Теорема Егорова

В теории меры , области математики , теорема Егорова устанавливает условие равномерной сходимости поточечно сходящейся последовательности измеримых функций . Она также называется теоремой Северини–Егорова или теоремой Северини–Егорова , в честь Карло Северини , итальянского математика , и Дмитрия Егорова , русского физика и геометра , которые опубликовали независимые доказательства соответственно в 1910 и 1911 годах .

Теорему Егорова можно использовать вместе с непрерывными функциями с компактным носителем для доказательства теоремы Лузина для интегрируемых функций .

Первое доказательство теоремы было дано Карло Северини в 1910 году: ^{[1] [2]} он использовал результат как инструмент в своих исследованиях рядов ортогональных функций . Его работа осталась, по-видимому, незамеченной за пределами Италии , вероятно, из-за того, что она была написана на итальянском языке , появилась в научном журнале с ограниченным распространением и рассматривалась только как средство для получения других теорем. Год спустя Дмитрий Егоров опубликовал свои независимо доказанные результаты, ^[3] и теорема стала широко известна под его именем: однако, нередко можно встретить ссылки на эту теорему как на теорему Северини–Егорова. Первыми математиками, которые независимо доказали теорему в общепринятом в настоящее время абстрактном мерном пространстве , были Фридьеш Рисс  (1922, 1928) и Вацлав Серпинский  (1928): ^[4] более раннее обобщение принадлежит Николаю Лузину , которому удалось немного ослабить требование конечности меры области сходимости поточечно сходящихся функций в обширной ^{[ необходимы дальнейшие пояснения ]} статье (Лузин 1916). ^[5] Дальнейшие обобщения были даны гораздо позже Павлом Коровкиным в статье (Коровкин 1947) и Габриэлем Мокободзки в статье (Мокободзки 1970).

Пусть ( f _n ) — последовательность измеримых функций со значениями M , где M — сепарабельное метрическое пространство, на некотором пространстве с мерой ( X , Σ, μ), и предположим, что существует измеримое подмножество A ⊆ X с конечной μ-мерой, такое, что ( f _n ) сходится μ- почти всюду на A к предельной функции f . Имеет место следующий результат: для любого ε > 0 существует измеримое подмножество B множества A, такое, что μ( B ) < ε, и ( f _n ) сходится к f равномерно на A  \  B .

Здесь μ( B ) обозначает μ-меру B . На словах теорема гласит, что поточечная сходимость почти всюду на A влечет, по-видимому, гораздо более сильную равномерную сходимость всюду, за исключением некоторого подмножества B произвольно малой меры. Этот тип сходимости также называется почти равномерной сходимостью .

• Необходима гипотеза μ( A ) < ∞. Чтобы увидеть это, просто построить контрпример, когда μ является мерой Лебега : рассмотрим последовательность действительнозначных индикаторных функций, определенных на действительной прямой . Эта последовательность сходится поточечно к нулевой функции всюду, но не сходится равномерно на для любого множества B конечной меры: контрпример в общем -мерном действительном векторном пространстве может быть построен, как показано Кафьеро (1959, стр. 302).$${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus B}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Разделимость метрического пространства необходима для того, чтобы гарантировать, что для M -значных измеримых функций f и g расстояние d ( f ( x ),  g ( x )) снова является измеримой действительной функцией x .

Fix . Для натуральных чисел n и k определим множество E _n, k объединением${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{m\geq n}\left\{x\in A\,{\Big |}\,|f_{m}(x)-f(x)|\geq {\frac {1}{k}}\right\}.}$

Эти множества уменьшаются по мере увеличения n , что означает, что E _{n +1, k} всегда является подмножеством E _n,k , поскольку первое объединение включает меньше множеств. Точка x , для которой последовательность ( f _m ( x )) сходится к f ( x ), не может быть в каждом E _n,k для фиксированного k , поскольку f _m ( x ) в конечном итоге должна оставаться ближе к f ( x ), чем 1/ k . Следовательно, по предположению о μ-почти всюду поточечной сходимости на A ,

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n,k}\right)=0}$

для каждого k . Поскольку A имеет конечную меру, мы имеем непрерывность сверху ; следовательно, существует для каждого k некоторое натуральное число n _k такое, что

${\displaystyle \mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}.}$

Для x в этом наборе мы считаем скорость приближения к 1/ k - окрестности f ( x ) слишком медленной. Определим

${\displaystyle B=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }E_{n_{k},k}}$

как множество всех тех точек x в A , для которых скорость приближения хотя бы к одной из этих 1/ k -окрестностей f ( x ) слишком мала. На разности множеств мы, следовательно, имеем равномерную сходимость. Явно, для любого , пусть , тогда для любого , мы имеем на всех .${\displaystyle A\setminus B}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle {\frac {1}{k}}<\epsilon }$${\displaystyle n>n_{k}}$${\displaystyle |f_{n}-f|<\epsilon }$${\displaystyle A\setminus B}$

Обращаясь к сигма-аддитивности μ и используя геометрическую прогрессию , получаем

${\displaystyle \mu (B)\leq \sum _{k\in \mathbb {N}} \mu (E_{n_{k},k}) <\sum _ {k\in \mathbb {N}} {\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\varepsilon .}$

Обобщение теоремы Северини–Егорова Николаем Лузиным представлено здесь по Саксу (1937, стр. 19).

При той же гипотезе абстрактной теоремы Северини–Егорова предположим, что A является объединением последовательности измеримых множеств конечной μ-меры, а ( f _n ) является заданной последовательностью M -значных измеримых функций на некотором пространстве с мерой ( X ,Σ , μ), такой, что ( f _n ) сходится μ- почти всюду на A к предельной функции f , тогда A можно выразить как объединение последовательности измеримых множеств H , A ₁ , A ₂ ,... таких, что μ( H ) = 0 и ( f _n ) сходится к f равномерно на каждом множестве A _k .

Достаточно рассмотреть случай, когда само множество A имеет конечную μ-меру: используя эту гипотезу и стандартную теорему Северини–Егорова, можно методом математической индукции определить последовательность множеств { A _k } _k=1,2,... такую, что

${\displaystyle \mu \left(A\setminus \bigcup _{k=1}^{N}A_{k}\right)\leq {\frac {1}{N}}}$

и такой, что ( f _n ) сходится к f равномерно на каждом множестве A _k для каждого k . Выбор

${\displaystyle H=A\setminus \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}$

тогда, очевидно, μ( H ) = 0 и теорема доказана.

Доказательство версии Коровкина во многом следует версии Харазишвили (2000, с. 183–184), которая, однако, в некоторой степени обобщает ее, рассматривая допустимые функционалы вместо неотрицательных мер и неравенств и соответственно в условиях 1 и 2.${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \geq}$

Пусть ( M , d ) обозначает сепарабельное метрическое пространство , а ( X ,Σ) — измеримое пространство : рассмотрим измеримое множество A и класс, содержащий A и его измеримые подмножества, такие, что их счетные в объединениях и пересечениях принадлежат одному и тому же классу. Предположим, что существует неотрицательная мера μ такая, что μ( A ) существует и${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

1. ${\displaystyle \mu (\cap A_{n})=\lim \mu (A_{n})}$если с для всех n${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots }$${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$
2. ${\displaystyle \mu (\cup A_{n}) = \lim \mu (A_{n})}$если с .${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots }$${\displaystyle \cup A_{n}\in {\mathfrak {A}}}$

Если ( f _n ) — последовательность измеримых функций со значениями M, сходящихся μ- почти всюду к предельной функции f , то существует подмножество A′ множества A , такое, что 0 < μ( A ) − μ( A′ ) < ε и где сходимость также равномерна.${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$

Рассмотрим индексированное семейство множеств , индексным множеством которого является множество натуральных чисел, определяемое следующим образом:${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle A_{0,m}=\left\{x\in A|d(f_{n}(x),f(x))\leq 1\ \forall n\geq m\right\}}$

Очевидно

${\displaystyle A_{0,1}\subseteq A_{0,2}\subseteq A_{0,3}\subseteq \dots }$

и

${\displaystyle A=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{0,m}}$

поэтому существует натуральное число m ₀ такое, что если положить A _{0,m 0} = A _{0 ,} то справедливо следующее соотношение:

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{0})\leq \varepsilon }$

Используя A ₀ можно определить следующее индексированное семейство

${\displaystyle A_{1,m}=\left\{x\in A_{0}\left|d(f_{m}(x),f(x))\leq {\frac {1}{2}}\ \forall n\geq m\right.\right\}}$

удовлетворяющие следующим двум соотношениям, аналогичным ранее найденным, т.е.

${\displaystyle A_{1,1}\subseteq A_{1,2}\subseteq A_{1,3}\subseteq \dots }$

и

${\displaystyle A_{0}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }A_{1,m}}$

Этот факт позволяет нам определить множество A _{1,m 1} = A ₁ , где m ₁ — заведомо существующее натуральное число такое, что

${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{1})\leq \varepsilon }$

Путем итерации показанной конструкции определяется другое индексированное семейство множеств { A _n }, обладающее следующими свойствами:

• ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }$
• ${\displaystyle 0\leq \mu (A)-\mu (A_{m})\leq \varepsilon }$для всех${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
• для каждого существует k _m такое, что для всех тогда для всех${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq k_{m}}$${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))\leq 2^{-m}}$${\displaystyle x\in A_{m}}$

и наконец положить

${\displaystyle A'=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

этот тезис легко доказывается.

• Теорема Егорова на PlanetMath .
• Хамприс, Алексис. "Теорема Егорова". MathWorld .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Теорема Егорова», Математическая энциклопедия , EMS Press