметрия с двумя копиями 5-симплексных граней, чередующихся с группой Коксетера D _{6 или}[ 3 ^3,1,1 ]. Конструкция с самой низкой симметрией основана на двойственной 6- ортотопу , называемой 6-фузилем .

Имя	Шлефли	Симметрия	Заказ
Регулярный 6-ортоплекс	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Квазирегулярный 6-ортоплекс	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6-фузил	{3,3,3,4}+{}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4}+{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2{3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4}+2{}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4}+{4}+{}	[4,3,2,4,2]	768
	3{4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4}+3{}	[4,3,2,2,2]	384
	2{4}+2{}	[4,2,4,2,2]	256
	{4}+4{}	[4,2,2,2,2]	128
	6{}	[2,2,2,2,2]	64

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 6-ортоплекса с центром в начале координат:

(±1,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0), (0,0,0,±1,0,0), (0,0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,0,±1)

Каждая пара вершин соединена ребром , за исключением противоположных.

Изображения

ортографические проекции
самолет Коксетера	Б ₆	Б ₅	Б ₄
График
Диэдральная симметрия	[12]	[10]	[8]
самолет Коксетера	Б ₃	Б ₂
График
Диэдральная симметрия	[6]	[4]
самолет Коксетера	А ₅	А ₃
График
Диэдральная симметрия	[6]	[4]

Связанные многогранники

6-ортоплекс можно спроецировать в 3-мерном пространстве на вершины правильного икосаэдра . ^[3]

2D		3D
Икосаэдр {3,5} = H ₃ Самолет Коксетера	6-ортоплекс {3,3,3,3 ^1,1 } = D ₆ Самолет Коксетера	Икосаэдр	6-ортоплекс
Эту конструкцию можно геометрически рассматривать как 12 вершин 6-ортоплекса, спроецированных в 3 измерения как вершины правильного икосаэдра . Это представляет собой геометрическое сворачивание групп Коксетера D ₆ в H ₃ : :к. Слева, если смотреть на эти ортогональные проекции плоскости Коксетера 2D , две перекрывающиеся центральные вершины определяют третью ось в этом отображении. Каждая пара вершин 6-ортоплекса соединена, за исключением противоположных: 30 ребер являются общими с икосаэдром, в то время как еще 30 ребер из 6-ортоплекса проецируются во внутреннюю часть икосаэдра.

Он находится в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженной Коксетером как серия 3 _k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдральный осоэдр .)

3 _к1 объемные фигуры
Космос	Конечный				Евклидов	Гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Группа Коксетера	А ₃ А ₁	А ₅	Д ₆	Е ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =Э ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =Э ₇⁺⁺
Диаграмма Коксетера
Симметрия	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 _1,-1	3 ₁₀	311	3 ₂₁	3 ₃₁	341

Этот многогранник является одним из 63 однородных 6-мерных многогранников, образованных из плоскости Коксетера _B6 , включая правильный 6-мерный куб или 6-ортоплекс.

Многогранники B6
β6	т ₁ β ₆	т ₂ β ₆	т ₂ γ ₆	т ₁ γ ₆	γ ₆	т _0,1 β ₆	т _0,2 β ₆
т _1,2 β ₆	т _0,3 β ₆	т _1,3 β ₆	т _2,3 γ ₆	т _0,4 β ₆	т _1,4 γ ₆	т _1,3 γ ₆	т _1,2 γ ₆
т _0,5 γ ₆	т _0,4 γ ₆	т _0,3 γ ₆	т _0,2 γ ₆	т _0,1 γ ₆	т _0,1,2 β ₆	т _0,1,3 β ₆	т _0,2,3 β ₆
т _1,2,3 β ₆	т _0,1,4 β ₆	т _0,2,4 β ₆	т _1,2,4 β ₆	т _0,3,4 β ₆	т _1,2,4 γ ₆	т _1,2,3 γ ₆	т _0,1,5 β ₆
т _0,2,5 β ₆	т _0,3,4 γ ₆	т _0,2,5 γ ₆	т _0,2,4 γ ₆	т _0,2,3 γ ₆	т _0,1,5 γ ₆	т _0,1,4 γ ₆	т _0,1,3 γ ₆
т _0,1,2 γ ₆	т _0,1,2,3 β ₆	т _0,1,2,4 β ₆	т _0,1,3,4 β ₆	т _0,2,3,4 β ₆	т _1,2,3,4 γ ₆	т _0,1,2,5 β ₆	т _0,1,3,5 β ₆
т _0,2,3,5 γ ₆	т _0,2,3,4 γ ₆	т _0,1,4,5 γ ₆	т _0,1,3,5 γ ₆	т _0,1,3,4 γ ₆	т _0,1,2,5 γ ₆	т _0,1,2,4 γ ₆	т _0,1,2,3 γ ₆
т _0,1,2,3,4 β ₆	т _0,1,2,3,5 β ₆	т _0,1,2,4,5 β ₆	т _0,1,2,4,5 γ ₆	т _0,1,2,3,5 γ ₆	т _0,1,2,3,4 γ ₆	т _0,1,2,3,4,5 γ ₆

Ссылки

HSM Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Довер, Нью-Йорк, 1973
- Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Норман Джонсон Однородные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , докторская степень, 1966 г.
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o3o3o4o - гы».

Специфический

^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8 Конфигурации
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
^ Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешаль, 1996, Cambridge University Press, стр. 64. 2.7.1 Кристалл I ₆

Внешние ссылки

Ольшевский, Джордж. "Крестный многогранник". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.
Многогранники различных размерностей
Многомерный глоссарий

в т е Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в размерностях 2–10
Семья	А _н	Б _н	Я ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ф ₄ / Соль ₂	Н _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16-ячеечный • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120-ячеечный • 600-ячеечный
Однородный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Однородный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Однородный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Однородный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Однородный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Однородный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Однородный n - многогранник	н - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	н - демикуб	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8 Конфигурации

[2] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[3] Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешаль, 1996, Cambridge University Press, стр. 64. 2.7.1 Кристалл I ₆