Теорема Ван Скутена

Теорема Ван Скутена , названная в честь голландского математика Франса ван Скутена , описывает свойство равносторонних треугольников . Она гласит:

Для равностороннего треугольника с точкой на описанной окружности длина самого длинного из трех отрезков, соединяющих вершины треугольника, равна сумме длин двух других.${\displaystyle \треугольник ABC}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ПА,ПБ,ПК}$${\displaystyle P}$

Теорема является следствием теоремы Птолемея для конциклических четырехугольников . Пусть — длина стороны равностороннего треугольника и самый длинный отрезок прямой. Вершины треугольника вместе с образуют конциклический четырехугольник, и, следовательно, теорема Птолемея дает:${\displaystyle а}$${\displaystyle \треугольник ABC}$${\displaystyle ПА}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\begin{align}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{align}}}$

Разделив последнее уравнение на , получаем теорему Ван Скутена.${\displaystyle а}$

• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . MAA, 2010, ISBN  9780883853481 , стр. 102–103
• Дуг Френч: Преподавание и изучение геометрии . Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , стр. 62–64 
• Раймон Вильоне: Доказательство без слов: Теорема ван Скутена . Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (апрель 2016), стр. 132
• Йожеф Шандор: О геометрии равносторонних треугольников. Forum Geometricorum, том 5 (2005), стр. 107–117

На Wikimedia Commons есть медиафайлы, связанные с теоремой Ван Скутена .

• Теорема Ван Скутена на сайте Cut-the-knot.org