Теорема Гротендика–Римана–Роха

Теорема Гротендика–Римана–Роха

Комментарий Гротендика к теореме Гротендика–Римана–Роха
Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Александр Гротендик
Первое доказательство в	1957
Обобщения	Теорема Атьи–Зингера об индексе
Последствия	Теорема Хирцебруха–Римана–Роха Теорема Римана–Роха для поверхностей Теорема Римана–Роха

В математике , в частности в алгебраической геометрии , теорема Гротендика–Римана–Роха является далеко идущим результатом о когерентных когомологиях . Она является обобщением теоремы Хирцебруха–Римана–Роха о комплексных многообразиях , которая сама является обобщением классической теоремы Римана–Роха для линейных расслоений на компактных римановых поверхностях .

Теоремы типа Римана–Роха связывают эйлеровы характеристики когомологий векторного расслоения с их топологическими степенями или, в более общем смысле, с их характеристическими классами в (ко)гомологиях или их алгебраических аналогах. Классическая теорема Римана– Роха делает это для кривых и линейных расслоений, тогда как теорема Хирцебруха–Римана–Роха обобщает это на векторные расслоения над многообразиями. Теорема Гротендика–Римана–Роха помещает обе теоремы в относительную ситуацию морфизма между двумя многообразиями (или более общими схемами ) и изменяет теорему с утверждения об одном расслоении на утверждение, применимое к цепным комплексам пучков .

Теорема оказала большое влияние, не в последнюю очередь на развитие теоремы Атьи–Зингера об индексе . Наоборот, комплексные аналитические аналоги теоремы Гротендика–Римана–Роха могут быть доказаны с использованием теоремы об индексе для семейств. Александр Гротендик дал первое доказательство в рукописи 1957 года, позже опубликованной. ^[1] Арман Борель и Жан-Пьер Серр записали и опубликовали доказательство Гротендика в 1958 году . ^[2] Позже Гротендик и его коллеги упростили и обобщили доказательство. ^[3]

Пусть X — гладкая квазипроективная схема над полем . При этих предположениях группа Гротендика ограниченных комплексов когерентных пучков канонически изоморфна группе Гротендика ограниченных комплексов векторных расслоений конечного ранга. Используя этот изоморфизм, рассмотрим характер Черна (рациональную комбинацию классов Черна ) как функториальное преобразование:${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}$

где — группа Чжоу циклов на X размерности d по модулю рациональной эквивалентности , тензорная с рациональными числами . В случае, если X определено над комплексными числами , последняя группа отображается в топологическую группу когомологий :${\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}$

Теперь рассмотрим собственный морфизм между гладкими квазипроективными схемами и ограниченным комплексом пучков на${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$${\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}$${\displaystyle X.}$

Теорема Гротендика –Римана–Роха связывает отображение прямого проталкивания

${\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}$

(переменная сумма высших прямых изображений ) и проталкивание вперед

${\displaystyle f_{*}\двоеточие A(X)\to A(Y),}$

по формуле

c h ( f ! F ∙ ) t d ( Y ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( X ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

Вот род Тодда ( касательного расслоения ) X. Таким образом, теорема дает точную меру отсутствия коммутативности взятия толчка вперед в вышеуказанных смыслах и характера Черна и показывает, что необходимые поправочные коэффициенты зависят только от X и Y. Фактически, поскольку род Тодда является функториальным и мультипликативным в точных последовательностях , мы можем переписать формулу Гротендика–Римана–Роха как${\displaystyle \mathrm {td} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (f_ {!}{\mathcal {F}}^{\bullet})=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_ {f})),}$

где — относительный касательный пучок f , определяемый как элемент в . Например, когда f — гладкий морфизм , — это просто векторное расслоение, известное как касательное расслоение вдоль волокон f .${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle TX-f^{*}(TY)}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle T_{f}}$

Используя теорию A ¹ -гомотопии , Наварро и Наварро (2017) распространили теорему Гротендика–Римана–Роха на ситуацию, когда f является собственным отображением между двумя гладкими схемами.

Обобщения теоремы можно сделать на негладкий случай, рассмотрев соответствующее обобщение комбинации , и на несобственный случай, рассмотрев когомологии с компактным носителем . ${\ displaystyle \ mathrm {ch} (-) \ mathrm {td} (X)}$

Арифметическая теорема Римана–Роха обобщает теорему Гротендика–Римана–Роха на арифметические схемы .

Теорема Хирцебруха –Римана–Роха (по сути) является частным случаем, когда Y — точка, а поле — поле комплексных чисел.

Версия теоремы Римана–Роха для ориентированных теорий когомологий была доказана Иваном Паниным и Александром Смирновым. ^[4] Она касается мультипликативных операций между алгебраическими ориентированными теориями когомологий (такими как алгебраические кобордизмы ). Теория Гротендика–Римана–Роха является частным случаем этого результата, и характер Черна естественным образом возникает в этой обстановке. ^[5]

Вектор расслоения ранга и степени (определяемой как степень его определителя; или, что эквивалентно, степень его первого класса Черна) на гладкой проективной кривой над полем имеет формулу, похожую на формулу Римана–Роха для линейных расслоений. Если мы возьмем и точку, то формулу Гротендика–Римана–Роха можно прочитать как${\displaystyle E\to C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle д}$${\displaystyle к}$${\displaystyle X=C}$${\displaystyle Y=\{*\}}$

${\displaystyle {\begin{align}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{align}}}$

следовательно,

${\ displaystyle \ chi (C, E) = d + n (1-g).}$^[6]

Эта формула справедлива также для когерентных пучков ранга и степени .${\displaystyle n}$${\displaystyle д}$

Одним из преимуществ формулы Гротендика–Римана–Роха является то, что ее можно интерпретировать как относительную версию формулы Хирцебруха–Римана–Роха. Например, гладкий морфизм имеет слои, которые все равноразмерны (и изоморфны как топологические пространства при изменении базы на ). Этот факт полезен в теории модулей при рассмотрении пространства модулей, параметризующего гладкие собственные пространства. Например, Дэвид Мамфорд использовал эту формулу для вывода соотношений кольца Чжоу на пространстве модулей алгебраических кривых . ^[7]${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Для стека модулей кривых рода (и без отмеченных точек) существует универсальная кривая , где есть стек модулей кривых рода и одна отмеченная точка. Затем он определяет тавтологические классы${\displaystyle г}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \пи \колон {\overline {\mathcal {C}}}_{г}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{г}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}$${\displaystyle г}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}})\\\каппа _{л}&=\пи _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}}^{л+1})\\\mathbb {E} &=\пи _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}})\\\лямбда _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{align}}}$

где и — относительный дуализирующий пучок. Обратите внимание на волокно над точкой это дуализирующий пучок . Он смог найти соотношения между и описав в терминах суммы ^[7] (следствие 6.2) на кольце Чжоу гладкого локуса с помощью Гротендика–Римана–Роха. Поскольку — гладкий стек Делиня–Мамфорда , он рассмотрел покрытие схемой , которая представляет для некоторой конечной группы . Он использует Гротендика–Римана–Роха на , чтобы получить${\displaystyle 1\leq л\leq г}$${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}}}$${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{г}/{\overline {\mathcal {M}}}_{г}}}$${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle \лямбда _{я}}$${\displaystyle \каппа _{я}}$${\displaystyle \лямбда _{я}}$${\displaystyle \каппа _{я}}$${\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

Потому что

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}$

это дает формулу

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

Вычисление может быть затем сокращено еще больше. В четных измерениях ,${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}$${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}$

Также, в измерении 1,

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

где — класс на границе. В случае и на гладком локусе имеют место соотношения${\displaystyle \delta }$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}$

который можно вывести, проанализировав характер Черна .${\displaystyle \mathbb {E} }$

Закрытые вложения также имеют описание с использованием формулы Гротендика–Римана–Роха, показывающее другой нетривиальный случай, когда формула верна. ^[8] Для гладкого многообразия размерности и подмногообразия коразмерности существует формула${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

Используя короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}$,

есть формула

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

для идеального пучка, так как .${\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}$

Гротендик–Риман–Рох может быть использован для доказательства того, что грубое модульное пространство , такое как модульное пространство пунктированных алгебраических кривых , допускает вложение в проективное пространство, следовательно, является квазипроективным многообразием . Этого можно добиться, рассматривая канонически ассоциированные пучки на и изучая степень ассоциированных линейных расслоений. Например, ^[9] имеет семейство кривых${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{g,n}}$

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

с разделами

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}$

соответствующие отмеченным точкам. Поскольку каждое волокно имеет каноническое расслоение , то существуют соответствующие линейные расслоения и Оказывается, что${\displaystyle \omega _{C}}$$${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}$$$${\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}$$

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}$

является обильным линейным расслоением ^{[9] стр. 209} , следовательно, грубое пространство модулей является квазипроективным.${\displaystyle M_{g,n}}$

Версия теоремы Римана–Роха Александра Гротендика была первоначально передана в письме Жану-Пьеру Серру около 1956–1957 годов. Она была обнародована на первом Боннском рабочем съезде в 1957 году. Серр и Арман Борель впоследствии организовали семинар в Принстонском университете, чтобы понять ее. Последняя опубликованная работа была фактически изложением Бореля–Серра.

Значимость подхода Гротендика основывается на нескольких моментах. Во-первых, Гротендик изменил само утверждение: теорема в то время понималась как теорема о многообразии , тогда как Гротендик видел ее как теорему о морфизме между многообразиями. Найдя правильное обобщение, доказательство стало проще, а вывод стал более общим. Короче говоря, Гротендик применил сильный категорический подход к сложной части анализа . Более того, Гротендик ввел K-группы , как обсуждалось выше, которые проложили путь для алгебраической K-теории .

• Формула Римана–Роха Кавасаки

• Бертло, Пьер (1971). Александр Гротендик ; Люк Иллюзи (ред.). Теория пересечений и теория Римана-Роха . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 225. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958), «Теорема Римана-Роха», Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 86 : 97–136 , doi : 10.24033/bsmf.1500 , ISSN  0037-9484, MR  0116022
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, MR  1644323, Zbl  0885.14002
• Наварро, Альберто; Наварро, Хосе (2017), О формуле Римана-Роха без проективной гипотезы , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
• Панин, Иван; Смирнов, Александр (2000). «Продвижки вперед в ориентированных теориях когомологий алгебраических многообразий».
• «Теорема Гротендика Римана–Роха». 3264 и все такое . Cambridge University Press. 2016. стр.  481– 510. doi :10.1017/CBO9781139062046.016. ISBN 9781107017085.

• Теорема Гротендика-Римана-Роха
• Тема «Применение теории Гротендика-Римана-Роха?» на MathOverflow .
• Тема «Как понять GRR? (Гротендик Риман Рох)» на MathOverflow .
• Тема «Класс Черна идеального пучка» на Stack Exchange .