Дробное исчисление

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , тангенс половинного угла , Эйлера ) Формула Эйлера Простейшие дроби ( метод Хевисайда ) Изменение порядка Формулы редукции Дифференцируем под знаком интеграла алгоритм Риша
Ряд Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Переменный Власть Биномиальный Тейлор Тесты на сходимость Предел слагаемого (тест термина) Соотношение Корень Интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Переменный ряд Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Дивергенция Завиток Лапласиан Направленная производная Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Дивергенция обобщенный Стокса Разложение Гельмгольца
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Экстерьер Геометрический Определения Частичная производная Множественный интеграл Интеграл линии Поверхностный интеграл Интеграл объема якобианский Гессен
Передовой Исчисление в евклидовом пространстве Обобщенные функции Лимит распределений
Специализированный Дробный Маллиавен Стохастический Вариации
Разное Предварительное исчисление История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Математический анализ Нестандартный анализ
в т е

Дробное исчисление — раздел математического анализа , изучающий различные возможности определения действительных степеней чисел или комплексных степеней чисел оператора дифференцирования . ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$

и оператора интегрирования ^{[Примечание 1]}${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$$

и разработка исчисления для таких операторов, обобщающего классическое.

В этом контексте термин « степень» относится к итеративному применению линейного оператора к функции , то есть к многократному составлению с самим собой, как в${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}}$$

Например, можно попросить дать осмысленную интерпретацию$${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}$$

как аналог функционального квадратного корня для оператора дифференциации, то есть выражение для некоторого линейного оператора, который, будучи примененным дважды к любой функции, будет иметь тот же эффект, что и дифференциация . В более общем плане можно рассмотреть вопрос определения линейного оператора$${\displaystyle D^{a}}$$

для каждого действительного числа таким образом, что когда принимает целое значение , оно совпадает с обычным -кратным дифференцированием, если , и с -й степенью, если .${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J}$${\displaystyle n<0}$

Одной из причин введения и изучения подобных расширений оператора дифференцирования является то, что наборы степеней операторов, определенные таким образом, представляют собой непрерывные полугруппы с параметром , исходная дискретная полугруппа которого для целых чисел является счетной подгруппой: поскольку непрерывные полугруппы имеют хорошо развитую математическую теорию, их можно применять и в других разделах математики.${\displaystyle D}$${\displaystyle \{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle n}$

Дробные дифференциальные уравнения , также известные как необычные дифференциальные уравнения, ^[1] представляют собой обобщение дифференциальных уравнений посредством применения дробного исчисления.

В прикладной математике и математическом анализе дробная производная — это производная любого произвольного порядка, действительного или комплексного. Впервые она упоминается в письме, написанном Гийому де Лопиталю Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1695 году. ^[2]  Примерно в то же время Лейбниц написал одному из братьев Бернулли, описав сходство между биномиальной теоремой и правилом Лейбница для дробной производной произведения двух функций. ^{[ необходима цитата ]}

Дробное исчисление было введено в одной из ранних статей Нильса Хенрика Абеля ^[3] , где можно найти все элементы: идею дробного интегрирования и дифференцирования, взаимно обратную связь между ними, понимание того, что дробное дифференцирование и интегрирование можно рассматривать как одну и ту же обобщенную операцию, и единую нотацию для дифференцирования и интегрирования произвольного действительного порядка. ^[4] Независимо от этого, основы предмета были заложены Лиувиллем в статье 1832 года. ^{[5] [6] [7]} Оливер Хевисайд ввел практическое использование дробных дифференциальных операторов в анализе линий электропередачи около 1890 года. ^[8] Теория и приложения дробного исчисления значительно расширились в течение 19-го и 20-го веков, и многочисленные авторы дали различные определения дробным производным и интегралам. ^[9]

Пусть f ( x ) — функция, определенная для x > 0. Образуем определенный интеграл от 0 до x . Назовем это$${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$$

Повторение этого процесса дает$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}}$$

и это может быть расширено произвольно.

Формула Коши для повторного интегрирования , а именно, приводит прямым путем к обобщению для вещественного n : использование гамма-функции для устранения дискретной природы факториальной функции дает нам естественного кандидата для применения дробно-интегрального оператора как$${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$$${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

На самом деле это четко определенный оператор.

Легко показать, что оператор J удовлетворяет условию$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Это соотношение называется полугрупповым свойством дробно- дифференциально-интегральных операторов.

Классическая форма дробного исчисления задается интегралом Римана–Лиувилля , который по сути является тем, что было описано выше. Теория дробного интегрирования для периодических функций (включая, следовательно, «граничное условие» повторения после периода) задается интегралом Вейля . Он определяется на рядах Фурье и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обращался в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичной окружности , интегралы которых равны нулю). Интеграл Римана–Лиувилля существует в двух формах, верхней и нижней. Рассматривая интервал [ a , b ] , интегралы определяются как$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

Где первое справедливо для t > a , а второе справедливо для t < b . ^[10]

Было высказано предположение ^[11] , что интеграл по положительной действительной оси (т.е. ) было бы более уместно назвать интегралом Абеля–Римана, исходя из истории открытия и использования, и в том же духе интеграл по всей действительной оси можно назвать интегралом Лиувилля–Вейля.${\displaystyle a=0}$

Напротив, производная Грюнвальда–Летникова начинается с производной, а не с интеграла.

Дробный интеграл Адамара был введен Жаком Адамаром ^[12] и определяется следующей формулой:$${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Дробный интеграл Атанганы–Балеану непрерывной функции определяется как:$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

К сожалению, сопоставимый процесс для производного оператора D значительно сложнее, но можно показать, что D в общем случае не является ни коммутативным , ни аддитивным . ^[13]

В отличие от классических ньютоновских производных, дробные производные могут быть определены множеством различных способов, которые часто не все приводят к одному и тому же результату даже для гладких функций. Некоторые из них определяются через дробный интеграл. Из-за несовместимости определений часто необходимо явно указывать, какое определение используется.

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Чтобы найти производную порядка α , вычисляется производная порядка n интеграла порядка ( n − α ) , где n — наименьшее целое число, большее α (то есть n = ⌈ α ⌉ ). Дробная производная и интеграл Римана–Лиувилля имеют множество применений, например, в случае решений уравнения в случае множественных систем, таких как системы токамака, и Дробный параметр переменного порядка. ^{[14] [15]} Подобно определениям для интеграла Римана–Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты. ^[16]$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

Другим вариантом вычисления дробных производных является дробная производная Капуто . Она была введена Микеле Капуто в его статье 1967 года. ^[17] В отличие от дробной производной Римана–Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто иллюстрируется следующим образом, где снова n = ⌈ α ⌉ :$${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Существует дробная производная Капуто, определяемая как: которая имеет то преимущество, что равна нулю, когда f ( t ) является постоянной, и ее преобразование Лапласа выражается посредством начальных значений функции и ее производной. Более того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как$${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

где ϕ ( ν ) — весовая функция, которая используется для математического представления наличия множественных формализмов памяти.

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с несингулярным ядром для функции, заданной формулой:${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

где . ^[18]${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

В 2016 году Атангана и Балеану предложили дифференциальные операторы, основанные на обобщенной функции Миттаг-Леффлера . Целью было введение дробных дифференциальных операторов с невырожденным нелокальным ядром. Их дробные дифференциальные операторы приведены ниже в смысле Римана–Лиувилля и смысле Капуто соответственно. Для функции заданной ^[19] [ ^20]${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Если функция непрерывна, то производная Атанганы–Балеану в смысле Римана–Лиувилля определяется выражением:$${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Ядро, используемое в дробной производной Атанганы– Балеану , обладает некоторыми свойствами кумулятивной функции распределения. Например, для всех функция возрастает на вещественной прямой, сходится к в и . Следовательно, мы имеем, что функция является кумулятивной функцией распределения вероятностной меры на положительных вещественных числах. Таким образом, распределение определено, и любое из его кратных называется распределением Миттаг-Леффлера порядка . Также хорошо известно, что все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . В частности, функция Миттаг-Леффлера имеет частный случай , который является экспоненциальной функцией, поэтому распределение Миттаг-Леффлера порядка является экспоненциальным распределением . Однако для распределения Миттаг-Леффлера имеют тяжелый хвост . Их преобразование Лапласа задается выражением:${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle E_{\alpha }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$$${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

Это напрямую подразумевает, что для , ожидание бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрически устойчивыми распределениями .${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

Производная Рисса определяется как$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

где обозначает преобразование Фурье . ^{[21] [22]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Классические дробные производные включают в себя:

• Производная Грюнвальда–Летникова ^{[23] [24]}
• Производная Сонина–Летникова ^[24]
• Производная Лиувилля ^[23]
• Производная Капуто ^[23]
• Производная Адамара ^{[23] [25]}
• Производная Маршо ^[23]
• Производная Рисса ^[24]
• Производная Миллера–Росса ^[23]
• Производная Вейля ^{[26] [27] [23]}
• Производная Эрдели–Кобера ^[23]
• F α {\displaystyle F^{\alpha }} -производная ^[28]

Новые дробные производные включают в себя:

• Производная Коимбры ^[23]
• Производная Катугамполы ^[29]
• Производная Хильфера ^[23]
• Производная Дэвидсона ^[23]
• Производная Чена ^[23]
• производная Капуто Фабрицио ^{[19] [30]}
• Производная Атангана – Балеану ^{[19] [20]}

Производная Коимбры используется для физического моделирования: ^[31] Ряд приложений как в механике, так и в оптике можно найти в работах Коимбры и его коллег, ^{[32] [33] [34] [35] [36] [37] [38],} а также дополнительные приложения к физическим проблемам и численным реализациям, изученным в ряде работ других авторов ^{[39] [40] [41] [42]}

Для${\displaystyle q(t)<1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}^{\mathbb {C} }_{a}\mathbb {D} ^{q(t)}f(t)={\frac {1}{\Gamma [1-q(t)]}}\int _{0^{+}}^{t}(t-\tau )^{-q(t)}{\frac {d\,f(\tau )}{d\tau }}d\tau \,+\,{\frac {(f(0^{+})-f(0^{-}))\,t^{-q(t)}}{\Gamma (1-q(t))}},\end{aligned}}}$$

где нижний предел может быть взят как или , пока он тождественно равен нулю от или до . Обратите внимание, что этот оператор возвращает правильные дробные производные для всех значений и может быть применен либо к самой зависимой функции с переменным порядком формы , либо к независимой переменной с переменным порядком формы .${\displaystyle a}$${\displaystyle 0^{-}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle 0^{-}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle q(f(t))}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle ^{[1]}}$

Производную Коимбры можно обобщить до любого порядка ^[43], что приводит к оператору дифференцирования обобщенного порядка Коимбры (GODO) ^[44]

Для${\displaystyle q(t)<m}$$${\displaystyle {\begin{aligned}^{\mathbb {\quad C} }_{\,\,-\infty }\mathbb {D} ^{q(t)}f(t)={\frac {1}{\Gamma [m-q(t)]}}\int _{0^{+}}^{t}(t-\tau )^{m-1-q(t)}{\frac {d^{m}f(\tau )}{d\tau ^{m}}}d\tau \,+\,\sum _{n=0}^{m-1}{\frac {({\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{+}}-{\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{-}})\,t^{n-q(t)}}{\Gamma [n+1-q(t)]}},\end{aligned}}}$$

где — целое число, большее большего значения для всех значений . Обратите внимание, что второй (суммирующий) член в правой части определения выше можно выразить как ${\displaystyle m}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma [m-q(t)]}}\sum _{n=0}^{m-1}\{[{\frac {d^{n}\!f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{+}}-{\frac {d^{n}\!f(t)}{dt^{n}}}|_{0^{-}}]\,t^{n-q(t)}\prod _{j=n+1}^{m-1}[j-q(t)]\}\end{aligned}}}$$

таким образом, чтобы сохранить знаменатель на положительной ветви гамма- функции ( ) и для простоты численных расчетов.${\displaystyle \Gamma }$

-я производная функции в точке является локальным свойством только тогда, когда является целым числом; это не относится к нецелым производным степеней. Другими словами, нецелая дробная производная от при зависит от всех значений , даже тех, которые далеки от . Поэтому ожидается, что операция дробной производной включает в себя некие граничные условия , включающие информацию о функции дальше. ^[45]${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$

Дробная производная функции порядка в настоящее время часто определяется с помощью интегральных преобразований Фурье или Меллина . ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle a}$

Оператор Эрдейи –Кобера — это интегральный оператор, введенный Артуром Эрдели (1940). ^[46] и Германа Кобера (1940) ^[47] и определяется выражением$${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

который обобщает дробный интеграл Римана–Лиувилля и интеграл Вейля.

В контексте функционального анализа функции f ( D ) более общие, чем степени, изучаются в функциональном исчислении спектральной теории . Теория псевдодифференциальных операторов также позволяет рассматривать степени D . Возникающие операторы являются примерами сингулярных интегральных операторов ; а обобщение классической теории на более высокие размерности называется теорией потенциалов Рисса . Таким образом, существует ряд современных теорий, в рамках которых можно обсуждать дробное исчисление . См. также оператор Эрдейи–Кобера , важный в специальной теории функций (Kober 1940), (Erdélyi 1950–1951).

Как описано Уиткрафтом и Меершартом (2008), ^[48] дробное уравнение сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородности и когда поток внутри контрольного объема нелинейный. В указанной статье дробное уравнение сохранения массы для потока жидкости выглядит следующим образом:$${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

При изучении окислительно-восстановительного поведения субстрата в растворе на поверхность электрода подается напряжение, чтобы вызвать перенос электронов между электродом и субстратом. Результирующий перенос электронов измеряется как ток. Ток зависит от концентрации субстрата на поверхности электрода. По мере потребления субстрата свежий субстрат диффундирует к электроду, как описано законами диффузии Фика . Принимая преобразование Лапласа второго закона Фика, получаем обычное дифференциальное уравнение второго порядка (здесь в безразмерной форме):$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

чье решение C ( x , s ) содержит зависимость в половинной степени от s . Взяв производную от C ( x , s ) и затем обратное преобразование Лапласа, получаем следующее соотношение:$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

которая связывает концентрацию субстрата на поверхности электрода с током. ^[49] Это соотношение применяется в электрохимической кинетике для выяснения механистического поведения. Например, оно использовалось для изучения скорости димеризации субстратов при электрохимическом восстановлении. ^[50]

В 2013–2014 годах Атангана и др. описали некоторые проблемы потока грунтовых вод, используя концепцию производной с дробным порядком. ^{[51] [52]} В этих работах классический закон Дарси обобщается путем рассмотрения потока воды как функции производной нецелого порядка пьезометрического напора. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения потока грунтовых вод.

Это уравнение ^{[ требуется разъяснение ]} было показано полезным для моделирования потока загрязняющих веществ в неоднородных пористых средах. ^{[53] [54] [55]}

Atangana и Kilicman расширили дробное уравнение адвективной дисперсии до уравнения переменного порядка. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием концепции производной вариационного порядка. Модифицированное уравнение было численно решено с помощью метода Кранка–Николсона . Устойчивость и сходимость в численном моделировании показали, что модифицированное уравнение более надежно в прогнозировании движения загрязнения в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целочисленными производными ^[56]

Аномальные диффузионные процессы в сложных средах можно хорошо охарактеризовать, используя модели дробного порядка диффузионного уравнения. ^{[57] [58]} Производный по времени член соответствует долговременному тяжелому хвостовому распаду, а пространственная производная — нелокальности диффузии. Управляющее уравнение дробной диффузии во времени и пространстве можно записать как$${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Простым расширением дробной производной является дробная производная переменного порядка, α и β заменяются на α ( x , t ) и β ( x , t ) . Его применение в моделировании аномальной диффузии можно найти в ссылке. ^{[56] [59] [60]}

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругого демпфирования в определенных типах материалов, таких как полимеры. ^[11]

Обобщение ПИД-регуляторов для использования дробных порядков может увеличить их степень свободы. Новое уравнение, связывающее управляющую переменную u ( t ) с измеренным значением ошибки e ( t ), можно записать как$${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

где α и β — положительные дробные порядки, а K _p , K _i и K _d , все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорциональных , интегральных и производных членов соответственно (иногда обозначаемые P , I и D ). ^[61]

Распространение акустических волн в сложных средах, таких как биологическая ткань, обычно подразумевает затухание, подчиняющееся частотному степенному закону. Этот вид явления может быть описан с помощью уравнения причинно-следственной волны, которое включает дробные производные по времени:$${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

См. также Holm & Näsholm (2011) ^[62] и ссылки в ней. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что множественные явления релаксации приводят к затуханию, измеренному в сложных средах. Эта связь далее описана в Näsholm & Holm (2011b) ^[63] и в обзорной статье ^[64] , а также в статье об акустическом затухании . См. Holm & Nasholm (2013) ^[65] для статьи, в которой сравниваются дробные волновые уравнения, которые моделируют затухание по степенному закону. Эта книга о затухании по степенному закону также охватывает эту тему более подробно. ^[66]

Пандей и Холм придали физический смысл дробным дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретируя дробный порядок в терминах параметров акустических сред, например, в насыщенных жидкостью гранулированных неконсолидированных морских отложениях. ^[67] Интересно, что Пандей и Холм вывели закон Ломница в сейсмологии и закон Наттинга в неньютоновской реологии, используя структуру дробного исчисления. ^[68] Закон Наттинга использовался для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных. ^[67]

Дробное уравнение Шредингера, фундаментальное уравнение дробной квантовой механики, имеет следующий вид: ^{[69] [70]}$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

где решением уравнения является волновая функция ψ ( r , t ) – квантово-механическая амплитуда вероятности для частицы иметь заданный вектор положения r в любой момент времени t , а ħ – приведенная постоянная Планка . Функция потенциальной энергии V ( r , t ) зависит от системы.

Далее, — оператор Лапласа , а D _α — масштабная константа с физической размерностью [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = кг ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , (при α = 2 , для частицы массой m ), а оператор (− ​​ħ ² Δ) ^{α /2} — 3-мерная дробная квантовая производная Рисса, определяемая как${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$$${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

Индекс α в дробном уравнении Шредингера — это индекс Леви, 1 < α ≤ 2 .

Как естественное обобщение дробного уравнения Шредингера, дробное уравнение Шредингера переменного порядка было использовано для изучения дробных квантовых явлений: ^[71]$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$

где — оператор Лапласа , а оператор (− ​​ħ ² Δ) ^{β ( t )/2} — дробная квантовая производная Рисса переменного порядка.${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$

• Акустическое затухание
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Инициализированное дробное исчисление
• Нелокальный оператор

• Система дробного порядка
• Дробное преобразование Фурье
• Функция Прабхакара

• Дебнат, Л. (2004). «Краткое историческое введение в дробное исчисление». Международный журнал математического образования в науке и технике . 35 (4): 487– 501. doi :10.1080/00207390410001686571. S2CID  122198977.

• Миллер, Кеннет С.; Росс, Бертрам, ред. (1993). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-58884-9.
• Самко, С.; Килбас, А.А.; Маричев, О. (1993). Дробные интегралы и производные: теория и приложения . Taylor & Francis Books. ISBN 978-2-88124-864-1.
• Карпинтери, А.; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошных сред . Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4.
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: Введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые их приложения. Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4.
• Тарасов, В. Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред. Nonlinear Physical Science. Springer. doi :10.1007/978-3-642-14003-7. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Ли, Чанпин; Цай, Мин (2019). Теория и численные приближения дробных интегралов и производных. SIAM. doi :10.1137/1.9781611975888. ISBN 978-1-61197-587-1.