класс Тодда

В математике класс Тодда — это определённая конструкция, которая теперь считается частью теории алгебраической топологии характеристических классов . Класс Тодда векторного расслоения может быть определён с помощью теории классов Черна и встречается там, где существуют классы Черна — в первую очередь в дифференциальной топологии , теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии . Грубо говоря, класс Тодда действует как обратный класс Черна или находится по отношению к нему так же, как конормальный пучок по отношению к нормальному расслоению .

Класс Тодда играет фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана–Роха на более высокие размерности, в теореме Хирцебруха–Римана–Роха и теореме Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха .

Он назван в честь JA Todd , который ввел частный случай этого понятия в алгебраической геометрии в 1937 году, до того, как были определены классы Черна. Геометрическая идея, которая в нем заложена, иногда называется классом Тодда-Эгера . Общее определение в высших измерениях принадлежит Фридриху Хирцебруху .

Чтобы определить класс Тодда, где — комплексное векторное расслоение на топологическом пространстве , обычно можно ограничить определение случаем суммы Уитни линейных расслоений , с помощью общего приема теории характеристических классов, использования корней Черна (также известного как принцип расщепления ). Для определения пусть ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

- формальный степенной ряд со свойством, что коэффициент в равен 1, где обозначает -е число Бернулли . Рассмотрим коэффициент в произведении ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle Q(x)^{n+1}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x^{j}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

для любого . Это симметрично относительно s и однородно по весу : поэтому может быть выражено как полином от элементарных симметричных функций s . Затем определяет полиномы Тодда : они образуют мультипликативную последовательность с характерным степенным рядом .${\displaystyle m>j}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}}$${\displaystyle Q}$

Если имеет в качестве корней Черна , то класс Тодда${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

которое должно быть вычислено в кольце когомологий (или в его дополнении, если требуется рассматривать бесконечномерные многообразия). ${\displaystyle X}$

Класс Тодда можно явно задать как формальный степенной ряд по классам Черна следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }$

где классы когомологий являются классами Черна для и лежат в группе когомологий . Если конечномерно, то большинство членов обращаются в нуль и является многочленом в классах Черна.${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H^{2i}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$

Класс Тодда является мультипликативным:

${\displaystyle \operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).}$

Пусть — фундаментальный класс сечения гиперплоскости. Из мультипликативности и точной последовательности Эйлера для касательного расслоения${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

получаем ^[1]

${\displaystyle \operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

Для любой алгебраической кривой класс Тодда — это просто . Поскольку является проективным, его можно вложить в некоторые , и мы можем найти, используя нормальную последовательность${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {td} (C)=1+{\frac {1}{2}}c_{1}(T_{C})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle c_{1}(T_{C})}$

${\displaystyle 0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P^{n}} }|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

и свойства классов Черна. Например, если у нас есть кривая плоскости степени в , мы находим, что общий класс Черна равен${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}}$

где класс гиперплоскости ограничен .${\displaystyle [H]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle C}$

Для любого когерентного пучка F на гладком компактном комплексном многообразии M имеем

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),}$

где - его голоморфная эйлерова характеристика ,${\displaystyle \chi (F)}$

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),}$

и его характер Черна .${\displaystyle \operatorname {ch} (F)}$

• Род мультипликативной последовательности

• Тодд, JA (1937), «Арифметические инварианты алгебраических локусов», Труды Лондонского математического общества , 43 (1): 190–225, doi :10.1112/plms/s2-43.3.190, Zbl  0017.18504
• Фридрих Хирцебрух , Топологические методы в алгебраической геометрии , Springer (1978)
• М.И. Войцеховский (2001) [1994], "Класс Тодда", Энциклопедия математики , Издательство EMS