Интеграция с использованием параметрических производных

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Integration using parametric derivatives" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2019) (Learn how and when to remove this message) This article provides insufficient context for those unfamiliar with the subject. Please help improve the article by providing more context for the reader. (June 2019) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

В исчислении , интегрирование по параметрическим производным , также называемое параметрическим интегрированием , ^[1] является методом, который использует известные интегралы для интегрирования производных функций. Он часто используется в физике и похож на интегрирование путем подстановки .

Используя интегральное правило Лейбница с фиксированными верхней и нижней границами, получаем, что Это справедливо и для неконечных границ.
${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)dx\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)dx}$

Например, предположим, что мы хотим найти интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx.}$

Поскольку это произведение двух функций, которые легко интегрировать по отдельности, повторное интегрирование по частям , безусловно, является одним из способов его оценки. Однако мы также можем оценить это, начав с более простого интеграла и добавленного параметра, который в данном случае равен t  = 3:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx=\left[{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right]_{0}^{\infty }=\left(\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right)-\left({\frac {e^{-t0}}{-t}}\right)\\&=0-\left({\frac {1}{-t}}\right)={\frac {1}{t}}.\end{aligned}}}$

Это сходится только при t  > 0, что верно для искомого интеграла. Теперь, когда мы знаем

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx={\frac {1}{t}},}$

мы можем продифференцировать обе части дважды по t (не по x ), чтобы добавить множитель x ² в исходный интеграл.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-tx}\,dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{dt}}\left(-xe^{-tx}\right)\,dx={\frac {d}{dt}}\left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-tx}\,dx={\frac {2}{t^{3}}}.\end{aligned}}}$

Это та же форма, что и искомый интеграл, где t  = 3. Подстановка этого в приведенное выше уравнение дает значение:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx={\frac {2}{3^{3}}}={\frac {2}{27}}.}$

Начиная с интеграла , взятие производной по t с обеих сторон дает . В общем случае взятие n -й производной по t дает нам .${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}t}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}t}dx={\frac {d}{dt}}{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\\&-\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{-{\frac {3}{2}}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{-{\frac {3}{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-x^{2}t}={\frac {(2n-1)!!{\sqrt {\pi }}}{2^{n}}}t^{-{\frac {2n+1}{2}}}}$

Используя классику и взяв производную по t, получаем .${\displaystyle \int x^{t}dx={\frac {x^{t+1}}{t+1}}}$
${\displaystyle \int \ln(x)x^{t}={\frac {\ln(x)x^{t+1}}{t+1}}-{\frac {x^{t+1}}{(t+1)^{2}}}}$

Метод также можно применять к суммам, как показано ниже.
Используйте факторизацию Вейерштрасса функции sinh : . Возьмем логарифм: . Выведем по z : . Пусть : .
${\displaystyle {\frac {\sinh(z)}{z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \ln(\sinh(z))-\ln(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left({\frac {\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \coth(z)-{\frac {1}{z}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}}$
${\displaystyle w={\frac {z}{\pi }}}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\coth(\pi w)}{\pi w}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+w^{2}}}}$

WikiBooks: Параметрическая_интеграция

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e