Дробный интегратор

В этой статье не указаны источники . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок на источники могут быть оспорены и удалены . Найти источники:  "Дробный интегратор" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

Дробный интегратор или просто дробный интегратор — это интегрирующее устройство, которое вычисляет дробный интеграл или производную (обычно называемую дифференцирующим интегралом ) входного сигнала. Дифференцирование или интегрирование — это действительный или комплексный параметр. Дробный интегратор полезен в дробном управлении , где история контролируемой системы важна для выходного сигнала системы управления.

Дифференциально-интегральная функция ,

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\left(f(x)\right)}$

включает функции дифференцирования и интегрирования целого порядка и допускает непрерывный ряд функций вокруг них. Параметры DifferentIntegral — это a , t и q . Параметры a и t описывают диапазон, в котором вычисляется результат. Параметр DifferentIntegral q может быть любым действительным числом или комплексным числом . Если q больше нуля, DifferentIntegral вычисляет производную. Если q меньше нуля, DifferentIntegral вычисляет интеграл. Интеграл целого порядка можно вычислить как DifferentIntegral Римана–Лиувилля , где вес каждого элемента в сумме — это постоянное единичное значение 1, что эквивалентно сумме Римана . Для вычисления производной целого порядка веса в сумме будут равны нулю, за исключением самых последних точек данных, где (в случае первой единичной производной) вес точки данных в t  − 1 равен −1, а вес точки данных в t равен 1. Сумма точек во входной функции с использованием этих весов дает разницу самых последних точек данных. Эти веса вычисляются с использованием отношений гамма-функции, включающей количество точек данных в диапазоне [ a , t ], и параметра  q .

Цифровые устройства имеют преимущество в том, что они универсальны и не подвержены неожиданным изменениям выходных данных из-за тепла или шума. Однако дискретная природа компьютера не позволяет вычислять всю историю. Должен существовать некоторый конечный диапазон [a,t]. Следовательно, количество точек данных, которые могут быть сохранены в памяти ( N ), определяет самую старую точку данных в памяти, так что значение a никогда не бывает старше N образцов. Эффект заключается в том, что любая история старше a полностью забывается и больше не влияет на вывод.

Решением этой проблемы является приближение Купманса , которое позволяет более изящно забыть старые данные (хотя все еще с экспоненциальным затуханием, а не со степенным затуханием чисто аналогового устройства ).

Аналоговые устройства обладают способностью сохранять историю на более длительных интервалах. Это означает, что параметр a остается постоянным, а t увеличивается.

Ошибок из-за округления , как в случае цифровых устройств, не возникает , но в устройстве могут возникать ошибки из-за утечек , а также неожиданных изменений в поведении, вызванных нагревом и шумом.

Примером интегратора дробного порядка является модификация стандартной схемы интегратора , где конденсатор используется в качестве сопротивления обратной связи на операционном усилителе . Заменив конденсатор на схему RC Ladder , можно получить интегратор половинного порядка, то есть с

${\displaystyle q=-{\frac {1}{2}},}$

может быть построен.

• Анализ сигнала
• ряд Фурье