Ряд мощности

В математике степенной ряд (с одной переменной ) — это бесконечный ряд вида , где представляет собой коэффициент n - го члена, а c — константа, называемая центром ряда. Степенные ряды полезны в математическом анализе , где они возникают как ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций . Фактически, теорема Бореля подразумевает, что каждый степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots }$$${\displaystyle а_{н}}$

Во многих ситуациях центр c равен нулю, например, для ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простую форму$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

Частичные суммы степенного ряда являются многочленами , частичные суммы ряда Тейлора аналитической функции являются последовательностью сходящихся полиномиальных приближений к функции в центре, а сходящийся степенной ряд можно рассматривать как своего рода обобщенный многочлен с бесконечным числом членов. Наоборот, каждый многочлен является степенным рядом только с конечным числом ненулевых членов.

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (вид формального степенного ряда ) и в электронной инженерии (под названием Z-преобразование ). Знакомая десятичная запись действительных чисел также может рассматриваться как пример степенного ряда с целыми коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным на 1 ⁄ 10 . В теории чисел понятие p -адических чисел также тесно связано с понятием степенного ряда.

Каждый многочлен степени d может быть выражен в виде степенного ряда вокруг любого центра c , где все члены степени выше d имеют нулевой коэффициент. ^[1] Например, многочлен может быть записан в виде степенного ряда вокруг центра как или вокруг центра как${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$${\textstyle с=0}$$${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$$${\textstyle с=1}$$${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots .}$$

Степенные ряды можно рассматривать как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются многочленами в строгом смысле.

Формула геометрического ряда , которая верна для , является одним из важнейших примеров степенного ряда, как и формула показательной функции и формула синуса , верные для всех действительных x . Эти степенные ряды являются примерами рядов Тейлора (или, более конкретно, рядов Маклорена ).$${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$${\textstyle |x|<1}$$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$$$${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

Отрицательные степени не допускаются в обычном степенном ряду; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Аналогично, дробные степени, такие как , не допускаются; дробные степени возникают в рядах Пюизе . Коэффициенты не должны зависеть от , поэтому, например, не является степенным рядом.${\textstyle x^{-1}+1+x^{1}+x^{2}+\cdots }$${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$${\textstyle а_{н}}$${\textstyle x}$${\textstyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$

Степенной ряд сходится для некоторых значений переменной x , которые всегда будут включать x = c , так как и сумма ряда, таким образом, для x = c . Ряд может расходиться для других значений x , возможно, для всех из них. Если c не является единственной точкой сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | x – c | < r , и расходится всякий раз, когда | x – c | > r . Число r называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем случае он задается как или, что эквивалентно, Это теорема Коши–Адамара ; см. верхний предел и нижний предел для объяснения обозначений. Соотношение также выполняется, если этот предел существует.${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$${\displaystyle (xc)^{0}=1}$${\displaystyle а_{0}}$$${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$$${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}$$$${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$

Множество комплексных чисел, таких что | x – c | < r , называется кругом сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве круга сходимости.

Для | x – c | = r нет общего утверждения о сходимости ряда. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z такого, что | z – c | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z – c ), где t – действительная переменная, меньшая1, который имеет тенденцию1 .

Когда две функции f и g разлагаются в степенные ряды вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций может быть получен путем почленного сложения и вычитания. То есть, если и тогда$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$$$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}}$$$${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.}$$

Сумма двух степенных рядов будет иметь радиус сходимости, по крайней мере, меньший из двух радиусов сходимости двух рядов, ^[2], но, возможно, больший, чем любой из двух. Например, неверно, что если два степенных ряда и имеют одинаковый радиус сходимости, то также имеет этот радиус сходимости: если и , например, то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3.${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$${\textstyle а_{н}=(-1)^{н}}$${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

При тех же определениях для и степенной ряд произведения и частного функций можно получить следующим образом:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}{\biggr )}(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$$

Последовательность известна как произведение Коши последовательностей и .${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$

Для деления, если определить последовательность с помощью , то можно решить ее рекурсивно для членов, сравнивая коэффициенты.${\displaystyle d_{n}}$$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$$$${\displaystyle f(x)={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}}$$${\displaystyle d_{n}}$

Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов и${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$$${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$$$${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$$

Как только функция задана как степенной ряд, как выше, она дифференцируема на внутренней стороне области сходимости. Она может быть дифференцирована и интегрирована путем рассмотрения каждого члена отдельно, поскольку и дифференциация, и интегрирование являются линейными преобразованиями функций:${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$$

Оба эти ряда имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U множества R или C, называется аналитической , если она локально задана сходящимся степенным рядом. Это означает, что каждый a ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такую, что существует степенной ряд с центром a , который сходится к f ( x ) для каждого x ∈ V .

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции являются комплексно-аналитическими. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в вещественном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n можно вычислить как$${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

где обозначает n-ю производную f в точке c , и . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора .${\displaystyle f^{(n)}(c)}$${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g — две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c ) для всех n ≥ 0 , то f ( x ) = g ( x ) для всех x ∈ U .

Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения ряда, то есть аналитические функции f , которые определены на больших множествах, чем { x | | x − c | < r } и совпадают с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число x с | x − c | = r такое, что никакое аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы обращения Лагранжа .

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого круга может происходить различное поведение. Например:

1. Расходимость, в то время как сумма распространяется до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный , и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма в равна , которая аналитична в каждой точке плоскости, за исключением .${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle |z|<1}$${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$${\displaystyle z=1}$
2. Сходящийся в некоторых точках, расходящийся в других : имеет радиус сходимости . Он сходится при , в то время как он расходится при .${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z=-1}$${\displaystyle z=1}$
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус сходимости , при этом сходится абсолютно и равномерно в каждой точке благодаря М-тесту Вейерштрасса, примененному с гипергармоническим сходящимся рядом .${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. Сходящийся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример ^[3] степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дается теоремой Абеля .${\displaystyle 1}$${\displaystyle |z|=1}$

В абстрактной алгебре делается попытка уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и не говоря о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов , концепции, очень полезной в алгебраической комбинаторике .

Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления . Степенной ряд здесь определяется как бесконечный ряд вида где j = ( j ₁ , …, j _n ) — вектор натуральных чисел, коэффициенты a _{( j 1 , …, j n )} обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = ( c ₁ , …, c _n ) и аргумент x = ( x ₁ , …, x _n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ — это символ произведения , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной нотации это можно записать где — множество натуральных чисел , а также — множество упорядоченных n - кортежей натуральных чисел.$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$$${\displaystyle \Pi }$$${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

Теория таких рядов сложнее, чем для рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример логарифмически выпуклого множества , в том смысле, что множество точек , где лежит в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем смысле можно показать, что при c=0 внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является логарифмически выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как и с обычными степенными рядами. ^[4]${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

Пусть α — мультииндекс для степенного ряда f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) . Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение, такое, что существует α ≠ 0 при , или если _f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f — это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана .${\displaystyle r}$${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \infty }$

• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Степенные ряды", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

• Вайсштейн, Эрик В. «Формальные степенные ряды». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Ряды степеней". MathWorld .
• Степени комплексных чисел, Михаэль Шрайбер, Wolfram Demonstrations Project .