Система дробного порядка

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Fractional-order system" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В области динамических систем и теории управления система дробного порядка — это динамическая система, которая может быть смоделирована дробным дифференциальным уравнением, содержащим производные нецелого порядка . ^[1] Говорят, что такие системы имеют дробную динамику . Производные и интегралы дробных порядков используются для описания объектов, которые могут быть охарактеризованы степенной нелокальностью, ^[2] степенной зависимостью на больших расстояниях или фрактальными свойствами. Системы дробного порядка полезны при изучении аномального поведения динамических систем в физике, электрохимии , биологии, вязкоупругости и хаотических системах . ^[1]

Общую динамическую систему дробного порядка можно записать в виде ^[3]

${\displaystyle H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})}$

где и являются функциями оператора дробной производной порядков и и и являются функциями времени. Обычным частным случаем этого является линейная инвариантная во времени (LTI) система с одной переменной:${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \альфа _{1},\альфа _{2},\ldots,\альфа _{м}}$${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)}$

Порядки и в общем случае являются комплексными величинами, но есть два интересных случая, когда порядки соизмеримы${\displaystyle \альфа _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}}$

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}}$

и когда они также рациональны :

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}}$

Когда , производные имеют целый порядок и система становится обыкновенным дифференциальным уравнением . Таким образом, увеличивая специализацию, системы LTI могут быть общего порядка, соразмерного порядка, рационального порядка или целого порядка.${\displaystyle q=1}$

Применив преобразование Лапласа к системе LTI выше, передаточная функция становится

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}s^{\beta _{k}}}{\sum _{k=0}^{m}a_{k}s^{\alpha _{k}}}}}$

Для общих порядков это нерациональная передаточная функция. Нерациональные передаточные функции не могут быть записаны как разложение в конечном числе членов (например, биномиальное разложение имело бы бесконечное число членов), и в этом смысле можно сказать, что системы дробных порядков имеют потенциал для неограниченной памяти. ^[3]${\displaystyle \альфа _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}}$

Экспоненциальные законы являются классическим подходом к изучению динамики плотности населения, но существует много систем, где динамика подчиняется законам более быстрым или медленным, чем экспоненциальные. В таком случае аномальные изменения в динамике могут быть наилучшим образом описаны функциями Миттаг-Леффлера . ^[4]

Аномальная диффузия — еще одна динамическая система, в которой системы дробного порядка играют важную роль для описания аномального потока в процессе диффузии.

Вязкоупругость — это свойство материала, при котором материал проявляет свою природу между чисто упругой и чистой жидкостью. В случае реальных материалов соотношение между напряжением и деформацией, заданное законом Гука и законом Ньютона, имеет очевидные недостатки. Поэтому GW Scott Blair ввел новое соотношение между напряжением и деформацией, заданное

${\displaystyle \sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.}$^{[ необходима ссылка ]}

В теории хаоса было отмечено, что хаос возникает в динамических системах порядка 3 или более. С введением систем дробного порядка некоторые исследователи изучают хаос в системах общего порядка менее 3. ^[5]

В нейронауке было обнаружено, что отдельные пирамидальные нейроны неокортикальных клеток крысы адаптируются с временной шкалой, которая зависит от временной шкалы изменений в статистике стимула. Эта многомасштабная адаптация согласуется с дробной дифференциацией порядка, так что частота срабатывания нейрона является дробной производной медленно меняющихся параметров стимула. ^[6]

Рассмотрим задачу начального значения дробного порядка :

${\displaystyle {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.}$

Здесь, при условии непрерывности функции f, можно преобразовать приведенное выше уравнение в соответствующее интегральное уравнение.

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{_{0}^{C}D_{t}^{-\alpha }}f(t,x(t))=x_{0}+{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha }}},}$

Можно построить пространство решений и определить с помощью этого уравнения непрерывное отображение себя в пространстве решений, а затем применить теорему о неподвижной точке , чтобы получить неподвижную точку , которая является решением приведенного выше уравнения.

Для численного моделирования решения приведенных выше уравнений Кай Дитхельм предложил дробно-линейный многошаговый метод Адамса–Башфорта или квадратурные методы . ^[7]

• Акустическое затухание
• Дифференциальныйинтеграл
• Дробное исчисление
• Дробный контроль порядка
• Дробный интегратор
• Дробное уравнение Шредингера
• Дробная квантовая механика

^[1]

• Применение дробного исчисления в автоматическом управлении и робототехнике Учебное пособие по дробному исчислению, системам дробного порядка и теории управления дробного порядка.