Список неравенств треугольника

В геометрии неравенства треугольников — это неравенства , включающие параметры треугольников , которые справедливы для каждого треугольника или для каждого треугольника, удовлетворяющего определенным условиям. Неравенства задают порядок двух различных значений: они имеют вид «меньше», «меньше или равно», «больше» или «больше или равно». Параметрами в неравенстве треугольника могут быть длины сторон, полупериметр , меры углов , значения тригонометрических функций этих углов, площадь треугольника, медианы сторон, высоты , длины внутренних биссектрис углов от каждого угла до противолежащей стороны, серединные перпендикуляры сторон, расстояние от произвольной точки до другой точки, вписанный радиус , вневписанный радиус , описанный радиус и/или другие величины.

Если не указано иное, в данной статье рассматриваются треугольники на евклидовой плоскости .

Параметры, наиболее часто встречающиеся в неравенствах треугольников:

• длины сторон a , b и c ;
• полупериметр s = ( a  +  b  +  c ) / 2 (половина периметра p ) ;
• меры углов A , B и C углов вершин , противолежащих соответствующим сторонам a , b и c (при этом вершины обозначены теми же символами, что и меры их углов) ;
• значения тригонометрических функций углов;
• площадь T треугольника ;
• медианы m _a , m _b и m _c сторон (каждая из которых представляет собой длину отрезка от середины стороны до противоположной вершины);
• высоты h _a , h _b и h _c (каждая из которых представляет собой длину отрезка, перпендикулярного одной стороне и простирающегося от этой стороны (или, возможно, продолжения этой стороны) до противоположной вершины);
• длины биссектрис внутреннего угла t _a , t _b и t _c (каждая из которых является отрезком от вершины до противоположной стороны и делит угол при вершине пополам);
• серединные перпендикуляры p _a , p _b и p _c сторон (каждая из которых представляет собой длину отрезка, перпендикулярного одной стороне в ее середине и доходящего до одной из других сторон);
• длины отрезков с концом в произвольной точке P плоскости (например, длина отрезка от P до вершины A обозначается PA или AP );
• радиус вписанной окружности r (радиус окружности , вписанной в треугольник и касающейся всех трех сторон), радиусы вневписанной окружности r _a , r _b и r _c (каждый из которых является радиусом вневписанной окружности, касающейся сторон a , b или c соответственно и касающейся продолжений двух других сторон) и радиус описанной окружности R (радиус окружности, описанной вокруг треугольника и проходящей через все три вершины).

Основное неравенство треугольника имеет вид или эквивалентно$${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b}$$$${\displaystyle \max(a,b,c)\leq с.}$$

Кроме того, где значение правой стороны является минимально возможной границей, ^{[1] : стр. 259} приближается асимптотически, поскольку некоторые классы треугольников приближаются к вырожденному случаю нулевой площади. Левое неравенство, которое справедливо для всех положительных a, b, c , является неравенством Несбитта .$${\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}$$

У нас есть

${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$^{[2] : стр.250, №82}

${\displaystyle abc\geq (a+bc)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$^{[1] : стр. 260}

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad }$^{[1] : стр. 261}

${\displaystyle {\sqrt {a+bc}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$^{[1] : стр. 261}

${\displaystyle a^{2}b(ab)+b^{2}c(bc)+c^{2}a(ca)\geq 0.}$^{[1] : стр. 261}

Если угол С тупой (больше 90°), то

${\displaystyle а^{2}+b^{2}<c^{2};}$

если C острый (менее 90°), то

${\displaystyle а^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

Промежуточный случай равенства, когда C — прямой угол, — это теорема Пифагора .

В общем, ^{[2] : стр.1, №74}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$

причем равенство приближается в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180°.

Если центр тяжести треугольника находится внутри вписанной окружности треугольника , то ^{[3] : стр. 153}

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$

Эквивалентно, если образуют стороны треугольника и центр тяжести треугольника находится внутри вписанной окружности, то уравнение не имеет действительных корней.${\displaystyle а,б,в}$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

Хотя все вышеприведенные неравенства верны, поскольку a , b и c должны следовать основному неравенству треугольника, согласно которому самая длинная сторона меньше половины периметра, следующие соотношения справедливы для всех положительных a , b и c : ^{[1] : стр.267}

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}}\leq {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}},}$

каждое из них выполняется с равенством только когда a = b = c . Это говорит о том, что в неравностороннем случае гармоническое среднее сторон меньше их геометрического среднего , которое, в свою очередь, меньше их арифметического среднего , которое, в свою очередь, меньше их квадратичного среднего .

${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$ ^{[1] : стр. 286}

${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$^{[2] : стр.21, №836}

${\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

для полупериметра s , с равенством только в равностороннем случае. ^{[2] : стр.13, №608}

${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$ ^{[4] : Теория 1}

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$ ^{[1] : стр.286}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$ ^{[1] : стр. 286}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$ ^{[5] : стр. 203}

${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi}$^{[2] : стр.149, №3297}

где золотое сечение .${\displaystyle \varphi = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}$ ^{[1] : стр. 286}

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}$ ^{[1] : стр. 286}

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$ ^[6]

${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$^{[2] : стр.187, №309.2}

Для радиуса описанной окружности R и вписанной окружности r имеем

${\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине больше или равным 60°; ^{[7] : Кор. 3} и

${\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине меньше или равным 60°. ^{[7] : Кор. 3}

У нас также есть

${\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}$

и аналогично для углов B, C , с равенством в первой части, если треугольник равнобедренный и угол при вершине не менее 60°, и равенством во второй части тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный и угол при вершине не более 60°. ^{[7] : Предложение 5}

Далее, любые две угловые меры A и B противоположных сторон a и b соответственно связаны согласно ^{[1] : стр. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}$

что связано с теоремой о равнобедренном треугольнике и ее обратной теоремой, которые утверждают, что A = B тогда и только тогда, когда a = b .

По теореме Евклида о внешнем угле любой внешний угол треугольника больше любого из внутренних углов при противоположных вершинах: ^{[1] : стр. 261}

${\displaystyle 180^{\circ }-A>\max(B,C).}$

Если точка D находится внутри треугольника ABC , то

${\displaystyle \angle BDC>\angle A.}$^{[1] : стр. 263}

Для остроугольного треугольника имеем ^{[2] : стр.26, №954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

причем для тупоугольного треугольника справедливо обратное неравенство.

Кроме того, для нетупоугольных треугольников имеем ^{[8] : Следствие 3}

${\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)}$

с равенством тогда и только тогда, когда это прямоугольный треугольник с гипотенузой AC.

Неравенство Вейценбека в терминах площади T имеет вид ^{[1] : стр. 290}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$

с равенством только в равностороннем случае. Это следствие неравенства Хадвигера –Финслера , которое

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

Также,

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[9] : стр. 138}

и ^{[2] : стр.192, №340.3  [5] : стр.204}

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

Из самой правой верхней границы T , используя неравенство среднего арифметико-геометрического , получаем изопериметрическое неравенство для треугольников :

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}}$ ^{[5] : стр. 203}

для полупериметра s . Иногда это выражается в терминах периметра p как

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

с равенством для равностороннего треугольника . ^[10] Это усиливается

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

Неравенство Боннесена также усиливает изопериметрическое неравенство:

${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}$

У нас также есть

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$ ^{[1] : стр. 290  [9] : стр. 138}

с равенством только в равностороннем случае;

${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$^{[2] : стр.111, №2807}

для полупериметра s ; и

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$^{[2] : стр.88, №2188}

Неравенство Оно для остроугольных треугольников (треугольников, у которых все углы меньше 90°) имеет вид

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

Площадь треугольника можно сравнить с площадью вписанной окружности :

${\displaystyle {\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

с равенством только для равностороннего треугольника. ^[11]

Если внутренний треугольник вписан в базовый треугольник так, что вершины внутреннего треугольника делят периметр базового треугольника на отрезки равной длины, то отношение их площадей ограничено ^{[9] : стр. 138}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Пусть внутренние биссектрисы углов A , B и C пересекают противоположные стороны в точках D , E и F. Тогда ^{[2] : стр.18, #762}

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

Линия, проходящая через медиану треугольника, делит площадь таким образом, что отношение меньшей части площади к площади исходного треугольника составляет не менее 4/9. ^[12]

Три медианы треугольника соединяют вершину с серединой противоположной стороны, а сумма их длин удовлетворяет ^{[1] : стр. 271}${\displaystyle m_{a},\,m_{b},\,m_{c}}$

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

Более того, ^{[2] : стр.12, №589}

${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

с равенством только в равностороннем случае и для вписанного радиуса r , ^{[2] : стр.22, №846}

${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}$

Если мы далее обозначим длины медиан, продолженных до их пересечения с описанной окружностью, как M _a , M _b и M _c , то ^{[2] : стр.16, № 689}

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}$

Центроид G является пересечением медиан. Пусть AG , BG и CG пересекают описанную окружность в точках U , V и W соответственно. Тогда оба ^[2] : ^{стр.17#723}

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

и

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

кроме того, ^{[2] : стр.156, #S56}

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$

Для остроугольного треугольника имеем ^{[2] : стр.26, №954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

относительно радиуса описанной окружности R , тогда как для тупоугольного треугольника справедливо противоположное неравенство.

Обозначая как IA, IB, IC расстояния инцентра от вершин, справедливо следующее: ^{[2] : стр.192, #339.3}

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.}$

Три медианы любого треугольника могут образовывать стороны другого треугольника: ^{[13] : стр. 592}

${\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.}$

Кроме того, ^{[14] : Coro. 6}

${\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

Высоты h _a и т. д. каждая соединяет вершину с противоположной стороной и перпендикулярны этой стороне. Они удовлетворяют обоим ^{[1] : стр. 274}

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

и

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Кроме того, если то ^{[2] : 222, #67}${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

У нас также есть ^{[2] : стр.140, №3150}

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}$

Для внутренних биссектрис угла t _a , t _b , t _c из вершин A, B, C и центра описанной окружности R и вписанного центра r имеем ^{[2] : стр.125, #3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

Обратные величины высот любого треугольника сами могут образовать треугольник: ^[15]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

Внутренние биссектрисы углов — это отрезки внутри треугольника, идущие от одной вершины к противоположной стороне и делящие угол при вершине на два равных угла. Биссектрисы углов t _a и т. д. удовлетворяют

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

с точки зрения сторон, и

${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$

в терминах высот и медиан, а также для t _b и t _c . ^{[1] : стр. 271–3} Далее, ^{[2] : стр. 224, № 132}

${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

в терминах медиан, и ^{[2] : стр.125, №3005}

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$

в терминах высот, вписанного радиуса r и описанного радиуса R.

Пусть T _a , T _b , и T _c — длины биссектрис, продолженных до описанной окружности. Тогда ^{[2] : стр.11, #535}

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

с равенством только в равностороннем случае, и ^{[2] : стр.14, №628}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$

для описанного радиуса R и вписанного радиуса r , снова с равенством только в равностороннем случае. Кроме того,. ^{[2] : стр.20, #795}

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$

Для инцентра I (пересечение биссектрис внутреннего угла), ^{[2] : стр.127, №3033}

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$

Для средних точек L, M, N сторон, ^{[2] : стр.152, #J53}

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

Для инцентра I , центроида G , центра описанной окружности O , центра девяти точек N и ортоцентра H для неравносторонних треугольников имеем неравенства расстояний ^{[16] : стр.232}

${\displaystyle IG<HG,}$

${\displaystyle IH<HG,}$

${\displaystyle IG<IO,}$

и

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

и у нас есть угловое неравенство ^{[16] : стр.233}

${\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}$

Кроме того, ^{[16] : стр.233, Лемма 3}

${\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}$

где v — самая длинная медиана.

Три треугольника с вершиной во вписанном центре, OIH , GIH и OGI , являются тупоугольными: ^{[16] : стр.232}

${\displaystyle \angle OIH}$> > 90° , > 90°.${\displaystyle \angle GIH}$${\displaystyle \angle OGI}$

Так как эти треугольники имеют указанные тупые углы, то имеем

${\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},}$

и на самом деле второй из них эквивалентен результату, более сильному, чем первый, показанный Эйлером : ^{[17] [18]}

${\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}$

Больший из двух углов треугольника имеет меньшую внутреннюю биссектрису: ^{[19] : стр.72, №114}

${\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}$

Эти неравенства имеют дело с длинами p _a и т. д. внутренних частей треугольника серединных перпендикуляров сторон треугольника. Обозначая стороны так, что имеем ^[20]${\displaystyle a\geq b\geq c,}$

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

и

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

Рассмотрим любую точку P внутри треугольника, причем вершины треугольника обозначены как A , B и C , а длины отрезков обозначены как PA и т.д. Имеем ^{[1] : стр. 275–7}

${\displaystyle 2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,}$

и сильнее, чем второе из этих неравенств: ^{[1] : стр. 278} Если — самая короткая сторона треугольника, то${\displaystyle AB}$

${\displaystyle PA+PB+PC\leq AC+BC.}$

У нас также есть неравенство Птолемея ^{[2] : стр.19, №770}

${\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB}$

для внутренней точки P и аналогично для циклических перестановок вершин.

Если мы проведем перпендикуляры из внутренней точки P к сторонам треугольника, пересекая стороны в точках D , E и F , то получим ^{[1] : стр. 278}

${\displaystyle PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).}$

Далее, неравенство Эрдеша–Морделла утверждает, что ^{[21] [22]}

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2}$

с равенством в равностороннем случае. Более строго, неравенство Барроу утверждает, что если внутренние биссектрисы углов во внутренней точке P (а именно, ∠ APB , ∠ BPC и ∠ CPA ) пересекают стороны треугольника в точках U , V и W , то ^[23]

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.}$

Также сильнее неравенства Эрдёша–Морделла является следующее: ^[24] Пусть D, E, F — ортогональные проекции P на BC, CA, AB соответственно, а H, K, L — ортогональные проекции P на касательные к описанной окружности треугольника в точках A, B, C соответственно. Тогда

${\displaystyle PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}$

При ортогональных проекциях H, K, L из P на касательные к описанной окружности треугольника в точках A, B, C соответственно имеем ^[25]

${\displaystyle {\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq {\frac {1}{R}}}$

где R — радиус описанной окружности.

Снова с расстояниями PD, PE, PF внутренней точки P от сторон мы имеем следующие три неравенства: ^{[2] : стр.29, #1045}

${\displaystyle {\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{PD\cdot PE}}\geq 12;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD\cdot PE}}}\geq 6;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.}$

Для внутренней точки P с расстояниями PA, PB, PC от вершин и с площадью треугольника T , ^{[2] : стр.37, #1159}

${\displaystyle (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T}$

и ^{[2] : стр.26, №965}

${\displaystyle {\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.}$

Для внутренней точки P , центра масс G , середин L, M, N сторон и полупериметра s , ^{[2] : стр.140, №3164  [2] : стр.130, №3052}

${\displaystyle 2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).}$

Более того, для положительных чисел k ₁ , k ₂ , k ₃ и t с t меньше или равно 1: ^{[26] : Теория 1}

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t}{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),}$

в то время как для t > 1 имеем ^{[26] : Теор.2}

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).}$

Существуют различные неравенства для произвольной внутренней или внешней точки плоскости относительно радиуса r вписанной окружности треугольника. Например, ^{[27] : стр. 109}

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 6r.}$

Другие включают: ^{[28] : стр. 180–1}

${\displaystyle PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}}$

для к = 0, 1, ..., 6;

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};}$

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};}$

и

${\displaystyle PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4}}$

для к = 0, 1, ..., 9.

Кроме того, для описанного радиуса R ,

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};}$^{[29] : стр. 227}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};}$^{[29] : стр. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};}$^{[29] : стр. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.}$^{[29] : стр. 233}

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центроид, а D , E и F — середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC :

${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$^[30]

Неравенство Эйлера для радиуса описанной окружности R и радиуса вписанной окружности r гласит, что

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}$

с равенством только в равностороннем случае. ^{[31] : стр. 198}

Более сильная версия ^{[5] : стр.} 198

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

Для сравнения, ^{[2] : стр.183, №276.2}

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

где правая сторона может быть положительной или отрицательной.

Два других уточнения неравенства Эйлера: ^{[2] : стр.134, №3087}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2}$

и

${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.}$

Другое симметричное неравенство: ^{[2] : стр.125, №3004}

${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right).}$

Более того,

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}$^{[1] : 288}

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}$

в терминах полупериметра s ; ^{[2] : стр.20, №816}

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$

в терминах площади T ; ^{[5] : стр. 201}

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$ ^{[5] : стр. 201}

и

${\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}$ ^{[2] : стр.17#708}

в терминах полупериметра s ; и

${\displaystyle {\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\\&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}}$

также в терминах полупериметра. ^{[5] : стр. 206  [7] : стр. 99} Здесь выражение , где d — расстояние между вписанным центром и описанным центром. В последнем двойном неравенстве первая часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не менее 60°, а последняя часть выполняется с равенством тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный с углом при вершине не более 60°. Таким образом, оба являются равенствами тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний. ^{[7] : Теор. 1}${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-2Rr}}=d}$

Мы также имеем для любой стороны [ ^32]

${\displaystyle (R-d)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2}}{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{2},}$

где если центр описанной окружности находится на вписанной окружности или вне ее и если центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности. Центр описанной окружности находится внутри вписанной окружности тогда и только тогда, когда ^[32]${\displaystyle Q=R^{2}}$${\displaystyle Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R-d)^{2}-r^{2}}{(R-d)^{4}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}$

Дальше,

${\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.}$^{[1] : стр. 291}

Неравенство Бландона утверждает, что ^{[5] : стр. 206,   [33] [34]}

${\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}$

Мы также имеем для всех остроугольных треугольников ^[35]

${\displaystyle s>2R+r.}$

Для центра вписанной окружности I пусть AI , BI и CI выходят за пределы I, пересекая описанную окружность в точках D , E и F соответственно. Тогда ^{[2] : стр.14, № 644}

${\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}$

В терминах углов при вершине имеем ^{[2] : стр.193, №342.6}

${\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Обозначим как танрадиусы треугольника. Тогда ^{[36] : Теория 4}${\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}}$

${\displaystyle {\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}$

с равенством только в равностороннем случае, и ^[37]

${\displaystyle {\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r}$

с равенством только в равностороннем случае.

Для радиуса описанной окружности R имеем ^{[2] : стр.101, #2625}

${\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}$

и ^{[2] : стр.35, №1130}

${\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}$

У нас также есть ^{[1] : стр. 287–90}

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}$

${\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}$

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

с точки зрения высот,

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}$

в терминах медиан, и ^{[2] : стр.26, №957}

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}}$

с точки зрения площади.

Более того, для центра описанной окружности O пусть прямые AO , BO и CO пересекают противоположные стороны BC , CA и AB в точках U , V и W соответственно. Тогда ^{[2] : стр.17, #718}

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$

Для остроугольного треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет ^{[2] : стр.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

причем для тупоугольного треугольника справедливо противоположное неравенство.

Радиус описанной окружности по крайней мере вдвое больше расстояния между первой и второй точками Брокара B ₁ и B ₂ : ^[38]

${\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}$

Для вписанного радиуса r имеем ^{[1] : стр. 289–90}

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r}},}$

${\displaystyle 9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}}$

с точки зрения высот и

${\displaystyle {\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r}$

в терминах радиусов вневписанных окружностей. Кроме того, мы имеем

${\displaystyle {\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+r_{b}+r_{c})}$^{[2] : стр.66, №1678}

и

${\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}}+{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}$^{[2] : стр.183, №281.2}

Внешние радиусы и медианы связаны соотношением ^{[2] : стр.66, №1680}

${\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}$

Кроме того, для остроугольного треугольника расстояние между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет ^{[2] : стр.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Также остроугольный треугольник удовлетворяет ^{[2] : стр.26, №954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

в терминах радиуса описанной окружности R , опять же с обратным неравенством, справедливым для тупоугольного треугольника.

Если внутренние биссектрисы углов A , B , C пересекают противоположные стороны в точках U , V , W, то ^{[2] : стр.215, 32-й ИМО, №1}

${\displaystyle {\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}$

Если внутренние биссектрисы угла, проходящие через инцентр I, продолжим до пересечения с описанной окружностью в точках X , Y и Z , то ^{[2] : стр.181, № 264.4}

${\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}$

для описанной окружности R , и ^{[2] : стр.181, #264.4  [2] : стр.45, #1282}

${\displaystyle 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).}$

Если вписанная окружность касается сторон в точках D , E , F , то ^{[2] : стр.115, №2875}

${\displaystyle EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}}$

для полупериметра s .

Если тангенциальный шестиугольник образован путем проведения трех отрезков, касающихся вписанной окружности треугольника и параллельных его стороне, так что шестиугольник вписывается в треугольник, а его другие три стороны совпадают с частями сторон треугольника, то ^{[2] : стр.42, № 1245}

${\displaystyle {\text{Perimeter of hexagon}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Perimeter of triangle}}).}$

Если три точки D, E, F на соответствующих сторонах AB, BC и CA треугольника ABC являются вершинами вписанного треугольника, который тем самым разбивает треугольник на четыре треугольника, то площадь вписанного треугольника больше площади по крайней мере одного из других внутренних треугольников, если только вершины вписанного треугольника не находятся в серединах сторон треугольника (в этом случае вписанный треугольник является срединным треугольником, и все четыре внутренних треугольника имеют равные площади): ^{[9] : стр.137}

${\displaystyle {\text{Area(DEF)}}\geq \min({\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).}$

Остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата , у каждого из которых одна сторона совпадает с частью стороны треугольника, а две другие вершины квадрата находятся на оставшихся двух сторонах треугольника. (В прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата.) Если один из этих квадратов имеет длину стороны x _a , а другой имеет длину стороны x _b, причем x _a < x _b , то ^{[39] : стр. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Более того, для любого квадрата, вписанного в любой треугольник, имеем ^{[2] : стр.18, №729  [39]}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.}$

Линия Эйлера треугольника проходит через его ортоцентр , центр описанной окружности и центроид , но не проходит через его вписанный центр, если только треугольник не равнобедренный . ^{[16] : стр. 231} Для всех неравнобедренных треугольников расстояние d от вписанного центра до линии Эйлера удовлетворяет следующим неравенствам относительно самой длинной медианы треугольника v , его самой длинной стороны u и его полупериметра s : ^{[16] : стр. 234, Предложение 5}

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

Для всех этих соотношений верхняя граница 1/3 является наиболее точной из возможных. ^{[16] : стр.235, Теория 6}

В прямоугольных треугольниках катеты a и b, а также гипотенуза c подчиняются следующим соотношениям, причем равенство имеет место только в случае равнобедренного треугольника: ^{[1] : стр. 280}

${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

В терминах вписанного радиуса гипотенуза подчиняется ^{[1] : стр. 281}

${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$

а в отношении высоты от гипотенузы катеты подчиняются ^{[1] : стр. 282}

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {a+b}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Если две равные стороны равнобедренного треугольника имеют длину a, а другая сторона имеет длину c , то внутренняя биссектриса угла t, проведенная из одной из двух равноугольных вершин, удовлетворяет условию ^{[2] : стр.169, № 44 ${\displaystyle \eta }$}

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$