Теорема Лузина

В математической области математического анализа теорема Лузина (или теорема Лузина , названная в честь Николая Лузина ) или критерий Лузина утверждает, что почти всюду конечная функция измерима тогда и только тогда, когда она является непрерывной функцией на почти всей своей области определения. В неформальной формулировке Дж . Э. Литтлвуда «всякая измеримая функция почти непрерывна».

Для интервала [ a ,  b ] пусть

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$

быть измеримой функцией. Тогда для любого ε  > 0 существует компакт E  ⊆ [ a ,  b ] такой, что f , ограниченная на E , непрерывна и

${\displaystyle \mu (E)>ba-\varepsilon .}$

Обратите внимание, что E наследует топологию подпространства от [ a ,  b ]; непрерывность f, ограниченная E, определяется с использованием этой топологии.

Также для любой функции f , определенной на интервале [ a, b ] и почти всюду конечной, если для любого ε > 0 существует функция ϕ , непрерывная на [ a, b ], такая, что мера множества

${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}}$

меньше ε , то f измерима. ^[1]

Пусть будет пространством меры Радона и Y будет топологическим пространством со счетной второй степенью , снабженным алгеброй Бореля , и пусть будет измеримой функцией. Учитывая , что для каждого конечной меры существует замкнутое множество с таким, что ограниченное на является непрерывным. Если локально компактно и , мы можем выбрать компактность и даже найти непрерывную функцию с компактным носителем, совпадающую с на и такую, что ${\displaystyle (X,\Сигма,\мю)}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle A\in \Сигма }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{\varepsilon}:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon}(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|}$.

Неформально, измеримые функции в пространствах со счетной базой могут быть аппроксимированы непрерывными функциями на сколь угодно большой части их области определения.

Доказательство теоремы Лузина можно найти во многих классических книгах. Интуитивно можно ожидать его как следствие теоремы Егорова и плотности гладких функций. Теорема Егорова утверждает, что поточечная сходимость почти равномерна, а равномерная сходимость сохраняет непрерывность.

Сила теоремы Лузина может быть неочевидна, как можно продемонстрировать на примере. Рассмотрим функцию Дирихле , то есть индикаторную функцию на единичном интервале, принимающую значение единицы на рациональных числах и ноль в противном случае. Очевидно, что мера этой функции должна быть равна нулю, но как можно найти области, которые являются непрерывными, учитывая, что рациональные числа плотны в действительных числах? Требования теоремы Лузина могут быть удовлетворены с помощью следующей конструкции множества${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle Э.}$

Пусть будет любым перечислением . Задайте${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\точки \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$

и

${\displaystyle E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_ {n}}$.

Затем последовательность открытых множеств «выбивает» все рациональные числа, оставляя после себя компактное замкнутое множество , не содержащее рациональных чисел и имеющее меру более .${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1-2\varepsilon}$

Источники

• Н. Лусин. Sur les proprietés des fonctions mesurables, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912), 1688–1690.
• Г. Фолланд. Реальный анализ: современные методы и их применение , 2-е изд. Глава 7
• В. Зигмунт. Собственность Скорца-Драгони (на польском языке), UMCS, Люблин, 1990 г.
• М. Б. Фельдман, «Доказательство теоремы Лузина», American Math. Monthly, 88 (1981), 191-2
• Лоуренс К. Эванс, Рональд Ф. Гариепи, «Теория меры и тонкие свойства функций», CRC Press Taylor & Francis Group, Учебники по математике, Теорема 1.14

Цитаты