Оптико-механическая аналогия Гамильтона
Концептуальная параллель между оптикой и классической механикой

Гамильтонова оптика — лучи и волновые фронты

Оптико-механическая аналогия Гамильтона — это концептуальная параллель между траекториями в классической механике и волновыми фронтами в оптике , введенная Уильямом Роуэном Гамильтоном около 1831 года. [1] Ее можно рассматривать как связывающую принцип оптики Гюйгенса с принципом механики Мопертюи . [2] [3] [4] [5] [6]

Хотя Гамильтон открыл аналогию в 1831 году, она не применялась на практике до тех пор, пока Ганс Буш не использовал ее для объяснения фокусировки электронного пучка в 1925 году. [7] По словам Корнелиуса Ланцоша , аналогия сыграла важную роль в развитии идей в квантовой физике. [3] Эрвин Шредингер цитирует аналогию в самом первом предложении своей статьи, представляющей его волновую механику . [8] Далее в тексте своей статьи он говорит:

К сожалению, эта мощная и знаменательная концепция Гамильтона в большинстве современных репродукций лишена своего прекрасного одеяния как излишнего аксессуара в пользу более бесцветного представления аналитической корреспонденции. [9]

Количественный и формальный анализ, основанный на аналогии, использует уравнение Гамильтона–Якоби ; наоборот, аналогия обеспечивает альтернативный и более доступный путь для введения подхода уравнения Гамильтона–Якоби в механику. Ортогональность механических траекторий, характерных для геометрической оптики, к оптическим волновым фронтам, характерным для полного волнового уравнения, вытекающая из вариационного принципа, приводит к соответствующим дифференциальным уравнениям. [10]

Аналогия Гамильтона

Распространение света можно рассматривать в терминах лучей и волновых фронтов в обычном физическом трехмерном пространстве. Волновые фронты представляют собой двумерные искривленные поверхности; лучи представляют собой одномерные искривленные линии. [11] Аналогия Гамильтона сводится к двум интерпретациям фигуры, подобной показанной здесь. В оптической интерпретации зеленые волновые фронты представляют собой линии постоянной фазы , а ортогональные красные линии являются лучами геометрической оптики . В механической интерпретации зеленые линии обозначают постоянные значения действия , полученные путем применения принципа Гамильтона к механическому движению, а красные линии являются ортогональными траекториями объектов . [11]

Ортогональность волновых фронтов к лучам (или поверхностей равного действия к траекториям) означает, что мы можем вычислить один набор из другого набора. [10] Это объясняет, как формула дифракции Кирхгофа предсказывает волновое явление – дифракцию – используя только геометрическую трассировку лучей. [7] : 745  Лучи, трассируемые от источника до апертуры, дают волновой фронт, который становится источником для лучей, достигающих дифракционной картины, где они суммируются с использованием комплексных фаз из ортогональных волновых фронтов.

Волновые фронты и лучи или поверхности равного действия и траектории являются дуальными объектами, связанными ортогональностью. [10] С одной стороны, луч можно рассматривать как орбиту частицы света. Он последовательно прокалывает волновые поверхности. Последовательные проколы можно рассматривать как определение траектории частицы. С другой стороны, волновой фронт можно рассматривать как ровную поверхность смещения некоторой величины, такой как напряженность электрического поля, гидростатическое давление, плотность числа частиц, колебательная фаза или амплитуда вероятности. Тогда физический смысл лучей менее очевиден. [12]

Принцип Гюйгенса; Принцип Ферма

Оптико-механическая аналогия Гамильтона тесно связана с принципом Ферма и, следовательно, с принципом Гюйгенса-Френеля . [10] Принцип Ферма гласит, что лучи между волновыми фронтами будут проходить путь за наименьшее время; концепция последовательных волновых фронтов вытекает из принципа Гюйгенса.

Расширенный принцип Гюйгенса

Выходя за рамки обычного трехмерного физического пространства, можно представить себе более многомерное абстрактное конфигурационное «пространство» с размерностью, кратной 3. В этом пространстве можно снова представить лучи как одномерные кривые линии. Теперь волновые фронты являются гиперповерхностями размерности на единицу меньше размерности пространства. [6] Такое многомерное пространство может служить конфигурационным пространством для многочастичной системы.

Классический предел уравнения Шредингера

Альберт Мессия рассматривает классический предел уравнения Шредингера. Он находит в нем оптическую аналогию. Траектории его частиц ортогональны поверхностям равной фазы. Он пишет: «На языке оптики последние являются волновыми фронтами, а траектории частиц — лучами. Следовательно, классическое приближение эквивалентно приближению геометрической оптики: мы снова находим, как следствие уравнения Шредингера, основной постулат теории материальных волн». [13]

История

Оптико-механическая аналогия Гамильтона сыграла решающую роль [14] [11] в мышлении Шредингера , одного из создателей квантовой механики. Раздел 1 его статьи, опубликованной в декабре 1926 года, озаглавлен «Гамильтонова аналогия между механикой и оптикой». [15] Раздел 1 первой из его четырех лекций по волновой механике, прочитанных в 1928 году, озаглавлен «Вывод фундаментальной идеи волновой механики из аналогии Гамильтона между обычной механикой и геометрической оптикой». [16]

В краткой статье 1923 года де Бройль писал: «Динамика должна претерпеть ту же эволюцию, которую претерпела оптика, когда волновые движения заняли место чисто геометрической оптики». [17] В своей диссертации 1924 года, хотя Луи де Бройль и не назвал оптико-механическую аналогию, он написал во введении: [18]

... единый принцип, принцип Мопертюи, а позднее в другой форме как принцип наименьшего действия Гамильтона ... принцип Ферма ..., который в настоящее время обычно называют принципом наименьшего действия. ... Гюйгенс выдвинул волновую теорию света, в то время как Ньютон, прибегнув к аналогии с созданной им динамикой материальной точки, разработал корпускулярную теорию, так называемую «теорию излучения», которая позволила ему даже объяснить, хотя и с помощью надуманных гипотез, эффекты, которые в настоящее время считаются волновыми эффектами (т. е. кольца Ньютона).

По мнению Леона Розенфельда , близкого коллеги Нильса Бора , «... Шредингер [был] вдохновлен прекрасным сравнением Гамильтона классической механики и геометрической оптики...» [19]

Первый учебник на английском языке по волновой механике [20] посвящает вторую из двух своих глав «Волновой механике в отношении к обычной механике». В нем высказывается мнение, что «... де Бройль и Шредингер превратили эту ложную аналогию в истинную, используя естественную Единицу или Меру Действия, h , .... ... Теперь мы должны более подробно рассмотреть теорию Гамильтона, поскольку, как только ее истинный смысл понят, шаг к волновой механике оказывается всего лишь коротким — теперь, после события, кажется, что он сам собой напрашивается». [21]

Согласно одному учебнику, «первая часть нашей проблемы, а именно установление системы уравнений первого порядка, удовлетворяющей условию симметрии пространства-времени, может быть решена очень простым способом, с помощью аналогии между механикой и оптикой, которая была отправной точкой для развития волновой механики и которую все еще можно использовать — с оговорками — как источник вдохновения». [22]

Недавно эта концепция была расширена до режима, зависящего от длины волны. [23]

Ссылки

  1. ^ Гамильтон, WR , (1834).
  2. ^ Кембл, EC (1937), стр. 7–10.
  3. ^ ab Lanczos, C. (1949/1970). Ланцош написал на стр. 136: " [Мопертюи] ... таким образом указал на ту замечательную аналогию между оптическими и механическими явлениями, которая была замечена гораздо раньше Иоганном Бернулли и которая позднее была полностью развита в гениальной оптико-механической теории Гамильтона. Эта аналогия сыграла фундаментальную роль в развитии современной волновой механики".
  4. ^ Synge, JL (1954). На стр. 2 Synge пишет: "... аналогия между ньютоновской механикой и геометрической оптикой завершается только тогда, когда мы дополняем первую, думая о волнах в связи с траекториями частиц. Это завершение фактически присутствовало в теории Гамильтона, поскольку он сделал ее настолько широкой, что включил как корпускулярную, так и волновую теории света, и в первой интерпретации его поверхности постоянного действия являются рассматриваемыми волнами. Таким образом, со времен Гамильтона мы фактически имели то, что можно было бы назвать "ньютоновской геометрической механикой", основанной на принципе Мопертюи, δ ∫ v ds = 0 , где v задается в терминах энергии как mv 2 /2 = E − V ".
  5. ↑ Мессия, А. (1961), стр. 53–55.
  6. ^ аб Арнольд, VI (1974/1978), с. 252.
  7. ^ ab Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1993). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (6-е изд., переиздано (с исправлениями) изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-0-08-026481-3.
  8. ^ Шредингер, Э. (1926/1928), стр. ix.
  9. ^ Шрёдингер, Э. (1926/1928), стр. 13
  10. ^ abcd Houchmandzadeh, Bahram (май 2020 г.). «Уравнение Гамильтона–Якоби: альтернативный подход». American Journal of Physics . 88 (5): 353– 359. arXiv : 1910.09414 . Bibcode :2020AmJPh..88..353H. doi :10.1119/10.0000781. ISSN  0002-9505. S2CID  204800598.
  11. ^ abc Masoliver, Jaume; Ros, Ana (1 января 2010 г.). «От классической к квантовой механике через оптику». European Journal of Physics . 31 (1): 171– 192. arXiv : 0909.3258 . Bibcode : 2010EJPh...31..171M. doi : 10.1088/0143-0807/31/1/016. ISSN  0143-0807. S2CID  14765944.
  12. ^ Арнольд, VI (1974/1978), с. 250.
  13. ^ Мессия, А. (1961), стр. 224–225.
  14. ^ Joas, Christian; Lehner, Christoph (2009). «Классические корни волновой механики: преобразования Шредингера оптико-механической аналогии». Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 40 (4). Elsevier BV: 338– 351. Bibcode : 2009SHPMP..40..338J. doi : 10.1016/j.shpsb.2009.06.007. ISSN  1355-2198. S2CID  122826763.
  15. ^ Шредингер, Э. (1926) с. 1049.
  16. ^ Шрёдингер, Э. (1928), с. 1.
  17. ^ де Бройль, Л. (1923).
  18. ^ де Бройль, Л. (1924).
  19. ^ Розенфельд, Л. (1971/1979), на стр. 286.
  20. ^ Джаммер, М. (1966), стр. 366.
  21. ↑ Биггс, ХФ (1927), стр. 50, 52.
  22. ^ Френкель, Дж. (1934), стр. 260.
  23. ^ Хан, Самин Ахмед (февраль 2017 г.). «Оптико-механическая аналогия Гамильтона в режиме, зависящем от длины волны». Optik . 130 : 714–722 . doi :10.1016/j.ijleo.2016.10.112.

Библиография цитируемых источников

  • Арнольд, VI (1974/1978). Математические методы классической механики , перевод К. Фогтмана, А. Вайнштейна, Springer, Берлин, ISBN 978-1-4757-1695-5 . 
  • Биггс, Х. Ф. (1927). Волновая механика. Вводный очерк , Oxford University Press, Лондон.
  • де Бройль, Л. (1923). Волны и кванты, Природа 112 : 540.
  • де Бройль, Л. , Recherches sur la théorie des quanta (Исследования по квантовой теории), диссертация (Париж), 1924; де Бройль, Л., Энн. Физ. (Париж) 3 , 22 (1925). Английский перевод А.Ф. Краклауэра
  • Коэн, Р.С., Стачел, Дж.Дж., редакторы (1979). Избранные статьи Леона Розенфельда , Издательская компания D. Reidel, Дордрехт, ISBN 978-90-277-0652-2 . 
  • Джаммер, М. (1966). Концептуальное развитие квантовой механики , MGraw–Hill, Нью-Йорк.
  • Френкель, Дж. (1934). Волновая механика. Advanced General Theory , Oxford University Press, Лондон.
  • Кембл, EC (1937). Основные принципы квантовой механики с элементарными приложениями , McGraw–Hill, Нью-Йорк.
  • Гамильтон, У. Р. , (1834). О применении к динамике общего математического метода, ранее примененного в оптике, British Association Report , стр. 513–518, перепечатано в The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton (1940), ред. AW Conway, AJ McConnell, том 2, Cambridge University Press, Лондон.
  • Ланцош, К. (1949/1970). Вариационные принципы механики , 4-е издание, Издательство Торонтского университета, Торонто, ISBN 0-8020-1743-6 . 
  • Мессия, А. (1961). Квантовая механика , том 1, перевод Г. М. Теммера с французского Mécanique Quantique , Северная Голландия, Амстердам.
  • Розенфельд, Л. (1971). Люди и идеи в истории атомной теории, Arch. Hist. Exact Sci. , 7 : 69–90. Перепечатано на стр. 266–296 из Cohen, RS, Stachel, JJ (1979).
  • Шредингер, Э. (1926). Волновая теория механики атомов и молекул, Phys. Rev. , вторая серия 28 (6): 1049–1070.
  • Шредингер, Э. (1926/1928). Сборник статей по волновой механике , переведенный Дж. Ф. Ширером и В. М. Динсом из второго немецкого издания, Blackie & Son, Лондон.
  • Шредингер, Э. (1928). Четыре лекции по волновой механике. Прочитано в Королевском институте, Лондон, 5, 7, 12 и 14 марта 1928 г. , Blackie & Son, Лондон.
  • Синг, Дж. Л. (1954). Геометрическая механика и волны де Бройля , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hamilton%27s_optico-mechanical_analogy&oldid=1257406456"