Треугольник Герона

В геометрии геронов треугольник ( или треугольник Герона ) — это треугольник , у которого длины сторон a , b и c , а также площадь A являются положительными целыми числами . ^{[1] [2]} Героновы треугольники названы в честь Герона Александрийского , на основе их связи с формулой Герона , которую Герон продемонстрировал на примере треугольника со сторонами 13, 14, 15 и площадью 84. ^[3 ]

Формула Герона подразумевает, что героновы треугольники являются в точности положительными целыми решениями диофантова уравнения

${\displaystyle 16\,A^{2}=(a+b+c)(a+bc)(b+ca)(c+ab);}$

то есть длины сторон и площадь любого геронова треугольника удовлетворяют уравнению, и любое положительное целочисленное решение уравнения описывает геронов треугольник. ^[4]

Если длины трех сторон взаимно просты (то есть наибольший общий делитель всех трех сторон равен 1), то треугольник Герона называется примитивным .

Треугольники, длины сторон и площади которых являются рациональными числами (положительные рациональные решения приведенного выше уравнения), иногда также называются героновыми треугольниками или рациональными треугольниками ; ^[5] в этой статье эти более общие треугольники будут называться рациональными героновыми треугольниками . Каждый (целый) героновый треугольник является рациональным героновым треугольником. И наоборот, каждый рациональный героновый треугольник подобен ровно одному примитивному героновому треугольнику.

В любом рациональном героновом треугольнике три высоты , радиусы описанной окружности , вписанной окружности и вневписанной окружности , а также синусы и косинусы трех углов также являются рациональными числами.

Масштабирование треугольника с коэффициентом s состоит в умножении длин его сторон на s ; это умножает площадь на и производит подобный треугольник. Масштабирование рационального геронова треугольника с рациональным коэффициентом производит другой рациональный геронов треугольник.${\displaystyle s^{2}}$

Если задан рациональный геронов треугольник с длинами сторон, то масштабный коэффициент дает рациональный геронов треугольник, длины сторон которого являются взаимно простыми целыми числами . Ниже доказано, что площадь A является целым числом, и, таким образом, треугольник является героновым треугольником. Такой треугольник часто называют примитивным героновым треугольником.${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$${\textstyle а,б,в}$

Подводя итог, можно сказать, что каждый класс подобия рациональных героновских треугольников содержит ровно один примитивный геронов треугольник. Побочным продуктом доказательства является то, что ровно одна из длин сторон примитивного героновского треугольника является четным целым числом.

Доказательство: Нужно доказать, что если длины сторон рационального геронова треугольника являются взаимно простыми целыми числами, то площадь A также является целым числом и ровно одна из длин сторон является четной.${\textstyle а,б,в}$

Диофантово уравнение, приведенное во введении, сразу показывает, что является целым числом. Его квадратный корень также является целым числом, поскольку квадратный корень из целого числа является либо целым числом, либо иррациональным числом .${\displaystyle 16A^{2}}$${\displaystyle 4A}$

Если длина хотя бы одной из сторон четная, то все множители в правой части уравнения четные, и, разделив уравнение на 16 , получаем это и являющиеся целыми числами.${\displaystyle А^{2}}$${\displaystyle А}$

Поскольку предполагается, что длины сторон взаимно просты, остается случай, когда одна или три длины сторон нечетны. Предположим, что c нечетно, правую часть диофантова уравнения можно переписать

${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(ab)^{2}),}$

с и четными. Так как квадрат нечетного целого числа сравним по модулю 4 , правая часть уравнения должна быть сравнима по модулю 4. Таким образом, невозможно, чтобы существовало решение диофантова уравнения, так как должно быть квадратом целого числа, а квадрат целого числа сравним с 0 или 1 по модулю 4 .${\displaystyle а+б}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 16A^{2}}$

Любой пифагоров треугольник является героновским треугольником. Длины сторон такого треугольника являются целыми числами по определению. В любом таком треугольнике одна из двух более коротких сторон имеет четную длину, поэтому площадь (произведение этих двух сторон, деленное на два) также является целым числом.

Примерами героновых треугольников, которые не являются прямоугольными, являются равнобедренные треугольники, полученные путем соединения пифагорейского треугольника и его зеркального отображения вдоль стороны прямого угла. Начиная с пифагорейской тройки 3, 4, 5, это дает два героновых треугольника с длинами сторон (5, 5, 6) и (5, 5, 8) и площадью 12 .

В более общем случае, если даны две пифагоровы тройки и наибольшие элементы c и e , можно соединить соответствующие треугольники по сторонам длиной a (см. рисунок) и получить геронов треугольник с длинами сторон и площадью (это целое число, поскольку площадь пифагорова треугольника является целым числом).${\displaystyle (а,б,в)}$${\displaystyle (а,г,д)}$${\displaystyle c,e,b+d}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}a(b+d)}$

Существуют героновы треугольники, которые нельзя получить, соединив пифагорейские треугольники. Например, геронов треугольник с длинами сторон и площадью 72, так как ни одна из его высот не является целым числом. Такие героновы треугольники известны как неразложимые . ^[6] Однако каждый геронов треугольник может быть построен из прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон, и, таким образом, он похож на разложимый геронов треугольник. Фактически, по крайней мере одна из высот треугольника находится внутри треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника. Эти треугольники имеют рациональные стороны, так как косинус и синус углов геронова треугольника являются рациональными числами, и, с обозначением фигуры, можно иметь и где - самый левый угол треугольника.${\displaystyle 5,29,30}$${\displaystyle a=c\sin \альфа}$${\displaystyle b=c\cos \альфа,}$${\displaystyle \альфа}$

Многие величины, относящиеся к геронову треугольнику, являются рациональными числами. В частности:

• Все высоты геронова треугольника рациональны. ^[7] Это можно увидеть из того факта, что площадь треугольника равна половине одной стороны, умноженной на его высоту с этой стороны, а геронов треугольник имеет целые стороны и площадь. Некоторые героновы треугольники имеют три нецелые высоты, например, острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой геронов треугольник с одной или несколькими нецелыми высотами можно увеличить на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить аналогичный геронов треугольник с тремя целыми высотами.
• Все внутренние перпендикулярные серединные перпендикуляры геронова треугольника рациональны: для любого треугольника они задаются соотношением и , где стороны a ≥ b ≥ c, а площадь равна A ; ^[8] в героновом треугольнике все a , b , c и A являются целыми числами.${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$
• Каждый внутренний угол геронова треугольника имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади Площадь = (1/2) ab sin C , в которой площадь и стороны a и b являются целыми числами, и то же самое для других внутренних углов.
• Каждый внутренний угол геронова треугольника имеет рациональный косинус. Это следует из закона косинусов , c ² = a ² + b ² − 2 ab cos C , в котором стороны a , b , и c являются целыми числами, и то же самое для других внутренних углов.
• Поскольку все внутренние углы героновых треугольников имеют рациональные синусы и косинусы, это означает, что тангенс, котангенс, секанс и косеканс каждого внутреннего угла либо рациональны, либо бесконечны.
• Половина каждого внутреннего угла имеет рациональный тангенс, поскольку tan C /2 = sin C / (1 + cos C ) , и то же самое для других внутренних углов. Знание этих значений тангенса половинного угла достаточно для реконструкции длин сторон примитивного геронова треугольника (см. ниже).
• Для любого треугольника угол, охватываемый стороной, если смотреть из центра описанной окружности , в два раза больше внутреннего угла вершины треугольника, противоположной стороне. Поскольку тангенс половинного угла для каждого внутреннего угла геронова треугольника является рациональным, отсюда следует, что тангенс четвертьугольного угла каждого такого центрального угла геронова треугольника является рациональным. (Кроме того, тангенсы четвертьугольного угла рациональны для центральных углов четырехугольника Брахмагупты , но является нерешенной проблемой, верно ли это для всех пятиугольников Роббинса .) Обратное верно для всех циклических многоугольников в целом; если все такие центральные углы имеют рациональные тангенсы для своих четвертных углов, то циклический многоугольник можно масштабировать так, чтобы одновременно иметь целочисленную площадь, стороны и диагонали (соединяющие любые две вершины).
• Не существует героновых треугольников, три внутренних угла которых образуют арифметическую прогрессию. Это потому, что все плоские треугольники с внутренними углами в арифметической прогрессии должны иметь один внутренний угол в 60°, который не имеет рационального синуса. ^[9]
• Любой квадрат, вписанный в геронов треугольник, имеет рациональные стороны: для обычного треугольника вписанный квадрат со стороной длины a имеет длину , где A — площадь треугольника; ^[10] в героновом треугольнике A и a являются целыми числами.${\displaystyle {\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}}$
• Каждый геронов треугольник имеет рациональный радиус вписанной в него окружности: для обычного треугольника радиус вписанной окружности равен отношению площади к половине периметра, и обе эти величины рациональны в героновом треугольнике.
• Каждый геронов треугольник имеет рациональный радиус описанной окружности (радиус описанной окружности): для обычного треугольника радиус описанной окружности равен одной четвертой произведения сторон, деленного на площадь; в героновом треугольнике стороны и площадь являются целыми числами.
• В героновом треугольнике расстояние от центра тяжести до каждой стороны рационально, потому что для всех треугольников это расстояние равно отношению удвоенной площади к утроенной длине стороны. ^[11] Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с героновскими треугольниками, барицентрические координаты которых являются рациональными отношениями, имеют рациональное расстояние до каждой стороны. Эти центры включают в себя центр описанной окружности , ортоцентр , центр девяти точек , точку симедианы , точку Жергонна и точку Нагеля . ^[12]
• Каждый геронов треугольник можно поместить на квадратную решетку с единичной стороной , при этом каждая вершина будет находиться в точке решетки. ^[13] Как следствие, каждый рациональный геронов треугольник можно поместить в двумерную декартову систему координат со всеми рациональнозначными координатами.

Вот некоторые свойства длин сторон героновых треугольников, длины сторон которых равны a , b , c , а площадь равна A.

• Каждый примитивный геронов треугольник Геронов треугольник имеет одну четную и две нечетные стороны (см. § Масштабирование примитивных треугольников). Из этого следует, что геронов треугольник имеет либо одну, либо три стороны четной длины, ^{[14] : стр.3} и что периметр примитивного геронова треугольника всегда является четным числом. ^[15]
• Равносторонних героновских треугольников не существует, поскольку примитивный геронов треугольник имеет одну четную длину стороны и две нечетные длины сторон. ^[7]
• Площадь геронова треугольника всегда делится на 6. ^{[16] [15]}
• Не существует героновых треугольников с длиной стороны 1 или 2. ^{[17] [1]}
• Существует бесконечное число примитивных героновых треугольников с длиной одной стороны, равной заданному a , при условии, что a > 2. ^[1 ]
• Полупериметр s геронова треугольника не может быть простым числом (как и квадрат площади, а площадь — целое число; если бы s было простым числом, оно делило бы другой множитель; это невозможно, так как все эти множители меньше s ).${\displaystyle s(sa)(sb)(sc)}$
• В героновом треугольнике, который не имеет целочисленной высоты (неразложимый и непифагорейский), все длины сторон имеют простой множитель вида 4 k +1 . ^[6] В примитивном пифагоровом треугольнике все простые множители гипотенузы имеют вид 4 k +1 . Разложимый геронов треугольник должен иметь две стороны, которые являются гипотенузой пифагорового треугольника, и, таким образом, две стороны, которые имеют простые множители вида 4 k +1 . Также могут быть простые множители вида 4 k +3 , поскольку пифагоровые компоненты разложимого геронова треугольника не обязательно должны быть примитивными, даже если геронов треугольник примитивный. Подводя итог, все героновы треугольники имеют по крайней мере одну сторону, которая делится на простое число вида 4 k +1 .
• Не существует героновых треугольников, длины сторон которых образуют геометрическую прогрессию . ^[18]
• Если любые две стороны (но не три) геронова треугольника имеют общий множитель, то этот множитель должен быть суммой двух квадратов. ^[19]

Параметрическое уравнение или параметризация героновских треугольников состоит из выражения длин сторон и площади треугольника как функций — обычно полиномиальных функций  — некоторых параметров, так что треугольник является героновым тогда и только тогда, когда параметры удовлетворяют некоторым ограничениям — обычно, чтобы быть положительными целыми числами, удовлетворяющими некоторым неравенствам. Также обычно требуется, чтобы все героновы треугольники могли быть получены с точностью до масштабирования для некоторых значений параметров, и чтобы эти значения были уникальными, если указан порядок сторон треугольника.

Первая такая параметризация была открыта Брахмагуптой (598-668 гг. н. э.), который не доказал, что все героновы треугольники могут быть получены с помощью параметризации. В XVIII веке Леонард Эйлер предоставил другую параметризацию и доказал, что она генерирует все героновы треугольники. Эти параметризации описаны в следующих двух подразделах.

В третьем подразделе рациональная параметризация — то есть параметризация, где параметры являются положительными рациональными числами — естественным образом выводится из свойств героновских треугольников. Параметризация Брахмагупты и параметризация Эйлера могут быть восстановлены из этой рациональной параметризации путем очистки знаменателей . Это дает доказательство того, что параметризации Брахмагупты и Эйлера порождают все героновы треугольники.

Индийский математик Брахмагупта (598-668 гг. н.э.) открыл следующие параметрические уравнения для создания героновых треугольников ^[20] , но не доказал, что каждый класс подобия героновых треугольников может быть получен таким образом. ^{[ необходима ссылка ]}

Для трех положительных целых чисел m , n и k , которые являются взаимно простыми ( ) и удовлетворяют (для гарантии положительных длин сторон) и (для уникальности):${\displaystyle \НОД(м,п,к)=1}$${\displaystyle mn>k^{2}}$${\displaystyle m\geq n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+ca)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+ab)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+bc)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{align}}}$

где s — полупериметр, A — площадь, а r — радиус вписанной окружности.

Полученный геронов треугольник не всегда примитивен, и для получения соответствующего примитивного треугольника может потребоваться масштабирование. Например, взяв m = 36 , n = 4 и k = 3, получим треугольник с a = 5220 , b = 900 и c = 5400 , который похож на геронов треугольник (5, 29, 30) с коэффициентом пропорциональности 180 .

Тот факт, что сгенерированный треугольник не является примитивным, является препятствием для использования этой параметризации для генерации всех героновых треугольников с размерами длин, меньшими заданной границы (поскольку размер невозможно предсказать. ^[20]${\displaystyle \НОД(а,б,в)}$

Следующий метод генерации всех героновых треугольников был открыт Леонардом Эйлером ^[21] , который первым доказуемо параметризовал все такие треугольники.

Для четырех положительных целых чисел m, взаимно простых с n, и p, взаимно простых с q ( ),${\displaystyle \НОД {(m,n)}=\НОД {(p,q)}=1}$ удовлетворяющих (чтобы гарантировать положительные длины сторон):${\displaystyle mp>nq}$

${\displaystyle {\begin{align}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{align}}}$

где s — полупериметр, A — площадь, а r — радиус вписанной окружности.

Даже когда m , n , p и q попарно взаимно просты, полученный геронов треугольник может не быть примитивным. В частности, если m , n , p и q все нечетные, то длины трех сторон четные. Также возможно, что a , b и c имеют общий делитель, отличный от 2 . Например, при m = 2 , n = 1 , p = 7 и q = 4 получаем ( a , b , c ) = (130, 140, 150) , где длина каждой стороны кратна 10 ; соответствующая примитивная тройка — (13, 14, 15) , которую также можно получить, разделив тройку, полученную из m = 2, n = 1, p = 3, q ​​= 2 , на два, а затем поменяв местами b и c .

Пусть будут длинами сторон треугольника, пусть будут внутренними углами, противолежащими этим сторонам, и пусть и будут тангенсами половинного угла. Все значения положительны и удовлетворяют ; это «тождество тройного тангенса» является версией тангенса половинного угла фундаментального тождества треугольника, записанного в радианах (то есть 90°), что можно доказать с помощью формулы сложения тангенсов . По законам синусов и косинусов , все синусы и косинусы являются рациональными числами, если треугольник является рациональным героновским треугольником, и поскольку тангенс половинного угла является рациональной функцией синуса и косинуса , отсюда следует, что тангенсы половинного угла также являются рациональными.${\displaystyle а,б,в>0}$${\displaystyle \альфа ,\бета ,\гамма }$${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$${\displaystyle т,у,в}$${\displaystyle tu+uv+vt=1}$${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}} }$${\displaystyle \альфа ,\бета ,\гамма }$

Наоборот, если — положительные рациональные числа, такие, что можно видеть, что они являются тангенсами половинного угла внутренних углов класса подобных героновых треугольников. ^[22] Условие можно переставить так , а ограничение требует Таким образом, существует биекция между классами подобия рациональных героновых треугольников и парами положительных рациональных чисел, произведение которых меньше 1 .${\displaystyle т,у,в}$${\displaystyle tu+uv+vt=1,}$${\displaystyle tu+uv+vt=1}$${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle tu<1.}$${\displaystyle (t,u)}$

Чтобы сделать эту биекцию явной, можно выбрать в качестве конкретного члена класса подобия треугольник, вписанный в окружность единичного диаметра с длинами сторон, равными синусам противолежащих углов: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}}$

где — полупериметр, — площадь, — радиус вписанной окружности, и все эти значения рациональны, поскольку и рациональны.${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$

Чтобы получить (целый) геронов треугольник, знаменатели a , b и c должны быть очищены . Есть несколько способов сделать это. Если и с ( несократимыми дробями ), и треугольник масштабируется на результат — параметризация Эйлера. Если и с (наименьшим общим знаменателем), и треугольник масштабируется на результат похож, но не совсем идентичен параметризации Брахмагупты. Если же вместо этого это и то сводятся к наименьшему общему знаменателю, то есть, если и с то получается в точности параметризация Брахмагупты, масштабируя треугольник на${\displaystyle t=m/n}$${\displaystyle u=p/q,}$${\displaystyle \gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),}$${\displaystyle t=m/k}$${\displaystyle u=n/k}$${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,}$${\displaystyle 1/t}$${\displaystyle 1/u}$${\displaystyle t=k/m}$${\displaystyle u=k/n}$${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1,}$${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.}$

Это доказывает, что любая параметризация порождает все героновы треугольники.

Курц (2008) вывел быстрые алгоритмы для генерации героновских треугольников.

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагорейских героновых треугольников с целыми значениями для вписанного радиуса и всех трех вневписанных радиусов , включая те, которые получены с помощью ^{[24] : Теор. 4}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r_{a},r_{b},r_{c})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}}$

Существует бесконечно много героновых треугольников, которые можно разместить на решетке таким образом, что не только вершины будут находиться в точках решетки, как это справедливо для всех героновых треугольников, но и центры вписанной и вневписанной окружностей будут находиться в точках решетки. ^{[24] : Теор. 5}

См. также Целочисленный треугольник § Героновы треугольники для параметризации некоторых типов героновских треугольников.

Список примитивных целочисленных героновых треугольников, отсортированных по площади и, если это одно и то же, по периметру , начинается так, как в следующей таблице. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель длин трех сторон равен 1.

Список примитивных героновых треугольников, стороны которых не превышают 6 000 000, был вычислен Курцем (2008).

Героновы треугольники с идеально квадратными сторонами связаны с проблемой идеального кубоида . По состоянию на февраль 2021 года известны только два примитивных героновы треугольника с идеально квадратными сторонами:

(1853², 4380², 4427², Площадь = 32918611718880), опубликовано в 2013 году. ^[25]

(11789², 68104², 68595², Площадь=284239560530875680), опубликовано в 2018 году. ^[26]

Фигура называется равнобедренной, если ее площадь равна ее периметру. Существует ровно пять равнобедренных героновых треугольников: те, у которых длины сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17), ^{[27] [28]} хотя только четыре из них являются примитивными.

Поскольку площадь равностороннего треугольника с рациональными сторонами является иррациональным числом , ни один равносторонний треугольник не является героновым. Однако последовательность равнобедренных героновых треугольников, которые являются «почти равносторонними», может быть получена путем удвоения прямоугольных треугольников , в которых гипотенуза почти вдвое длиннее одного из катетов. Первые несколько примеров таких почти равносторонних треугольников приведены в следующей таблице (последовательность A102341 в OEIS ):

Существует уникальная последовательность героновых треугольников, которые являются «почти равносторонними», поскольку три стороны имеют вид n  − 1, n , n  + 1. Метод генерации всех решений этой задачи на основе непрерывных дробей был описан в 1864 году Эдвардом Сэнгом ^[29] , а в 1880 году Рейнхольд Хоппе дал замкнутое выражение для решений. ^[30] Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Последующие значения n можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычтя значение, предшествовавшее этому (52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14 и т. д.), таким образом:

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$

где t обозначает любую строку в таблице. Это последовательность Лукаса . В качестве альтернативы, формула генерирует все n для положительных целых чисел t . Эквивалентно, пусть A = площадь и y = вписанный радиус, тогда,${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

где { n , y } являются решениями уравнения n ²  ​​− 12 y ²  = 4. Небольшое преобразование n = 2x дает обычное уравнение Пелля x ²  − 3 y ²  = 1, решения которого затем могут быть выведены из разложения в регулярную цепную дробь для √ 3 . ^[31]

Переменная n имеет вид , где k равно 7, 97, 1351, 18817, .... Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательных целых чисел имеют интегральное стандартное отклонение . ^[32]${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$

• Геронов тетраэдр
• Четырехугольник Брахмагупты
• Треугольник Брахмагупты
• Пентагон Роббинса
• Целочисленный треугольник#Героновы треугольники

• Кармайкл, Роберт Дэниел (1915). «I. Введение. Рациональные треугольники. Метод бесконечного спуска». Диофантов анализ . Wiley. стр. 1–23.
• Диксон, Леонард Юджин (1920). "V. Треугольники, четырехугольники и тетраэдры с рациональными сторонами". История теории чисел , том II: Диофантов анализ . Институт Карнеги в Вашингтоне. С. 191–224.

• Вайсштейн, Эрик В. "Геронов треугольник". MathWorld .
• Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей Герона
• С. ш. Кожегельдинов (1994), "О фундаментальных героновых треугольниках", Math. Notes , 55 (2): 151–6, doi :10.1007/BF02113294, S2CID  115233024