Область определения

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Ноябрь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В математике поле определения алгебраического многообразия V по сути является наименьшим полем , которому могут принадлежать коэффициенты многочленов , определяющих V. Для заданных многочленов с коэффициентами в поле K может быть неочевидно, существует ли меньшее поле k и другие многочлены, определенные над k , которые все еще определяют V.

Вопрос об области определения является предметом рассмотрения в диофантовой геометрии .

В этой статье k обозначает поле. Алгебраическое замыкание поля обозначается добавлением верхнего индекса «alg», например, алгебраическое замыкание поля k — это k ^alg . Символы Q , R , C , и F _p представляют, соответственно, поле рациональных чисел , поле действительных чисел , поле комплексных чисел и конечное поле , содержащее p элементов. Аффинное n -пространство над полем F обозначается как A ⁿ ( F ).

Результаты и определения, изложенные ниже для аффинных многообразий , можно перенести на проективные многообразия , заменив A ⁿ ( k ^alg ) проективным пространством размерности n  − 1 над k ^alg и потребовав, чтобы все многочлены были однородными .

K - алгебраическое множество - это нулевое множество в A ⁿ ( k ^alg ) подмножества кольца многочленов k [ x ₁ , ...,  x _n ]. K -многообразие - это k -алгебраическое множество, которое неприводимо, т.е. не является объединением двух строго меньших k -алгебраических множеств. K -морфизм - это регулярная функция между k -алгебраическими множествами, коэффициенты определяющих многочленов которых принадлежат k .

Одной из причин рассмотрения нулевого множества в An (k alg), а не в An (k), является то, что для двух различных k-алгебраических множеств X 1 и X 2 пересечения X 1 ∩ ^An ( ^k ) и ^X 2 ∩ An ( k ₎ могут быть _{идентичными} ; фактически _, нулевое множество в ^An ( k ) _любого подмножества k [ ^x 1 , ... , x n ] является нулевым _{множеством} одного  элемента _k [ x 1 , ... , _x n  ^] , _если k не является алгебраически замкнутым.

k -многообразие называется многообразием, если оно абсолютно неприводимо , т.е. не является объединением двух строго меньших k ^alg -алгебраических множеств. Многообразие V определено над k, если каждый многочлен из k ^alg [ x ₁ , ...,  x _n ] , который равен нулю на V, является линейной комбинацией (над k ^alg ) многочленов из k [ x ₁ , ...,  x _n ], которые равны нулю на V . K -алгебраическое множество также является L -алгебраическим множеством для бесконечного числа подполей L поля k ^alg . Поле определения многообразия V — это подполе L поля k ^alg такое, что V является L -многообразием, определенным над L .

Эквивалентно, k -многообразие V является многообразием, определенным над k, тогда и только тогда, когда функциональное поле k ( V ) поля V является регулярным расширением k , в смысле Вейля. Это означает, что каждое подмножество k ( V ) , которое линейно независимо над k , также линейно независимо над k alg ^. Другими словами, эти расширения k линейно дизъюнктны .

Андре Вейль доказал, что пересечение всех полей определения многообразия V само является полем определения. Это дает основание утверждать, что любое многообразие обладает единственным минимальным полем определения.

1. Нулевое множество x ₁ ² +  x ₂ ² является как Q -многообразием, так и Q ^alg -алгебраическим множеством, но не является ни многообразием, ни Q ^alg -многообразием, поскольку оно является объединением Q ^alg -многообразий, определяемых многочленами x ₁  + i x ₂ и x ₁  - i x ₂ .
2. Если F _p ( t ) является трансцендентным расширением F p _, то многочлен x ₁ ^p -  t равен ( x ₁  -  t ^{1/ p} )  ^p в кольце многочленов ( F _p ( t )) ^alg [ x ₁ ]. F _p ( t )-алгебраическое множество V , определяемое x ₁ ^p -  t , является многообразием; оно абсолютно неприводимо, поскольку состоит из одной точки. Но V не определено над F _p ( t ), поскольку V также является нулевым локусом x ₁  -  t ^{1/ p} .
3. Комплексная проективная прямая является проективным R -многообразием. (На самом деле, это многообразие с Q в качестве минимального поля определения.) Рассматривая действительную проективную прямую как экватор на сфере Римана, можно сказать, что покоординатное действие комплексного сопряжения на комплексной проективной прямой меняет местами точки с одинаковой долготой, но противоположными широтами.
4. Проективное R -многообразие W, определяемое однородным многочленом x ₁ ² +  x ₂ ² +  x ₃ ^2, также является многообразием с минимальным полем определения Q . Следующее отображение определяет C -изоморфизм комплексной проективной прямой в W : ( a , b ) → (2 ab ,  a ² - b ² , -i( a ² + b ² )). Отождествляя W со сферой Римана с помощью этого отображения, покоординатное действие комплексного сопряжения на W меняет местами противоположные точки сферы. Комплексная проективная прямая не может быть R -изоморфной W , поскольку у первой есть действительные точки , точки, фиксированные комплексным сопряжением, а у второй - нет.

Одним из преимуществ определения многообразий по сравнению с произвольными полями посредством теории схем является то, что такие определения являются внутренними и свободными от вложений в окружающее аффинное n -пространство.

K -алгебраическое множество — это разделенная и приведенная схема конечного типа над Spec( k ) . K -многообразие — это неприводимое k -алгебраическое множество. K -морфизм — это морфизм между k -алгебраическими множествами, рассматриваемыми как схемы над Spec ( k ).

Для каждого алгебраического расширения L поля k L -алгебраическое множество , ассоциированное с заданным k -алгебраическим множеством V, является послойным произведением схем V  × _{Spec( k )}  Spec( L ). K -многообразие абсолютно неприводимо, если ассоциированное k ^alg -алгебраическое множество является неприводимой схемой; в этом случае k -многообразие называется многообразием . Абсолютно неприводимое k -многообразие определено над k , если ассоциированное k ^alg -алгебраическое множество является приведенной схемой. Поле определения многообразия V - это подполе L поля k ^alg такое, что существует k ∩ L -многообразие W такое, что W × _{Spec( k ∩ L )} Spec( k ) изоморфно V , а конечный объект в категории приведенных схем над W × _{Spec( k ∩ L )} Spec( L ) является L -многообразием, определенным над L .

Аналогично определениям для аффинных и проективных многообразий, k -многообразие — это многообразие, определенное над k, если стебель структурного пучка в общей точке является регулярным расширением k ; кроме того, каждое многообразие имеет минимальное поле определения.

Одним из недостатков схемно-теоретического определения является то, что схема над k не может иметь L -значную точку, если L не является расширением k . Например, рациональная точка (1,1,1) является решением уравнения x ₁  + i x ₂  - (1+i) x ₃ , но соответствующее Q [i]-многообразие V не имеет Spec( Q )-значной точки. Два определения поля определения также расходятся, например, (схемно-теоретическое) минимальное поле определения V есть Q , тогда как в первом определении это было бы Q [i]. Причина этого расхождения в том, что схемно-теоретические определения отслеживают только многочлен, заданный до изменения базиса . В этом примере одним из способов избежать этих проблем является использование Q -многообразия Spec( Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁ ² +  x ₂ ² + 2 x ₃ ² - 2 x ₁ x ₃  - 2 x ₂ x ₃ )), ассоциированное с которым Q [i]-алгебраическое множество является объединением Q [i]-многообразия Spec( Q [i][ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁  + i x ₂  - (1+i) x ₃ )) и его комплексно сопряженного числа.

Абсолютная группа Галуа Gal( k ^alg / k ) множества k естественным образом действует на нуль-локусе в A ⁿ ( k ^alg ) подмножества кольца многочленов k [ x ₁ , ...,  x _n ]. В общем случае, если V является схемой над k (например, k -алгебраическим множеством), Gal( k ^alg / k ) естественным образом действует на V  × _{Spec( k )}  Spec( k ^alg ) посредством своего действия на Spec( k ^alg ).

Когда V — многообразие, определенное над совершенным полем k , схема V может быть восстановлена ​​из схемы V  × _{Spec( k )}  Spec( k ^alg ) вместе с действием Gal( k ^alg / k ) на последней схеме: сечения структурного пучка V на открытом подмножестве U — это в точности сечения структурного пучка V  × _{Spec( k )}  Spec( k ^alg ) на U  × _{Spec( k )}  Spec( k ^{alg ),} вычеты которых постоянны на каждой Gal( k ^alg / k ) -орбите в U  × _{Spec( k )}  Spec( k ^alg ). В аффинном случае это означает, что действие абсолютной группы Галуа на нулевом локусе достаточно для восстановления подмножества k [ x ₁ , ...,  x _n ], состоящего из исчезающих многочленов.

В общем случае этой информации недостаточно для восстановления V. В примере нулевого локуса x ₁ ^p -  t в ( F _p ( t )) ^alg многообразие состоит из одной точки, и поэтому действие абсолютной группы Галуа не может различить, был ли идеал исчезающих многочленов порожден x ₁  -  t ^{1/ p} , x ₁ ^p -  t или, действительно, x ₁  -  t ^{1/ p ,} возведенным в некоторую другую степень p .

Для любого подполя L поля k ^alg и любого L -многообразия V автоморфизм σ поля k ^alg будет изоморфно отображать V на σ( L )-многообразие.

• Фрид, Майкл Д.; Моше Джарден (2005). Полевая арифметика . Springer . стр. 780. doi :10.1007/b138352. ISBN 3-540-22811-X.
  • Терминология в этой статье соответствует терминологии в тексте Фрида и Жардена, которые принимают номенклатуру Вейля для сортов. Ссылка на второе издание здесь также содержит подраздел, предоставляющий словарь между этой номенклатурой и более современной номенклатурой схем.
• Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркхойзер. стр. 256. ISBN 0-8176-3065-1.
  • Кунц занимается строго аффинными и проективными многообразиями и схемами, но в некоторой степени охватывает связь между определениями Вейля для многообразий и определениями Гротендика для схем.
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем . Springer . С.  198–203 . doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
  • Мамфорд посвящает только один раздел книги арифметическим вопросам, таким как область определений, но в нем в полном объеме рассматриваются многие результаты теории схем, изложенные в этой статье.