Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала
Соответствие в функциональном анализе

В функциональном анализе , дисциплине в математике , для данной -алгебры конструкция Гельфанда –Наймарка–Сигала устанавливает соответствие между циклическими -представлениями и некоторыми линейными функционалами на (называемые состояниями ). Соответствие показывается явным построением -представления из состояния. Она названа в честь Израиля Гельфанда , Марка Наймарка и Ирвинга Сигала . С ∗ {\displaystyle С^{*}} А {\displaystyle А} ∗ {\displaystyle *} А {\displaystyle А} А {\displaystyle А} ∗ {\displaystyle *}

Государства и представительства

-Представление -алгебры в гильбертовом пространстве - это отображение из в алгебру ограниченных операторов в такое, что ∗ {\displaystyle *} С ∗ {\displaystyle С^{*}} А {\displaystyle А} ЧАС {\displaystyle H} π {\displaystyle \pi } A {\displaystyle A} H {\displaystyle H}

  • π {\displaystyle \pi } — кольцевой гомоморфизм , который переводит инволюцию в инволюцию операторов A {\displaystyle A}
  • π {\displaystyle \pi } невырожден , то есть пространство векторов плотно, поскольку пробегает и пробегает . Обратите внимание, что если имеет тождество, невырожденность означает в точности сохраняет единицу, то есть отображает тождество в оператор тождества на . π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} ξ {\displaystyle \xi } x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} ξ {\displaystyle \xi } H {\displaystyle H} A {\displaystyle A} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } A {\displaystyle A} H {\displaystyle H}

Состояние на -алгебре является положительным линейным функционалом нормы . Если имеет мультипликативный единичный элемент , то это условие эквивалентно . C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} f {\displaystyle f} 1 {\displaystyle 1} A {\displaystyle A} f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1}

Для представления -алгебры в гильбертовом пространстве элемент называется циклическим вектором, если множество векторов π {\displaystyle \pi } C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} ξ {\displaystyle \xi }

{ π ( x ) ξ : x ∈ A } {\displaystyle \{\pi (x)\xi :x\in A\}}

является плотным по норме в , в этом случае π называется циклическим представлением . Любой ненулевой вектор неприводимого представления является циклическим. Однако ненулевые векторы в общем циклическом представлении могут не быть циклическими. H {\displaystyle H}

Строительство ГНС

Пусть будет -представлением -алгебры в гильбертовом пространстве и будет циклическим вектором единичной нормы для . Тогда является состоянием . π {\displaystyle \pi } ∗ {\displaystyle *} C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} ξ {\displaystyle \xi } π {\displaystyle \pi } a ↦ ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle } A {\displaystyle A}

И наоборот, каждое состояние можно рассматривать как векторное состояние , как указано выше, при подходящем каноническом представлении. A {\displaystyle A}

Теорема. [1]  —  Для данного состояния существует -представление действия на гильбертовом пространстве с выделенным единичным циклическим вектором таким, что для любого из . ρ {\displaystyle \rho } A {\displaystyle A} ∗ {\displaystyle *} π {\displaystyle \pi } A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} ξ {\displaystyle \xi } ρ ( a ) = ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle } a {\displaystyle a} A {\displaystyle A}

Доказательство
  1. Построение гильбертова пространства H {\displaystyle H}

    Определим в полуопределенной полуторалинейной форме A {\displaystyle A} ⟨ a , b ⟩ = ρ ( b ∗ a ) , a , b ∈ A . {\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.}

    По неравенству треугольника вырожденные элементы, удовлетворяя , образуют векторное подпространство . С помощью -алгебраического аргумента можно показать, что является левым идеалом ( известным как левое ядро ​​). Фактически, это наибольший левый идеал в нулевом пространстве ρ. Фактор - пространство по векторному подпространству является пространством скалярного произведения со скалярным произведением, определяемым как , которое хорошо определено из-за неравенства Коши–Шварца . Пополнение Коши в норме, индуцированное этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, которое мы обозначаем как . a {\displaystyle a} A {\displaystyle A} ρ ( a ∗ a ) = 0 {\displaystyle \rho (a*a)=0} I {\displaystyle I} A {\displaystyle A} C ∗ {\displaystyle C^{*}} I {\displaystyle I} A {\displaystyle A} ρ {\displaystyle \rho } A {\displaystyle A} I {\displaystyle I} ⟨ a + I , b + I ⟩ := ρ ( b ∗ a ) , a , b ∈ A {\displaystyle \langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A} A / I {\displaystyle A/I} H {\displaystyle H}
  2. Строительство представительства π {\displaystyle \pi }
    Определим действие на с помощью на . Тот же аргумент, показывающий, что является левым идеалом, также подразумевает, что является ограниченным оператором на и, следовательно, может быть расширен единственным образом до завершения. Распутывая определение сопряженного оператора в гильбертовом пространстве, оказывается -сохраняющим. Это доказывает существование -представления . π {\displaystyle \pi } A {\displaystyle A} A / I {\displaystyle A/I} π ( a ) ( b + I ) = a b + I {\displaystyle \pi (a)(b+I)=ab+I} A {\displaystyle A} A / I {\displaystyle A/I} I {\displaystyle I} π ( a ) {\displaystyle \pi (a)} A / I {\displaystyle A/I} π {\displaystyle \pi } ∗ {\displaystyle *} ∗ {\displaystyle *} π {\displaystyle \pi }
  3. Определение циклического вектора единичной нормы ξ {\displaystyle \xi }

    Если имеет мультипликативное тождество , то сразу следует, что класс эквивалентности в гильбертовом пространстве GNS, содержащий , является циклическим вектором для указанного выше представления. Если не является унитальным, возьмите приближенное тождество для . Поскольку положительные линейные функционалы ограничены, классы эквивалентности сети сходятся к некоторому вектору в , который является циклическим вектором для . A {\displaystyle A} 1 {\displaystyle 1} ξ {\displaystyle \xi } H {\displaystyle H} 1 {\displaystyle 1} A {\displaystyle A} { e λ } {\displaystyle \{e_{\lambda }\}} A {\displaystyle A} { e λ } {\displaystyle \{e_{\lambda }\}} ξ {\displaystyle \xi } H {\displaystyle H} π {\displaystyle \pi }

    Из определения скалярного произведения на ГНС-гильбертовом пространстве ясно , что состояние может быть восстановлено как векторное состояние на . Это доказывает теорему. H {\displaystyle H} ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H}

Метод, используемый для получения -представления из состояния в доказательстве вышеприведенной теоремы, называется конструкцией GNS . Для состояния -алгебры соответствующее представление GNS по существу однозначно определяется условием, как показано в теореме ниже. ∗ {\displaystyle *} A {\displaystyle A} C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} ρ ( a ) = ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ {\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle }

Теорема. [2]  —  Дано состояние , пусть , будут -представлениями на гильбертовых пространствах , соответственно каждое с единичной нормой циклических векторов , такими что для всех . Тогда , являются унитарно эквивалентными -представлениями т.е. существует унитарный оператор из в такой, что для всех в . Оператор , реализующий унитарную эквивалентность, отображается в для всех в . ρ {\displaystyle \rho } A {\displaystyle A} π {\displaystyle \pi } π ′ {\displaystyle \pi '} ∗ {\displaystyle *} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} H ′ {\displaystyle H^{\prime }} ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in H} ξ ′ ∈ H ′ {\displaystyle \xi '\in H'} ρ ( a ) = ⟨ π ( a ) ξ , ξ ⟩ = ⟨ π ′ ( a ) ξ ′ , ξ ′ ⟩ {\displaystyle \rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle } a ∈ A {\displaystyle a\in A} π {\displaystyle \pi } π ′ {\displaystyle \pi '} ∗ {\displaystyle *} U {\displaystyle U} H {\displaystyle H} H ′ {\displaystyle H^{\prime }} π ′ ( a ) = U π ( a ) U ∗ {\displaystyle \pi '(a)=U\pi (a)U^{*}} a {\displaystyle a} A {\displaystyle A} U {\displaystyle U} π ( a ) ξ {\displaystyle \pi (a)\xi } π ′ ( a ) ξ ′ {\displaystyle \pi '(a)\xi '} a {\displaystyle a} A {\displaystyle A}

Значение строительства ГНС

Конструкция GNS лежит в основе доказательства теоремы Гельфанда–Наймарка, характеризующей -алгебры как алгебры операторов. -алгебра имеет достаточно много чистых состояний (см. ниже), так что прямая сумма соответствующих неприводимых представлений GNS является точной . C ∗ {\displaystyle C^{*}} C ∗ {\displaystyle C^{*}}

Прямая сумма соответствующих GNS-представлений всех состояний называется универсальным представлением . Универсальное представление содержит каждое циклическое представление. Поскольку каждое -представление является прямой суммой циклических представлений, отсюда следует, что каждое -представление является прямым слагаемым некоторой суммы копий универсального представления. A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} ∗ {\displaystyle *} ∗ {\displaystyle *} A {\displaystyle A}

Если — универсальное представление -алгебры , то замыкание в слабой операторной топологии называется обертывающей алгеброй фон Неймана . Ее можно отождествить с двойным дуальным . Φ {\displaystyle \Phi } C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} Φ ( A ) {\displaystyle \Phi (A)} A {\displaystyle A} A ∗ ∗ {\displaystyle A^{**}}

Неприводимость

Также имеет значение связь между неприводимыми -представлениями и крайними точками выпуклого множества состояний. Представление π на неприводимо тогда и только тогда, когда не существует замкнутых подпространств , инвариантных относительно всех операторов, отличных от него самого и тривиального подпространства . ∗ {\displaystyle *} H {\displaystyle H} H {\displaystyle H} π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} H {\displaystyle H} { 0 } {\displaystyle \{0\}}

Теорема  —  Множество состояний -алгебры с единичным элементом является компактным выпуклым множеством относительно слабой -топологии. В общем случае (независимо от того, имеет ли -элемент единицу) множество положительных функционалов нормы является компактным выпуклым множеством. C ∗ {\displaystyle C^{*}} A {\displaystyle A} ∗ {\displaystyle *} A {\displaystyle A} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1}

Оба эти результата непосредственно следуют из теоремы Банаха–Алаоглу .

В унитальном коммутативном случае для -алгебры непрерывных функций на некотором компакте теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани утверждает, что положительные функционалы нормы — это в точности положительные меры Бореля на с полной массой . Из теоремы Крейна–Мильмана следует , что экстремальные состояния — это меры Дирака с точечной массой. C ∗ {\displaystyle C^{*}} C ( X ) {\displaystyle C(X)} X {\displaystyle X} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1} X {\displaystyle X} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1}

С другой стороны, представление неприводимо тогда и только тогда, когда оно одномерно. Следовательно, GNS-представление, соответствующее мере, неприводимо тогда и только тогда, когда является экстремальным состоянием. Это фактически верно для -алгебр в целом. C ( X ) {\displaystyle C(X)} C ( X ) {\displaystyle C(X)} μ {\displaystyle \mu } μ {\displaystyle \mu } C ∗ {\displaystyle C^{*}}

Теорема  —  Пусть будет -алгеброй. Если является -представлением в гильбертовом пространстве с единичной нормой циклического вектора , то является неприводимым тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является крайней точкой выпуклого множества положительных линейных функционалов на нормы . A {\displaystyle A} C ∗ {\displaystyle C^{*}} π {\displaystyle \pi } ∗ {\displaystyle *} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} ξ {\displaystyle \xi } π {\displaystyle \pi } f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1}

Чтобы доказать этот результат, сначала следует отметить, что представление неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант , обозначаемый как , состоит из скалярных кратных единицы. π ( A ) {\displaystyle \pi (A)} π ( A ) ′ {\displaystyle \pi (A)'}

Любой положительный линейный функционал на доминируется по имеет вид для некоторого положительного оператора в с в операторном порядке. Это версия теоремы Радона–Никодима . g {\displaystyle g} A {\displaystyle A} f {\displaystyle f} g ( x ∗ x ) = ⟨ π ( x ) ξ , π ( x ) T g ξ ⟩ {\displaystyle g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle } T g {\displaystyle T_{g}} π ( A ) ′ {\displaystyle \pi (A)'} 0 ≤ T ≤ 1 {\displaystyle 0\leq T\leq 1}

Для таких можно записать в виде суммы положительных линейных функционалов: . Так что унитарно эквивалентно подпредставлению . Это показывает, что π неприводимо тогда и только тогда, когда любое такое унитарно эквивалентно , т.е. является скалярным кратным , что доказывает теорему. g {\displaystyle g} f {\displaystyle f} f = g + g ′ {\displaystyle f=g+g'} π {\displaystyle \pi } π g ⊕ π g ′ {\displaystyle \pi _{g}\oplus \pi _{g'}} π g {\displaystyle \pi _{g}} π {\displaystyle \pi } g {\displaystyle g} f {\displaystyle f}

Экстремальные состояния обычно называются чистыми состояниями . Обратите внимание, что состояние является чистым состоянием тогда и только тогда, когда оно является экстремальным в выпуклом множестве состояний.

Приведенные выше теоремы для -алгебр справедливы в более общем смысле в контексте -алгебр с приближенной идентичностью. C ∗ {\displaystyle C^{*}} B ∗ {\displaystyle B^{*}}

Обобщения

Факторизационная теорема Стайнспринга, характеризующая вполне положительные отображения, является важным обобщением конструкции ГНС.

История

Статья Гельфанда и Наймарка о теореме Гельфанда–Наймарка была опубликована в 1943 году. [3] Сигал распознал конструкцию, которая подразумевалась в этой работе, и представил ее в более заостренной форме. [4]

В своей статье 1947 года Сигал показал, что для любой физической системы, которая может быть описана алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, достаточно рассмотреть неприводимые представления -алгебры . В квантовой теории это означает, что -алгебра порождается наблюдаемыми. Это, как указал Сигал, было показано ранее Джоном фон Нейманом только для частного случая нерелятивистской теории Шредингера-Гейзенберга. [5] C ∗ {\displaystyle C^{*}} C ∗ {\displaystyle C^{*}}

Смотрите также

Ссылки

  • Уильям Арвесон , Приглашение в C*-алгебру , Springer-Verlag, 1981
  • Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр , т. I: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN  978-0821808191 .
  • Жак Диксмье , Les C*-algèbres et leurs Représentations , Готье-Виллар, 1969.
    Английский перевод: Диксмье, Жак (1982). С*-алгебры . Северная Голландия. ISBN 0-444-86391-5.
  • Томас Тиммерманн, Приглашение к квантовым группам и дуальности: от алгебр Хопфа до мультипликативных унитарных и далее , Европейское математическое общество, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Приложение 12.1, раздел: Построение ГНС (стр. 371) 
  • Стефан Вальдман: О теории представлений деформационного квантования , В: Деформационное квантование: Труды встречи физиков-теоретиков и математиков, Страсбург, 31 мая – 2 июня 2001 г. (Исследования по генеративной грамматике) , Грюйтер, 2002, ISBN 978-3-11-017247-8 , стр. 107–134 – раздел 4. Конструкция GNS (стр. 113) 
  • G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily (2005). Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике . World Scientific. ISBN 981-256-129-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  • Шойчиро Сакаи , C*-алгебры и W*-алгебры , Springer-Verlag 1971. ISBN 3-540-63633-1 

Встроенные ссылки

  1. ^ Кадисон, Р. В. , Теорема 4.5.2, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 
  2. ^ Кадисон, Р. В. , Предложение 4.5.3, Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 
  3. ^ И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве». Математический сборник . 12 (2): 197–217 .(также Google Books, см. стр. 3–20)
  4. ^ Ричард В. Кадисон : Заметки о теореме Гельфанда–Неймарка . В: Роберт С. Доран (ред.): C*-Алгебры: 1943–1993. Пятидесятилетний праздник , специальная сессия AMS, посвященная первым пятидесяти годам теории C*-алгебры, 13–14 января 1993 г., Сан-Антонио, Техас, Американское математическое общество, стр. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 (доступно в Google Books, см. стр. 21 и далее.) 
  5. ^ IE Segal (1947). "Неприводимые представления операторных алгебр" (PDF) . Bull. Am. Math. Soc . 53 (2): 73– 88. doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelfand–Naimark–Segal_construction&oldid=1267194989"