интеграл Френеля

Интегралы Френеля S ( x ) и C ( x ) — две трансцендентные функции, названные в честь Огюстена-Жана Френеля , которые используются в оптике и тесно связаны с функцией ошибок ( erf ). Они возникают при описании явлений дифракции Френеля в ближнем поле и определяются с помощью следующих интегральных представлений:

$${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}$$

Параметрическая кривая ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}}$ — это спираль Эйлера или клотоида, кривая, кривизна которой линейно зависит от длины дуги.

Термин интеграл Френеля может также относиться к комплексному определенному интегралу

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}}$$

где a — действительное и положительное число; его можно оценить, замкнув контур в комплексной плоскости и применив интегральную теорему Коши .

Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенные ряды , которые сходятся для всех x :$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$$

Некоторые широко используемые таблицы ^{[1] [2]} используют ⁠π/2⁠ t ² вместо t ² для аргумента интегралов, определяющих S ( x ) и C ( x ) . Это изменяет их пределы на бесконечности с ⁠1/2⁠ · √ ⁠π/2⁠ к⁠1/2⁠ ^[3] и длина дуги для первого витка спирали от √ 2 π до 2 (при t = 2 ). Эти альтернативные функции обычно известны как нормализованные интегралы Френеля .

Спираль Эйлера, также известная как спираль Корню или клотоида, представляет собой кривую, полученную с помощью параметрического графика S ( t ) против C ( t ) . Спираль Эйлера была впервые изучена в середине 18 века Леонардом Эйлером в контексте теории пучка Эйлера–Бернулли . Спустя столетие Мари Альфред Корню построила ту же спираль в виде номограммы для дифракционных вычислений.

Из определений интегралов Френеля, бесконечно малые величины dx и dy равны:$${\displaystyle {\begin{align}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{align}}}$$

Таким образом, длина спирали, измеренная от начала координат, может быть выражена как$${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$$

То есть параметр t — это длина кривой, измеренная от начала координат (0, 0) , а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор (cos( ​​t ² ), sin( t ² )) также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, давая θ = t ² . Поскольку t — это длина кривой, кривизна κ может быть выражена как$${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$$

Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна$${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$$

Спираль Эйлера обладает свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию вдоль спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает ее полезной в качестве переходной кривой в дорожном и железнодорожном строительстве: если транспортное средство следует по спирали с единичной скоростью, параметр t в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, следующее по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения .

Участки спиралей Эйлера обычно включаются в форму петель американских горок , образуя так называемые клотоидные петли .

C ( x ) и S ( x ) —нечетные функции x ,

$${\displaystyle C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).}$$

что легко увидеть из того факта, что их разложения в степенной ряд содержат только члены нечетной степени, или, альтернативно, потому, что они являются первообразными четных функций, которые также равны нулю в начале координат.

Асимптотики интегралов Френеля при x → ∞ даются формулами:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}$$

Используя приведенные выше разложения в степенной ряд, интегралы Френеля можно распространить на область комплексных чисел , где они становятся целыми функциями комплексной переменной z .

Интегралы Френеля можно выразить с помощью функции ошибок следующим образом: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$$

или

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$$

Интегралы, определяющие C ( x ) и S ( x ), не могут быть оценены в замкнутой форме в терминах элементарных функций , за исключением особых случаев. Пределы этих функций при x, стремящемся к бесконечности, известны:$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}$$

Доказательство формулы

Это можно получить любым из нескольких методов. Один из них [5] использует контурный интеграл функции вокруг границы секторной области в комплексной плоскости, образованной положительной осью x , биссектрисой первого квадранта y = x с x ≥ 0 и дугой окружности радиуса R с центром в начале координат.$${\displaystyle e^{-z^{2}}}$$ При стремлении R к бесконечности интеграл по дуге окружности γ 2 стремится к 0 , где использовались полярные координаты z = Re , а для второго неравенства использовалось неравенство Жордана . Интеграл по действительной оси γ 1 стремится к половине гауссовского интеграла$${\displaystyle \left|\int _{\gamma _{2}}e^{-z^{2}}\,dz\right|=\left|\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}(\cos t+i\sin t)^{2}}\,Re^{it}dt\right|\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^{-R^{2}}\right),}$$$${\displaystyle \int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$$ Также следует отметить, что поскольку подынтегральное выражение является целой функцией на комплексной плоскости, его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом, мы должны иметь где γ 3 обозначает биссектрису первого квадранта, как на диаграмме. Чтобы оценить левую часть, параметризуем биссектрису как где t изменяется от 0 до +∞ . Обратите внимание, что квадрат этого выражения равен просто + it 2 . Поэтому подстановка дает левую часть как$${\displaystyle \int _{\gamma _{3}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{\gamma _{1}}e^{-z^{2}}\,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt,}$$$${\displaystyle z=te^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)t}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-it^{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt.}$$ Используя формулу Эйлера, чтобы взять действительную и мнимую части e − it 2, мы получаем это как , где мы записали 0 i, чтобы подчеркнуть, что значение исходного гауссовского интеграла полностью действительно с нулевой мнимой частью. Позволяя и затем приравнивая действительную и мнимую части, получаем следующую систему из двух уравнений относительно двух неизвестных I C и I S :$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(t^{2}\right)-i\sin \left(t^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left(t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle I_{C}=\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\quad I_{S}=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\\I_{C}-I_{S}&=0.\end{aligned}}}$$ Решение этого уравнения относительно I C и I S дает желаемый результат.

Интеграл является конфлюэнтной гипергеометрической функцией , а также неполной гамма-функцией ^[6] , которая сводится к интегралам Френеля, если взять действительные или мнимые части: Главный член в асимптотическом разложении равен и, следовательно,$${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).}$$$${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$$

При m = 0 мнимая часть этого уравнения, в частности, имеет левую часть, сходящуюся при a > 1 , а правая часть является ее аналитическим продолжением на всю плоскость за исключением того места, где лежат полюса Γ ( a ⁻¹ ) .$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$$

Преобразование Куммера конфлюэнтной гипергеометрической функции имеет вид$${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$$$${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$$

Для вычисления с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. Для большого аргумента асимптотические разложения сходятся быстрее. ^[7] Также могут использоваться методы непрерывных дробей. ^[8]

Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди ^[9] разработал набор эффективных приближений, основанных на рациональных функциях, которые дают относительные ошибки вплоть до2 × 10 ⁻¹⁹ . Реализация приближения Коди на языке FORTRAN , включающая значения коэффициентов, необходимых для реализации на других языках, была опубликована ван Снайдером. ^[10] Боерсма разработал приближение с ошибкой менее1,6 × 10−9 ^. [ ^11]

Первоначально интегралы Френеля использовались для расчета интенсивности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. ^[12] В последнее время они используются при проектировании автомагистралей и железных дорог, в частности, их криволинейных переходных зон, см. кривую перехода пути . ^[13] Другие приложения — американские горки ^[12] или расчет переходов на велотреке для обеспечения быстрого входа в повороты и плавного выхода. ^{[ требуется ссылка ]}

• 
  График интегральной функции Френеля S(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График интегральной функции Френеля C(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График вспомогательной функции Френеля G(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  График вспомогательной функции Френеля F(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 7". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Алазах, Мохаммед (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Числовая математика . 128 (4): 635–661 . arXiv : 1209.3451 . Бибкод : 2012arXiv1209.3451A. doi : 10.1007/s00211-014-0627-z. S2CID  13934493.
• Битти, Томас (2013). "Как вычислять интегралы Френеля" (PDF) . FGCU Math - Лето 2013 . Получено 27 июля 2013 .
• Boersma, J. (1960). "Вычисление интегралов Френеля". Math. Comp . 14 (72): 380. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121973-3 . MR  0121973.
• Булирш, Роланд (1967). «Численное вычисление синуса, косинуса и интегралов Френеля». Numer. Math . 9 (5): 380– 385. doi :10.1007/BF02162153. S2CID  121794086.
• Коди, Уильям Дж. (1968). "Приближения Чебышева для интегралов Френеля" (PDF) . Math. Comp . 22 (102): 450– 453. doi : 10.1090/S0025-5718-68-99871-2 .
• Хангельбрук, Р. Дж. (1967). «Численное приближение интегралов Френеля с помощью полиномов Чебышева». J. Eng. Math . 1 (1): 37– 50. Bibcode :1967JEnMa...1...37H. doi :10.1007/BF01793638. S2CID  122271446.
• Матар, Р. Дж. (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». arXiv : 1211.3963 [math.CA].
• Нейв, Р. (2002). «Спираль Корню».(Использует ⁠π/2⁠ t ² вместо t ² .)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 2011-08-11 . Получено 2011-08-09 .
• ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: Интегралы Френеля». ACM Trans. Math. Softw . 19 (4): 452– 456. doi : 10.1145/168173.168193 . S2CID  12346795.
• Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление ранних трансцендентов. Cengage Learning EMEA. ISBN 978-0-495-38273-7.
• Темме, Н. М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• ван Вейнгаарден, А.; Шин, В.Л. (1949). Таблица интегралов Френеля . Верхандл. Конинк. Нед. Акад. Ветеншапен. Том. 19.
• Зайта, Аурел Дж.; Гоэль, Судхир К. (1989). «Параметрические методы интегрирования». Mathematics Magazine . 62 (5): 318– 322. doi :10.1080/0025570X.1989.11977462.

• Cephes, бесплатный/открытый код C++/C для вычисления интегралов Френеля среди других специальных функций. Используется в SciPy и ALGLIB .
• Пакет Faddeeva, бесплатный/открытый исходный код C++/C для вычисления сложных функций ошибок (из которых можно получить интегралы Френеля), с оболочками для Matlab, Python и других языков.
• «Френелевские интегралы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Roller Coaster Loop Shapes". Архивировано из оригинала 23 сентября 2008 г. Получено 13 августа 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Френелевские интегралы». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Корню». MathWorld .