Целочисленный треугольник

Целочисленный треугольник или целочисленный треугольник — это треугольник, все длины сторон которого являются целыми числами . Рациональный треугольник — это треугольник, длины сторон которого являются рациональными числами ; любой рациональный треугольник можно масштабировать по наименьшему общему знаменателю сторон, чтобы получить аналогичный целочисленный треугольник, поэтому существует тесная связь между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками.

Иногда используются другие определения термина «рациональный треугольник» : Кармайкл (1914) и Диксон (1920) используют этот термин для обозначения геронова треугольника (треугольника с целыми или рациональными длинами сторон и площадью); ^[1] Конвей и Гай (1996) определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах — единственными такими треугольниками являются равносторонние треугольники с рациональными сторонами . ^[2]

Любая тройка положительных целых чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника : самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, который является уникальным с точностью до конгруэнтности . Таким образом, количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с периметром p равно количеству разбиений p на три положительные части, которые удовлетворяют неравенству треугольника. Это целое число, ближайшее к , когда p четно , и к , когда p нечетно . ^{[3] [4]} Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами такое же, как и количество целочисленных треугольников с нечетными периметрами. Таким образом, нет ни одного целочисленного треугольника с периметром 1, 2 или 4, есть один с периметром 3, 5, 6 или 8 и два с периметром 7 или 10. Последовательность количества целочисленных треугольников с периметром p , начиная с , имеет вид :${\displaystyle p^{2}/48}$${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$${\displaystyle p=2n}$${\displaystyle p=2n-3.}$${\displaystyle p=1,}$

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (последовательность A005044 в OEIS )

Это называется последовательностью Алкуина .

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c и целочисленной тройкой равно числу целочисленных троек, таких что и Это целое число ^[3] В качестве альтернативы, для четного c это двойное треугольное число , а для нечетного c это квадрат Это также означает, что число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c − 2 на c . Последовательность числа неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной c , начиная с c  = 1, равна:${\displaystyle (а,б,в)}$${\displaystyle а+б>с}$${\displaystyle a\leq b\leq c.}$${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (последовательность A002620 в OEIS )

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c и целочисленной тройкой ( a ,  b ,  c ), лежащих на или внутри полукруга диаметра c, равно числу целочисленных троек, таких что a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² и a  ≤  b  ≤  c . Это также число тупоугольных или прямоугольных (не острых ) треугольников с целыми сторонами и наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, имеет вид:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя приведенными выше последовательностями дает число остроугольных целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, имеет вид:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (последовательность A247588 в OEIS )

По формуле Герона , если T — площадь треугольника, стороны которого имеют длины a , b и c, то

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Поскольку все члены под знаком радикала в правой части формулы являются целыми числами, то из этого следует, что во всех целочисленных треугольниках 16T ² должно быть целым числом, а T ² будет рациональным.

По закону косинусов , каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус . Каждый угол целочисленного прямоугольного треугольника также имеет рациональный синус (см. Пифагорова тройка ).

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию , то один из его углов должен быть 60°. ^[5] Для целочисленных треугольников оставшиеся углы также должны иметь рациональные косинусы, и метод получения таких треугольников приведен ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которых образуют либо геометрическую , либо гармоническую прогрессию . Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами формы с рациональными Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, и это произойдет только тогда, когда ^{[6] : п.2} т.е. целочисленный треугольник является равносторонним.${\displaystyle \пи п/q}$${\displaystyle 0<p/q<1.}$${\displaystyle p/q=1/3.}$

Квадрат каждой биссектрисы внутреннего угла целочисленного треугольника является рациональным числом, поскольку общая формула треугольника для биссектрисы внутреннего угла A имеет вид где s — полупериметр (и аналогично для биссектрис других углов).${\textstyle 2{\sqrt {bcs(sa)}}{\big /}(b+c)}$

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

Квадрат удвоенной медианы целочисленного треугольника является целым числом, поскольку общая формула для квадрата медианы m _a ^{2 ,} проведенной к стороне a , имеет вид (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ² (и аналогично для медиан к другим сторонам).${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника является рациональным числом, квадрат радиуса описанной окружности также является рациональным числом, как и квадрат радиуса вписанной окружности .

Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности целочисленного треугольника является рациональным числом, равным для полупериметра s и площади T.${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности целочисленного треугольника является рациональным числом, равным${\displaystyle abc{\big }2(a+b+c).}$

Таким образом, квадрат расстояния между центром вписанной окружности и центром описанной окружности целочисленного треугольника, определяемый теоремой Эйлера , является рациональным числом.${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

Геронов треугольник, также известный как треугольник Герона или треугольник Герона , представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью.

Все героновы треугольники можно разместить на решетке, каждая вершина которой находится в точке решетки. ^[7] Более того, если целочисленный треугольник можно разместить на решетке, каждая вершина которой находится в точке решетки, он должен быть героновым.

Каждый геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные ^[8]

${\displaystyle а=n(м^{2}+к^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Полупериметр}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Площадь}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

для целых чисел m , n и k с учетом ограничений:

${\displaystyle \НОД {(м,н,к)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1.}$

Коэффициент пропорциональности, как правило, является рациональным числом , где q = gcd ( a , b , c ) сводит сгенерированный треугольник Герона к его примитиву и масштабирует этот примитив до требуемого размера.${\displaystyle п/д}$${\displaystyle p}$

Пифагоров треугольник является прямоугольным и героновским. Его три целые стороны известны как пифагорова тройка или пифагорова тройка или пифагорова триада . ^[9] Все пифагоровы тройки с гипотенузой , которые являются примитивными (стороны не имеют общего множителя ), могут быть получены с помощью${\displaystyle (а,б,в)}$ ${\displaystyle с}$

${\displaystyle а=м^{2}-н^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle с=м^{2}+н^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Полупериметр}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Площадь}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

где m и n — взаимно простые целые числа, и одно из них четное, причем m  >  n .

Каждое четное число больше 2 может быть катетом пифагорейского треугольника (не обязательно примитивным), потому что если катет задан и мы выбираем в качестве другого катета, то гипотенуза равна . ^[10] По сути, это формула генерации, приведенная выше, с установленным значением 1 и допускающая диапазон от 2 до бесконечности.${\displaystyle а=2м}$${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$${\displaystyle с=м^{2}+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle м}$

Не существует примитивных пифагорейских треугольников с целочисленной высотой из гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна любому основанию, умноженному на соответствующую высоту: удвоенная площадь, таким образом, равна как ab , так и cd , где d — высота из гипотенузы c . Длины трех сторон примитивного треугольника взаимно просты, поэтому находится в полностью приведенной форме; поскольку c не может быть равно 1 для любого примитивного пифагорейского треугольника, d не может быть целым числом.${\displaystyle d=ab/c}$

Однако любой пифагоров треугольник с катетами x ,  y и гипотенузой z может сгенерировать пифагоров треугольник с целочисленной высотой, увеличивая стороны на длину гипотенузы z . Если d — высота, то сгенерированный пифагоров треугольник с целочисленной высотой задается как ^[11]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

Следовательно, все пифагоровы треугольники с катетами a и b , гипотенузой c и целочисленной высотой d от гипотенузы, при этом , которые обязательно удовлетворяют как a ²  +  b ²  = c ² , так и , генерируются ^{[12] [11]}${\displaystyle \НОД(a,b,c,d)=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle с=(м^{2}+н^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Полупериметр}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Площадь}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

для взаимно простых целых чисел m , n, где m  >  n .

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда ^[13] стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/г,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/г,}$

и где g — наибольший общий делитель и${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Все героновы треугольники с B = 2 A генерируются ^[14] либо

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Площадь}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

с целыми числами k , s , r такими, что или${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{align}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Площадь}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{align}}}$

с целыми числами q , u , v такими, что и${\displaystyle v>u}$${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

Ни один из героновских треугольников с B = 2A не является равнобедренным или прямоугольным, поскольку все полученные комбинации углов порождают углы с нерациональными синусами , что дает нерациональную площадь или сторону.

Все равнобедренные героновы треугольники являются разложимыми. Они образуются путем соединения двух конгруэнтных пифагоровых треугольников вдоль любого из их общих катетов таким образом, что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенузами пифагоровых треугольников, а основание равнобедренного треугольника в два раза больше другого пифагорового катета. Следовательно, каждый пифагоров треугольник является строительным блоком для двух равнобедренных героновских треугольников, поскольку соединение может быть вдоль любого катета. Все пары равнобедренных героновских треугольников задаются рациональными кратными ^[15]

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

и

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

для взаимно простых целых чисел u и v , где u > v и u + v нечетны.

Было показано, что геронов треугольник, периметр которого равен четырем простым числам, однозначно связан с простым числом и что простое число сравнимо с или по модулю . ^{[16] [17]} Хорошо известно, что такое простое число можно однозначно разбить на целые числа и такие, что (см. идонеальные числа Эйлера ). Кроме того, было показано, что такие героновы треугольники являются примитивными, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна простому числу, составляющему одну четверть его периметра.${\displaystyle 1}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

Следовательно, все примитивные героновы треугольники, периметр которых равен четырем простым числам, могут быть получены с помощью

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

для целых чисел и таких, что является простым числом.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Более того, факторизация площади такова, где является простым числом. Однако площадь геронова треугольника всегда делится на . Это дает результат, который за исключением случаев, когда и , который дает все другие пары и должны иметь нечетное число, и только одно из них делится на .${\displaystyle 2mnp}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle p=3,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 3}$

Если в героновом треугольнике биссектриса угла , биссектриса угла и биссектриса угла имеют рациональную связь с тремя сторонами, то не только , но также и , и должны быть героновыми углами. А именно, если оба угла и являются героновыми, то , дополнение к , также должно быть героновым углом, так что все три биссектрисы угла являются рациональными. Это также очевидно, если умножить:${\displaystyle w_{a}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle w_{b}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

вместе. А именно, через это получается:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

где обозначает полупериметр, а площадь треугольника.${\displaystyle s}$${\displaystyle J}$

Все героновы треугольники с рациональными биссектрисами генерируются по формуле ^[18]

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

где такие, что${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

где — произвольные целые числа, такие, что${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$и взаимно простые,${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$и взаимно простые.${\displaystyle w}$

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных героновых (непифагорейских) треугольников с целыми радиусами для вписанной и каждой вневписанной окружности . ^{[19] : Теоремы 3 и 4} Семейство разложимых треугольников задается формулой

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

а семейство неразложимых задается формулой

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Существуют тетраэдры , имеющие целочисленный объем и треугольники Герона в качестве граней . Один пример имеет одно ребро 896, противоположное ребро 190, а остальные четыре ребра 1073; две грани имеют площади 436800, а другие две имеют площади 47120, в то время как объем равен 62092800. ^{[9] : стр.107}

Двумерная решетка — это регулярный массив изолированных точек, где если любая точка выбрана в качестве декартовой точки начала координат (0, 0), то все остальные точки находятся в точке ( x, y ), где x и y пробегают все положительные и отрицательные целые числа. Решетчатый треугольник — это любой треугольник, нарисованный в двумерной решетке таким образом, что все вершины лежат в точках решетки. По теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая является либо целым числом, либо полуцелым числом (имеет знаменатель 2). Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он является героновым с целой площадью. ^[20]

Более того, было доказано, что все героновы треугольники можно изобразить как решетчатые треугольники. ^{[21] [22]} Следовательно, целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно изобразить как решетчатый треугольник.

Существует бесконечно много примитивных героновских (непифагорейских) треугольников, которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, вписанным центром и всеми тремя вневписанными центрами в узлах решетки. Два семейства таких треугольников — это те, параметризации которых приведены выше в #героновских треугольниках с целочисленными вписанным и вневписанным радиусами. ^{[19] : Теор. 5}

Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в тех же пропорциях (в обратном порядке), что и стороны. Если x , y и z — три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания размера, и если 2 x  <  z , то z , x  +  y и y  −  x — три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 может быть использован таким образом для формирования наименьшего нетривиального (т. е. неравностороннего) целочисленного автомедианного треугольника с длинами сторон 13, 17 и 7. ^[23]

Следовательно, используя формулу Евклида , которая генерирует примитивные пифагоровы треугольники, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники как

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

с и взаимно простыми и нечетными, и   (если величина внутри знаков абсолютной величины отрицательна) или   (если эта величина положительна) для удовлетворения неравенства треугольника .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию . В частности, так${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Семейство треугольников с целыми сторонами и рациональной биссектрисой угла A задается формулой ^[24]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

с целыми числами .${\displaystyle k>m>0}$

Существует бесконечно много неподобных треугольников , в которых три стороны и биссектрисы каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Существует бесконечно много неподобных треугольников, в которых три стороны и два трисектрисы каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Однако при n > 3 не существует треугольников, в которых три стороны и ( n  – 1) n -сектора каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Некоторые целочисленные треугольники с одним углом при вершине A, имеющие заданный рациональный косинус h / k ( h < 0 или > 0; k > 0), задаются формулой ^[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

где p и q — любые взаимно простые положительные целые числа, такие, что p > qk .

Все целочисленные треугольники с углом 60° имеют углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны: ^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

с взаимно простыми целыми числами m , n и 1 ≤  n  ≤  m или 3 m  ≤  n . Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60° также могут быть получены с помощью ^[27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 <  n  <  m (угол 60° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b , и c на их наибольший общий делитель (например, решение в виде равностороннего треугольника получается путем взятия m = 2 и n = 1 , но это дает a = b = c = 3, что не является примитивным решением). См. также ^{[28] [29]}

Точнее, если , то , иначе . Две разные пары и генерируют одну и ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь наибольший общий делитель 3, поэтому мы не можем избежать дубликатов, просто пропустив этот случай. Вместо этого дубликатов можно избежать, перейдя только к . Нам все равно нужно делить на 3, если наибольший общий делитель равен 3. Единственное решение для при указанных выше ограничениях — это . С этим дополнительным ограничением все тройки могут быть сгенерированы уникальным образом.${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle (m,m-n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m/2}$${\displaystyle n=m/2}$${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$${\displaystyle m=2,n=1}$${\displaystyle n\leq m/2}$

Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, представляющих собой длины сторон треугольника, один из углов которого равен 60 градусам.

Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью ^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с взаимно простыми целыми числами m ,  n с 0 <  n  <  m (угол 120° противолежит стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b , и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для m = 2 и n = 1 — это треугольник со сторонами (3,5,7). См. также. ^{[28] [29]}

Точнее, если , то , иначе . Поскольку наибольшая сторона a может быть сгенерирована только одной парой, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с наибольшим делителем 1 и один раз косвенно с наибольшим делителем 3. Поэтому, чтобы сгенерировать все примитивные тройки уникальным образом, можно просто добавить дополнительное условие. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

Для положительных взаимно простых целых чисел h и k треугольник со следующими сторонами имеет углы , , и , следовательно, два угла в отношении h  : k , а его стороны являются целыми числами: ^[31]${\displaystyle h\alpha }$${\displaystyle k\alpha }$${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

где и p и q — любые взаимно простые целые числа, такие, что .${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

При угле A, противолежащем стороне , и угле B , противолежащем стороне , некоторые треугольники с B  = 2 A генерируются по формуле ^[32]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с целыми числами m , n такими, что 0 <  n  <  m  < 2 n .

Все треугольники с B  = 2 A (целые или нет) удовлетворяют ^[33] ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

Класс эквивалентности подобных треугольников с порождается формулой ^[32]${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

с целыми числами такими , что , где — золотое сечение .${\displaystyle m,n}$${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

Все треугольники с (независимо от того, имеют ли стороны целые числа или нет) удовлетворяют условию${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

Мы можем сгенерировать полный класс эквивалентности подобных треугольников, удовлетворяющих условию B  = 3 A, используя формулы ^[34]

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

где и — целые числа, такие что .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

Все треугольники с B = 3 A (независимо от того, имеют ли они целые стороны или нет) удовлетворяют условию${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональными числами градусов или, что эквивалентно, рациональными дробями полного оборота) — это равносторонний треугольник . ^[2] Это потому, что целочисленные стороны подразумевают три рациональных косинуса по закону косинусов , а по теореме Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ±1/2 или ±1. Единственными из них, дающими угол строго между 0° и 180°, являются значение косинуса 1/2 с углом 60°, значение косинуса –1/2 с углом 120° и значение косинуса 0 с углом 90°. Единственная комбинация трех из них, допускающая многократное использование любого из них и в сумме дающая 180°, — это три угла по 60°.

Известны условия в терминах эллиптических кривых для целочисленного треугольника, при которых отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности равно целому числу N. [ 35 ] [ 36 ^{] В} наименьшем случае, в случае равностороннего треугольника , N = 2. В каждом известном случае, – то есть делится на 8.${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$${\displaystyle N-2}$

Пара треугольников 5-Con — это пара треугольников, которые подобны , но не конгруэнтны и которые имеют три общих угла и две длины сторон. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различные целочисленные стороны (две стороны, появляющиеся в обоих треугольниках, и одна другая сторона в каждом треугольнике) не имеют общих простых множителей, имеют тройки сторон

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$и${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

для положительных взаимно простых целых чисел x и y . Наименьшим примером является пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), сгенерированная x = 2, y = 3.

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту от стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и его кратные являются единственными треугольниками с целыми сторонами в арифметической прогрессии и обладающими свойством дополнительного внешнего угла. ^{[37] [38] [39]} Это свойство гласит, что если угол C тупой и если из B опустить отрезок, пересекающий перпендикуляр AC и продолженный в точке P, то ∠CAB=2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и его кратные являются единственными целочисленными прямоугольными треугольниками, имеющими стороны в арифметической прогрессии. ^[39]
• Треугольник (4, 5, 6) и его кратные являются единственными треугольниками, у которых один угол вдвое больше другого и стороны которых являются целыми числами в арифметической прогрессии. ^[39]
• Треугольник (3, 5, 7) и его кратные являются единственными треугольниками с углом 120° и имеющими целые стороны в арифметической прогрессии. ^[39]
• Единственный целочисленный треугольник с площадью = полупериметру ^[40] имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целочисленные треугольники с площадью = периметру имеют стороны ^{[40] [41]} (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и (9, 10, 17). Из них первые два, но не последние три, являются прямоугольными треугольниками.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами . ^{[9] : стр. 64} Наименьший имеет стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных пифагоровых треугольников не существует. ^[15]
• Единственными примитивными пифагорейскими треугольниками, для которых квадрат периметра равен целому кратному площади, являются (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади, равным 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и с отношением квадрата периметра к площади, равным 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и с отношением квадрата периметра к площади, равным 45. ^[42]
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, которые имеют одинаковый периметр и одинаковую площадь. Единственная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132). ^[43] Не существует пары таких треугольников, если треугольники также должны быть примитивными целочисленными треугольниками. ^[43] Авторы подчеркивают поразительный факт, что второе утверждение может быть доказано элементарным рассуждением (они делают это в своем приложении A), в то время как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

• Треугольник Брахмагупты , геронов треугольник , в котором длины сторон являются последовательными целыми числами.
• Пентагон Роббинса , вписанный пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью
• Эйлеров кирпич , кубоид с целочисленными ребрами и целочисленными диагоналями граней
• Тетраэдр § Целочисленные тетраэдры