Координаты Эддингтона–Финкельштейна
Геометрическая концепция

В общей теории относительности координаты Эддингтона–Финкельштейна представляют собой пару систем координат для геометрии Шварцшильда (например, сферически симметричной черной дыры ), которые адаптированы к радиальным нулевым геодезическим . Нулевые геодезические — это мировые линии фотонов ; радиальные — это те, которые движутся прямо к центральной массе или от нее. Они названы в честь Артура Стэнли Эддингтона [1] и Дэвида Финкельштейна [2] . Хотя они , по-видимому, вдохновили эту идею, ни один из них никогда не записывал эти координаты или метрику в этих координатах. Роджер Пенроуз [3], по-видимому, был первым, кто записал нулевую форму, но приписывает ее вышеупомянутой статье Финкельштейна, а в своем эссе на премию Адамса, полученном позднее в том же году, Эддингтону и Финкельштейну. Наиболее влиятельные Мизнер, Торн и Уилер в своей книге Гравитация называют нулевые координаты этим именем.

В этих системах координат, направленные наружу (внутрь) радиальные световые лучи (каждый из которых следует нулевой геодезической) определяют поверхности постоянного «времени», в то время как радиальная координата является обычной координатой площади, так что поверхности симметрии вращения имеют площадь 4 π r 2 . Одним из преимуществ этой системы координат является то, что она показывает, что кажущаяся сингулярность на радиусе Шварцшильда является только координатной сингулярностью и не является истинной физической сингулярностью. Хотя этот факт был признан Финкельштейном, он не был признан (или, по крайней мере, не прокомментирован) Эддингтоном, чьей основной целью было сравнить и сопоставить сферически симметричные решения в теории гравитации Уайтхеда и версии теории относительности Эйнштейна.

метрика Шварцшильда

Решение Шварцшильда в координатах Шварцшильда с подавленными двумя пространственными измерениями, оставляя только время t и расстояние от центра r . Красным цветом обозначены входящие нулевые геодезические. Синим цветом обозначены исходящие нулевые геодезические. Зеленым цветом обозначены нулевые световые конусы, по границам которых движется свет, а массивные объекты движутся внутри конусов.

Координаты Шварцшильда имеют вид , и в этих координатах метрика Шварцшильда хорошо известна: ( т , г , θ , φ ) {\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}

г с 2 = ( 1 − 2 Г М г ) г т 2 − ( 1 − 2 Г М г ) − 1 г г 2 − г 2 г Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}}

где

г Ω 2 ≡ г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г φ 2 . {\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}

— стандартная риманова метрика единичной 2-сферы.

Обратите внимание, что здесь используются условные обозначения метрической сигнатуры ( + − − − ) и естественные единицы , где c = 1 — безразмерная скорость света, G — гравитационная постоянная , а M — характеристическая масса геометрии Шварцшильда.

Координата черепахи

Координаты Эддингтона–Финкельштейна основаны на координате черепахи — название, которое происходит от одного из парадоксов Зенона Элейского о воображаемом состязании между «быстроногим» Ахиллом и черепахой .

Координата черепахи определяется: г ∗ {\displaystyle r^{*}}

г ∗ = г + 2 Г М вн ⁡ | г − 2 Г М | . {\displaystyle r^{*}=r+2GM\ln \left|r-2GM\right|.}

чтобы удовлетворить:

г г ∗ г г = ( 1 − 2 Г М г ) − 1 . {\displaystyle {\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}.}

Координата черепахи приближается по мере приближения к радиусу Шварцшильда . г ∗ {\displaystyle r^{*}} − ∞ {\displaystyle -\infty} г {\displaystyle r} 2 Г М {\displaystyle 2GM}

Когда какой-либо зонд (например, луч света или наблюдатель) приближается к горизонту событий черной дыры, его временная координата Шварцшильда становится бесконечной. Исходящие нулевые лучи в этой системе координат имеют бесконечное изменение t при выходе из горизонта. Координата черепахи должна расти бесконечно с соответствующей скоростью, чтобы отменить это сингулярное поведение в системах координат, построенных на ее основе.

Увеличение координаты времени до бесконечности по мере приближения к горизонту событий является причиной того, что информация никогда не может быть получена обратно от любого зонда, отправленного через такой горизонт событий. И это несмотря на то, что сам зонд тем не менее может пройти мимо горизонта. Это также причина того, почему пространственно-временная метрика черной дыры, выраженная в координатах Шварцшильда, становится сингулярной на горизонте – и, таким образом, не может полностью начертить траекторию падающего зонда.

Метрическая

Входящие координаты Эддингтона–Финкельштейна получаются путем замены координаты t на новую координату . В этих координатах метрика Шварцшильда может быть записана как в = т + г ∗ {\displaystyle v=t+r^{*}}

г с 2 = ( 1 − 2 Г М г ) г в 2 − 2 г в г г − г 2 г Ω 2 . {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}.}

где снова — стандартная риманова метрика на 2-сфере единичного радиуса. г Ω 2 = г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г φ 2 {\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}

Аналогично, исходящие координаты Эддингтона–Финкельштейна получаются путем замены t на нулевую координату . Метрика тогда задается как ты = т − г ∗ {\displaystyle u=tr^{*}}

г с 2 = ( 1 − 2 Г М г ) г ты 2 + 2 г ты г г − г 2 г Ω 2 . {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}.}

В обеих этих системах координат метрика явно несингулярна на радиусе Шварцшильда (даже если одна компонента обращается в нуль на этом радиусе, определитель метрики все равно не обращается в нуль, а обратная метрика не имеет членов, которые там расходятся).

Обратите внимание, что для радиальных нулевых лучей v=const или =const или, что эквивалентно , =const или u=const мы имеем dv/dr и du/dr, приближающиеся к 0 и ±2 при больших r , а не к ±1, как можно было бы ожидать, если бы мы рассматривали u или v как «время». При построении диаграмм Эддингтона–Финкельштейна поверхности постоянного u или v обычно рисуются как конусы, а постоянные линии u или v рисуются как наклонные под углом 45 градусов, а не как плоскости (см., например, вставку 31.2 MTW ). Некоторые источники вместо этого берут , что соответствует плоским поверхностям на таких диаграммах. В терминах этого метрика становится в − 2 г ∗ {\displaystyle v-2r^{*}} ты + 2 г ∗ {\displaystyle u+2r^{*}} т ′ = т ± ( г ∗ − г ) {\displaystyle t'=t\pm (r^{*}-r)\,} т ′ {\displaystyle т'}

г с 2 = ( 1 − 2 Г М г ) г т ′ 2 ± 4 Г М г г т ′ г г − ( 1 + 2 Г М г ) г г 2 − г 2 г Ω 2 = ( г т ′ 2 − г г 2 − г 2 г Ω 2 ) + 2 Г М г ( г т ′ ± г г ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt'\,dr-\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}=(dt'^{2}-dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r}}(dt'\pm dr)^{2}}

что является минковским при больших r . (Это было координатное время и метрика, которые и Эддингтон, и Финкельштейн представили в своих работах.)

Это график световых конусов координат vr , где ось r представляет собой наклонную прямую линию, наклоненную вверх влево. Синяя линия является примером одной из линий константы v . Нанесены световые конусы при различных значениях r . Зеленые линии являются различными линиями константы u . Обратите внимание, что они приближаются к r=2GM асимптотически. В этих координатах горизонт является горизонтом черной дыры (ничего не может выйти). Диаграмма для координат ur представляет собой ту же диаграмму, перевернутую вверх ногами, и на диаграмме u и v поменяны местами. В этом случае горизонт является горизонтом белой дыры , из которой может выходить материя и свет, но ничто не может войти.

Координаты Эддингтона–Финкельштейна все еще неполны и могут быть расширены. Например, внешние движущиеся во времени геодезические, определяемые как (где τ — собственное время)

г ( τ ) = 2 Г М τ {\displaystyle r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}}
в ( τ ) = ∫ г ( τ ) г ( τ ) − 2 Г М г τ = С + τ + 2 2 Г М τ + 4 Г М вн ⁡ ( τ 2 Г М − 1 ) {\displaystyle {\begin{align}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{align}}}

имеет v ( τ ) → −∞ при τ  → 2 GM . Т.е. эта времениподобная геодезическая имеет конечную собственную длину в прошлое, где она выходит из горизонта ( r  = 2 GM ), когда v становится минус бесконечностью. Области для конечных v и r  < 2 GM — это области, отличные от областей для конечных u и r  < 2 GM . Горизонт r  = 2 GM и конечных v (горизонт черной дыры) отличается от горизонта с r  = 2 GM и конечным u ( горизонт белой дыры ).

Метрика в координатах Крускала–Шекереша охватывает все расширенное пространство-время Шварцшильда в одной системе координат. Ее главный недостаток в том, что в этих координатах метрика зависит как от временных, так и от пространственных координат. В координатах Эддингтона–Финкельштейна, как и в координатах Шварцшильда, метрика не зависит от «времени» (либо t в координатах Шварцшильда, либо u или v в различных координатах Эддингтона–Финкельштейна), но ни одна из них не охватывает полное пространство-время.

Координаты Эддингтона–Финкельштейна имеют некоторое сходство с координатами Гулльстранда–Пенлеве в том, что обе не зависят от времени и проникают (регулярны поперек) либо в будущие (черная дыра), либо в прошлые (белая дыра) горизонты. Обе не являются диагональными (гиперповерхности постоянного «времени» не ортогональны гиперповерхностям постоянного r .) Последние имеют плоскую пространственную метрику, в то время как пространственные («временные» постоянные) гиперповерхности первых являются нулевыми и имеют ту же метрику, что и нулевой конус в пространстве Минковского ( в плоском пространстве-времени). т = ± г {\displaystyle t=\pm r}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Эддингтон, AS (февраль 1924 г.). "Сравнение формул Уайтхеда и Эйнштейна" (PDF) . Nature . 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E. doi : 10.1038/113192a0. S2CID  36114166.
  2. ^ Финкельштейн, Дэвид (1958). «Прошло-будущая асимметрия гравитационного поля точечной частицы». Phys. Rev. 110 ( 4): 965–967 . Bibcode : 1958PhRv..110..965F. doi : 10.1103/PhysRev.110.965.
  3. ^ Пенроуз, Роджер (1965). «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени». Physical Review Letters . 14 (3): 57– 59. Bibcode : 1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Координаты_Эддингтона–Финкельштейна&oldid=1248972311"