Виртуальное перемещение

В аналитической механике , разделе прикладной математики и физики , виртуальное смещение (или бесконечно малое изменение ) показывает, как траектория механической системы может гипотетически (отсюда и термин виртуальный ) очень незначительно отклоняться от фактической траектории системы, не нарушая ограничений системы. ^{[1] [2] [3] : 263} Для каждого момента времени есть вектор, касательный к конфигурационному пространству в точке Векторы показывают направления, в которых может «идти» система, не нарушая ограничений.${\displaystyle \delta \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma (t).}$${\displaystyle \delta \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

Например, виртуальные перемещения системы, состоящей из одной частицы на двумерной поверхности, заполняют всю касательную плоскость, если нет дополнительных ограничений.

Однако, если ограничения требуют, чтобы все траектории проходили через заданную точку в заданное время , то${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}$${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

Пусть – конфигурационное пространство механической системы, – моменты времени, состоит из гладких функций на , и${\displaystyle M}$${\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }[t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}$$

Ограничения приведены здесь только для иллюстрации. На практике для каждой отдельной системы требуется индивидуальный набор ограничений.${\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}$

Для каждого пути и вариации есть функция такая, что для каждого и Виртуальное смещение, являющееся касательным расслоением , соответствующим вариации , присваивает ^[1] каждому касательному вектору${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM}$ ${\displaystyle (TM}$${\displaystyle M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.{\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}$$

В терминах касательной карты ,

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left(\left.{\frac {d}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\right).}$$

Вот касательная карта, где и${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle \Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,}$${\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].}$

• Координатное представление. Если координаты в произвольной карте на и тогда${\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=\dim M,}$$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}$$
• Если, в течение некоторого момента времени и каждый раз, то, для каждого${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$
• Если тогда${\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}$${\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}$

Одна частица, свободно движущаяся в имеет 3 степени свободы. Конфигурационное пространство равно и Для каждого пути и вариации существует уникальное такое, что как По определению,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}$${\displaystyle \gamma ,}$${\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}$${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}}$$

что приводит к

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}$$

${\displaystyle N}$Частицы, свободно движущиеся по двумерной поверхности, имеют степени свободы. Конфигурационное пространство здесь ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2N}$

$${\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}$$

где - радиус-вектор частицы . Отсюда следует, что${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}$$

и каждый путь может быть описан с использованием радиус-векторов каждой отдельной частицы, т.е.${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}$$

Это означает, что для каждого${\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}$$

где Некоторые авторы выражают это как${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}$

$${\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}$$

Твердое тело , вращающееся вокруг неподвижной точки без дополнительных ограничений, имеет 3 степени свободы. Конфигурационным пространством здесь является специальная ортогональная группа размерности 3 (иначе известная как группа 3D-вращения ), и Мы используем стандартные обозначения для обозначения трехмерного линейного пространства всех кососимметричных трехмерных матриц. Экспоненциальное отображение гарантирует существование такого, что для каждого пути его вариация и существует единственный путь такой, что и для каждого По определению${\displaystyle M=SO(3),}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}],}$${\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))}$${\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}=\gamma (t)\left.{\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}.}$$

Так как для некоторой функции , как ,${\displaystyle \sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon \to 0}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathrm {SO} (3).}$$

• принцип Даламбера
• Виртуальная работа