Позиционное голосование

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Positional voting" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2021) (Learn how and when to remove this message) This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources. Find sources: "Positional voting" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2021) This article may contain an excessive amount of intricate detail that may interest only a particular audience. Please help by spinning off or relocating any relevant information, and removing excessive detail that may be against Wikipedia's inclusion policy. (August 2024) (Learn how and when to remove this message) (Learn how and when to remove this message)

A joint Politics and Economics series
Social choice and electoral systems
Social choice Mechanism design Comparative politics Comparison List (By country)
Single-winner methods Single vote - plurality methods First preference plurality (FPP) Two-round (US: Jungle primary) Partisan primary Instant-runoff UK: Alternative vote (AV) US: Ranked-choice (RCV) Condorcet methods Condorcet-IRV Round-robin voting Minimax Schulze Ranked pairs Maximal lottery Positional voting Plurality (el. IRV) Borda count (el. Baldwin) Antiplurality (el. Coombs) Cardinal voting Score voting Approval voting Majority judgment STAR voting
Proportional representation Party-list Apportionment Highest averages Largest remainders National remnant Biproportional List type Closed list Open list Panachage List-free PR Localized list Quota-remainder methods Hare STV Schulze STV CPO-STV Quota Borda Approval-based committees Thiele's method Phragmen's method Expanding approvals rule Method of equal shares Fractional social choice Direct representation Interactive representation Liquid democracy Fractional approval voting Maximal lottery Random ballot Semi-proportional representation Cumulative SNTV Limited voting
Mixed systems By results of combination Mixed-member majoritarian Mixed-member proportional By mechanism of combination Non-compensatory Parallel (superposition) Coexistence Conditional Fusion (majority bonus) Compensatory Seat linkage system UK: 'AMS' NZ: 'MMP' Vote linkage system Negative vote transfer Mixed ballot Supermixed systems Dual-member proportional Rural–urban proportional Majority jackpot By ballot type Single vote Double simultaneous vote Dual-vote
Paradoxes and pathologies Spoiler effects Spoiler effect Cloning paradox Frustrated majorities paradox Center squeeze Pathological response Perverse response Best-is-worst paradox No-show paradox Multiple districts paradox Strategic voting Lesser evil voting Exaggeration Truncation Turkey-raising Paradoxes of majority rule Tyranny of the majority Discursive dilemma Conflicting majorities paradox
Social and collective choice Impossibility theorems Arrow's theorem Majority impossibility Moulin's impossibility theorem McKelvey–Schofield chaos theorem Gibbard's theorem Positive results Median voter theorem Condorcet's jury theorem May's theorem Condorcet dominance theorems Harsanyi's utilitarian theorem VCG mechanism Quadratic voting
Politics portal Economics portal Mathematics portal
v t e

Позиционное голосование — это рейтинговая избирательная система , в которой варианты или кандидаты получают баллы в зависимости от их ранга в каждом бюллетене, и побеждает тот, у кого больше баллов в целом. ^[1] Предпочтение с более низким рейтингом в любой смежной паре, как правило, имеет меньшую ценность, чем предпочтение с более высоким рейтингом. Хотя иногда оно может иметь одинаковый вес, оно никогда не стоит больше. Действительная прогрессия баллов или весов может быть выбрана по желанию ( конкурс песни Евровидение ) или может образовывать математическую последовательность, такую ​​как арифметическая прогрессия ( счет Борда ), геометрическая ( позиционная система счисления ) или гармоническая ( метод Науру/Даудолла ). Набор весов, используемых на выборах, сильно влияет на ранговый порядок кандидатов. Чем круче первоначальное снижение значений предпочтений с убывающим рангом, тем более поляризованной и менее согласованной становится позиционная система голосования.

Позиционное голосование следует отличать от голосования по баллам : в первом случае балл, который каждый избиратель дает каждому кандидату, однозначно определяется рейтингом кандидата; во втором случае каждый избиратель волен дать любой балл любому кандидату.

При позиционном голосовании избиратели заполняют ранжированный бюллетень , выражая свои предпочтения в порядке ранга. Позиция ранга каждого предпочтения избирателя имеет определенный фиксированный вес. Обычно, чем выше ранг предпочтения, тем больше очков оно стоит. Иногда оно может иметь тот же вес, что и предпочтение с более низким рангом, но оно никогда не стоит меньше очков.

Обычно от каждого избирателя требуется выразить уникальное порядковое предпочтение для каждого варианта в бюллетене в строгом порядке убывания ранга. Однако конкретная позиционная система голосования может позволить избирателям урезать свои предпочтения после выражения одного или нескольких из них и оставить оставшиеся варианты неранжированными и, следовательно, бесполезными. Аналогичным образом, некоторые другие системы могут ограничивать количество предпочтений, которые могут быть выражены. Например, на конкурсе песни Евровидение только их первые десять предпочтений ранжируются каждой страной, хотя в конкурсе соревнуются более десяти песен. Опять же, неранжированные предпочтения не имеют никакой ценности. При позиционном голосовании ранжированные бюллетени с равными вариантами обычно считаются недействительными.

Процесс подсчета прост. Все предпочтения, отданные избирателями, награждаются очками, связанными с их рангом. Затем все очки за каждый вариант подсчитываются, и победителем становится тот, у кого больше всего очков. Там, где вместо этого требуется несколько победителей ( W ) после подсчета, выбираются W вариантов с самым высоким рейтингом. Позиционное голосование — это не только способ определения одного победителя, но и метод преобразования наборов индивидуальных предпочтений (ранжированных бюллетеней) в один коллективный и полностью упорядоченный по рангу набор. Возможно и законно, что варианты будут иметь равные шансы в этом результирующем наборе; даже на первом месте.

Рассмотрим позиционные выборы для выбора одного победителя из трех вариантов A, B и C. Никакие сокращения или ничьи не допускаются, и первое, второе и третье предпочтение здесь оцениваются в 4, 2 и 1 очко соответственно. Затем есть шесть различных способов, которыми каждый избиратель может ранжировать эти варианты. 100 избирателей отдают свои ранжированные бюллетени следующим образом:

После окончания голосования баллы, набранные избирателями, подсчитываются, и варианты ранжируются в соответствии с общей суммой баллов.

Таким образом, имея наивысший счет, здесь побеждает вариант А. Обратите внимание, что результат выборов также генерирует полный рейтинг всех вариантов.

Для позиционного голосования любое распределение очков по ранговым позициям допустимо, пока очки слабо уменьшаются в ранге каждого кандидата. Другими словами, кандидат с худшим рейтингом должен получить меньше очков, чем кандидат с лучшим рейтингом. ^[1]

Классическим примером позиционной избирательной системы является подсчет Борда . ^[1] Обычно для выборов с одним победителем и N кандидатами первое предпочтение стоит N очков, второе предпочтение N – 1 очко, третье предпочтение N – 2 очка и так далее до последнего ( N -го) предпочтения, которое стоит всего 1 очко. Так, например, для выборов с четырьмя кандидатами очки составляют соответственно 4, 3, 2 и 1.

Математически значение или вес балла ( w _n ), связанный с заданной позицией ранга ( n ), определяется ниже; где вес первого предпочтения равен a , а общая разность равна d .

$${\displaystyle w_{n}=a-(n-1)d}$$

где a = N , количество кандидатов.

Значение первого предпочтения не обязательно должно быть N . Иногда оно устанавливается равным N – 1 , так что последнее предпочтение имеет нулевое значение. Хотя это удобно для подсчета, общая разность не обязательно должна быть зафиксирована на уровне единицы, поскольку общий рейтинг кандидатов не зависит от ее конкретного значения. Следовательно, несмотря на генерацию различных подсчетов, любое значение a или d для выборов по подсчету Борда приведет к идентичным рейтингам кандидатов. ^[1]

Последовательные взвешивания по шкале Борда образуют арифметическую прогрессию .

Обычные системы оценки предпочтений, за исключением Борда, как правило, «перегружены сверху». Другими словами, метод фокусируется на том, сколько избирателей считают кандидата одним из своих «фаворитов».

При первом предпочтительном большинстве (FPP) наиболее предпочтительный вариант получает 1 балл, а все остальные варианты получают по 0 баллов. Это самая перегруженная сверху позиционная система голосования.

Альтернативная математическая последовательность, известная как геометрическая прогрессия , также может использоваться в позиционном голосовании. Здесь вместо этого существует общее отношение r между соседними весами. Чтобы удовлетворить двум условиям валидности, значение r должно быть меньше единицы, чтобы вес уменьшался по мере снижения предпочтений в ранге. Если значение первого предпочтения равно a , вес ( w _n ), присуждаемый данной позиции ранга ( n ), определяется ниже.

$${\displaystyle w_{n}=ar^{n-1},\qquad 0\leq r<1}$$

Например, последовательность последовательно уменьшенных вдвое весов 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, используемых в двоичной системе счисления , представляет собой геометрическую прогрессию с общим отношением половины ( r = 1/2). Такие веса по своей сути допустимы для использования в позиционных системах голосования при условии, что используется законное общее отношение. Используя общее отношение, равное нулю, эта форма позиционного голосования имеет веса 1, 0, 0, 0, … и, таким образом, дает результаты ранжирования, идентичные результатам для голосования по мажоритарной системе или относительному голосованию .

В качестве альтернативы знаменатели вышеуказанных дробных весов могли бы образовать арифметическую прогрессию; а именно 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и так далее до 1/ N . Эта дополнительная математическая последовательность является примером гармонической прогрессии . Эти конкретные веса нисходящего ранга фактически используются в выборах по позиционному голосованию N -кандидатов в парламент Науру . ^{[2] [3]} Для таких избирательных систем вес ( w _n ), присвоенный данной позиции ранга ( n ), определяется ниже; где значение первого предпочтения равно a .

$${\displaystyle w_{n}={\frac {a^{2}}{a+(n-1)d}}={\frac {a}{1+{\frac {(n-1)d}{a}}}},}$$

где w ₁ = а .

Для системы Науру первое предпочтение a стоит единицу, а общая разность d между соседними знаменателями также равна единице. В позиционном голосовании можно использовать и множество других гармонических последовательностей. Например, установка a на 1 и d на 2 генерирует обратные величины всех нечетных чисел (1, 1/3, 1/5, 1/7, …), тогда как если бы a было равно 1/2, а d было бы равно 1/2, то были бы получены обратные величины всех четных чисел (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, …).

Гармонический вариант, используемый островным государством Науру , называется системой Даудолла , так как она была разработана министром юстиции Науру (Десмондом Даудоллом) в 1971 году. [ ^{4] [5] Здесь каждый избиратель присуждает кандидату, занявшему первое место} , 1 балл, в то время как кандидат, занявший второе место, получает 1/2 балла , кандидат, занявший третье место, получает 1/3 балла и т. д. При подсчете голосов кандидатов в Науру используются десятичные числа, округленные до трех знаков после запятой, а не дроби. (Эту систему не следует путать с использованием последовательных делителей в пропорциональных системах, таких как пропорциональное одобрительное голосование , — неродственный метод.) Похожая система взвешивания голосов с более низкими предпочтениями использовалась в первичной избирательной системе Оклахомы 1925 года .

Для выборов с четырьмя кандидатами распределение очков Дауделла будет следующим:

Этот метод более благоприятен для кандидатов с большим количеством первых предпочтений, чем традиционный подсчет Борда. Его описывают как систему «где-то между множественностью и подсчетом Борда, но как более склоняющуюся к множественности». ^[5] Моделирование показывает, что 30% выборов в Науру дали бы другие результаты, если бы подсчитывались с использованием стандартных правил Борда. ^[5]

Конкурс песни Евровидение использует первое предпочтение, оцениваемое в 12 очков, а второе — в 10 очков. Следующие восемь последовательных предпочтений получают 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 очко. Все остальные предпочтения получают ноль очков.

Методы позиционного голосования используются в некоторых видах спорта, либо для объединения рейтингов в разных событиях, либо для оценки участников. Например, системы очков используются для ведения счета в Формуле-1 и для награды Major League Baseball Most Valuable Player Award . Эти приложения, как правило, также перегружены верхними позициями: как в F1, так и в бейсболе системы очков MVP отдают предпочтение верхним позициям.

При позиционном голосовании веса ( w ) последовательных предпочтений от первого до последнего монотонно снижаются с ростом ранга ( n ). Однако скорость снижения варьируется в зависимости от типа используемой прогрессии. Более низкие предпочтения оказывают большее влияние на результаты выборов, когда выбранная прогрессия использует последовательность весов, которые относительно медленно снижаются с ростом ранга. Чем медленнее снижаются веса, тем более согласованным и менее поляризующим становится позиционное голосование.

На этом рисунке показано снижение предпочтений по десяти следующим четырем позиционным избирательным системам:

• Счет Борда (где a = N = 10 и d = 1 )
• Двоичная система счисления (где a = 1 и r = 1/2 )
• Метод Науру (где a = 1 и d = 1 )
• Конкурс песни «Евровидение» (только ненулевые предпочтения)

Для облегчения сравнения фактические веса были нормализованы, а именно, первое предпочтение установлено на уровне единицы, а другие веса в конкретной последовательности масштабируются с тем же коэффициентом 1/ a .

Относительное убывание весов в любой арифметической прогрессии является постоянной величиной, поскольку не является функцией общей разности d . Другими словами, относительная разность между соседними весами фиксирована и равна 1/ N. Напротив, значение d в гармонической прогрессии влияет на скорость ее убывания. Чем выше его значение, тем быстрее убывают веса. Тогда как чем ниже значение общей пропорции r для геометрической прогрессии, тем быстрее убывают ее веса.

Весовые коэффициенты позиций цифр в двоичной системе счисления были выбраны здесь, чтобы подчеркнуть пример геометрической прогрессии в позиционном голосовании. Фактически, последовательные весовые коэффициенты любой цифровой системы счисления могут быть использованы, поскольку все они представляют собой геометрические прогрессии. Например, двоичная, троичная, восьмеричная и десятичная системы счисления используют основание R из 2, 3, 8 и 10 соответственно. Значение R также является общим отношением геометрической прогрессии, восходящей в порядке ранга, в то время как r является дополнительным общим отношением, убывающим в ранге. Таким образом, r является обратной величиной R , а отношения r соответственно равны 1/2, 1/3, 1/8 и 1/10 для этих позиционных систем счисления при использовании в позиционном голосовании.

Поскольку основание системы счисления наименьшее, скорость снижения весовых коэффициентов предпочтений самая медленная при использовании двоичной системы счисления. Хотя основание системы счисления R (количество уникальных цифр, используемых в системе счисления) должно быть целым числом, общее отношение r для позиционного голосования не обязательно должно быть обратным такому целому числу. Допустимо любое значение от нуля до чуть меньше единицы. Для более медленного снижения весовых коэффициентов, чем при использовании двоичной системы счисления, необходимо использовать общее отношение больше половины. Чем выше значение r , тем медленнее снижается весовой коэффициент с понижением ранга.

Хотя они не относятся к избирательным системам позиционного голосования, некоторые методы без ранжирования тем не менее могут быть проанализированы математически, как если бы они были таковыми, путем соответствующего распределения баллов. ^[1] Учитывая отсутствие здесь строгого монотонного ранжирования, все предпочтительные варианты весятся одинаково с высоким значением, а все оставшиеся варианты — с общим более низким значением. Таким образом, два критерия валидности для последовательности весов удовлетворяются.

Для ранжированного бюллетеня с N -кандидатами допустимое количество предпочитаемых кандидатов на бюллетень будет F , а два веса будут равны одному баллу для этих предпочитаемых кандидатов и нулю баллов для непредпочитаемых. При аналитическом представлении с использованием позиционного голосования предпочитаемые кандидаты должны быть указаны на верхних позициях ранга F в любом порядке в каждом ранжированном бюллетене, а остальные кандидаты - на нижних позициях ранга N - F. Это важно, поскольку вес каждой позиции ранга фиксирован и является общим для каждого бюллетеня при позиционном голосовании.

Методы голосования с одним победителем без ранжирования, которые можно проанализировать как избирательные системы позиционного голосования, включают:

• Голосование по принципу относительного большинства первого предпочтения (FPP): наиболее предпочтительный вариант получает 1 балл; все остальные варианты получают по 0 баллов каждый. ( F = 1 )
• Антиплюралистическое голосование : наименее предпочтительный вариант получает 0 баллов; все остальные варианты получают по 1 баллу каждый. ( F = N – 1 )

А нерейтинговые методы для выборов с несколькими победителями (с победителями W ) включают:

• Единственный непередаваемый голос : наиболее предпочтительный вариант получает 1 балл; все остальные варианты получают по 0 баллов каждый. ( F = 1 )
• Ограниченное голосование : X наиболее предпочтительных вариантов (где 1 < X < W ) получают по 1 баллу каждый; все остальные варианты получают по 0 баллов каждый. ( F = X ) Обычно избиратели могут использовать меньше разрешенного количества баллов, поэтому это, как правило, не позиционная система, поскольку это потребовало бы от избирателей проголосовать ровно за X кандидатов (или система автоматически переоценила бы баллы, аналогично равным рангам в вариантах с одним победителем).
• Голосование блоком : наиболее предпочтительные варианты W получают по 1 баллу; все остальные варианты получают по 0 баллов. ( F = W ). Обычно избиратели могут использовать меньше разрешенного количества баллов, что делает этот распространенный вариант непозиционной системой.

При голосовании за одобрение избиратели вольны отдавать предпочтение стольким или стольким кандидатам, скольким они пожелают, поэтому F не фиксировано, а варьируется в зависимости от отдельных ранжированных бюллетеней, которые подаются. Поскольку ранговые позиции будут иметь разный вес в разных бюллетенях, голосование за одобрение не является позиционной системой голосования; и его нельзя анализировать как таковое.

Предположим, что Теннесси проводит выборы по месту расположения своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможны следующие варианты:

• Мемфис , крупнейший город, но далеко от других (42% избирателей)
• Нэшвилл , недалеко от центра штата (26% избирателей)
• Чаттануга , немного восточнее (15% избирателей)
• Ноксвилл , далеко на северо-востоке (17% избирателей)

Предпочтения избирателей каждого региона таковы:

Где w _n — вес n- го предпочтения, следующая таблица определяет итоговый расчет для каждого города:

Для значения первого предпочтения w ₁ = 1 в таблице ниже указаны значения каждого из четырех весовых коэффициентов для ряда различных позиционных систем голосования, которые могут быть использованы на этих выборах:

Эти пять позиционных систем голосования перечислены в порядке прогрессии. Чем медленнее падение значений весов с убывающим рангом, тем больше сумма четырех весов; см. конец столбца. Множественность снижается быстрее всего, а анти-множественность — медленнее всего.

Для каждой позиционной системы голосования результаты голосования по каждому из четырех вариантов городов определяются на основе двух таблиц выше и приводятся ниже:

Для каждой потенциальной позиционной системы голосования, которая может быть использована на этих выборах, ниже показан общий порядок ранжирования вариантов:

Эта таблица подчеркивает важность типа прогрессии в определении победного результата. Поскольку все избиратели либо решительно за, либо против Мемфиса, это очень «поляризованный» вариант, поэтому Мемфис финиширует первым по системе относительного большинства и последним по системе против относительного большинства. Учитывая его центральное расположение, Нэшвилл здесь является «консенсусным» вариантом. Он побеждает по системе Борда и двум другим неполяризованным системам

Как класс систем голосования, позиционное голосование можно оценить с помощью объективных математических критериев , чтобы выявить его сильные и слабые стороны по сравнению с другими методами выборов с одним победителем.

Позиционное голосование удовлетворяет следующим критериям:

• Недиктатура
• Неограниченный домен
• Суммируемость (с порядком N)
• Последовательность
• Участие
• Разрешимость
• Монотонность
• эффективность по Парето

Однако он не соответствует следующим критериям:

• Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)
• Независимость клонов (IoC)
• победитель Кондорсе
• Кондорсе неудачник (кроме Борда)
• Обратная симметрия (за исключением счета Борда)
• Большинство (за исключением случаев, когда это эквивалентно относительному числу голосов)

Согласно теореме Эрроу о невозможности , ни одна система ранжированного голосования не может удовлетворять всем следующим четырем критериям при совокупном ранжировании трех или более альтернатив:

• Недиктатура
• Неограниченный домен
• эффективность по Парето
• Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)

До того, как предпочтения избирателей будут высказаны, системы голосования, которые относятся ко всем избирателям как к равным и ко всем кандидатам как к равным, проходят первые два критерия выше. Таким образом, как и любая другая рейтинговая система, позиционное голосование не может пройти оба других критерия. Оно эффективно по Парето, но не является независимым от нерелевантных альтернатив . Эта неудача означает, что добавление или удаление невыигрышного (нерелевантного) кандидата может изменить победителя выборов, несмотря на то, что ранжированные предпочтения всех избирателей остаются прежними.

Рассмотрим позиционные выборы с тремя кандидатами A, B и C, где первое, второе и третье предпочтение стоит 4, 2 и 1 очко соответственно. 12 избирателей отдали свои ранжированные бюллетени следующим образом:

Таким образом, результат выборов таков:

Таким образом, кандидат A является единственным победителем, а кандидаты B и C являются двумя проигравшими. В качестве нерелевантной альтернативы (проигравший), то, участвует ли B в конкурсе или нет, не должно иметь никакого значения для победы A, при условии, что система голосования соответствует требованиям IIA.

Если провести повторные выборы без кандидата B, но при этом сохранить правильные рейтинги предпочтений для кандидатов A и C, то 12 бюллетеней будут поданы следующим образом:

Результат повторных выборов теперь таков:

Учитывая снятие кандидата B, победителем теперь становится C, а не A. Независимо от конкретных баллов, присуждаемых ранговым позициям предпочтений, всегда есть случаи, когда добавление или удаление нерелевантной альтернативы изменяет исход выборов. Следовательно, позиционное голосование не соответствует IIA.

Позиционное голосование также не соответствует критерию независимости клонов (IoC). Стратегическое выдвижение клонов, скорее всего, существенно повлияет на исход выборов, и часто это намерение стоит за этим. Клон — это номинально идентичный кандидат уже баллотирующемуся кандидату, и избиратели не могут отличить их друг от друга, если им не сообщат, кто из них является клоном. Поскольку равные рейтинги не допускаются, эти два кандидата должны быть ранжированы избирателями на соседних позициях. Клонирование может повысить или понизить коллективный рейтинг любого неклонированного кандидата.

Рассмотрим выборы с позиционным голосованием, в которых могут соревноваться три кандидата. Всего 12 избирателей, а первое, второе и третье предпочтение оцениваются в 4, 2 и 1 очко соответственно.

В этом первом сценарии выдвинуты два кандидата A и B, но ни один клон не участвует в состязании. Избиратели отдают свои ранжированные бюллетени следующим образом:

Таким образом, результат выборов таков:

При равной поддержке неизбежно возникнет ничья между командами A и B за первое место.

Предположим, что B, предвидя эту ничью, решил ввести клона самого себя. Выдвинутые кандидаты теперь A, B ₁ и B ₂ . Поскольку избиратели не могут отличить B ₁ от B ₂ , они, скорее всего, просто отдадут предпочтение B ₁ перед B ₂ , как и B ₂ перед B ₁ . В этом втором сценарии 12 бюллетеней теперь разыгрываются следующим образом:

Новый результат выборов теперь таков:

Добавив своего клона, B передал победу кандидату A. Этот контрпродуктивный эффект «спойлера» или акт самоповреждения называется разделением голосов .

Чтобы продвинуть себя на первое место, B должен вместо этого проинструктировать всех своих сторонников всегда отдавать предпочтение одному из его кандидатов (скажем, B ₁ ) перед другим (B ₂ ). В этом третьем сценарии 12 бюллетеней теперь разыгрываются следующим образом:

Пересмотренный результат выборов теперь таков:

Сигнализируя своим сторонникам (но не сторонникам A), кого из двух кандидатов она хочет победить, B достигает своей цели — победы для B ₁ . При отсутствии клона A и B делят поровну первое и второе места. Введение клона B ₂ (нерелевантная альтернатива) переместило вторые места для A на третье место, в то время как предпочтения для «команды» B (B или B ₁ ) не изменились в первом и третьем сценариях. Этот преднамеренный акт «похоронить» A и продвинуть себя называется объединением в команду . Обратите внимание, что если A сигнализирует своим сторонникам всегда предпочитать B ₂ B ₁ в качестве ответной меры, то восстанавливается изначальная связь между A и «командой» B.

В большей или меньшей степени все позиционные системы голосования уязвимы для объединения; за исключением системы, эквивалентной множественному голосованию. Поскольку только первые предпочтения имеют какую-либо ценность, использование клонов для «похороны» оппонентов ниже по рангу никогда не влияет на результаты выборов. Однако именно потому, что только первые предпочтения имеют какую-либо ценность, множественность вместо этого особенно подвержена разделению голосов. В меньшей степени многие другие позиционные системы голосования также подвержены влиянию кандидатов-«спойлеров». Хотя по своей природе уязвим для объединения, подсчет Борда, тем не менее, неуязвим для разделения голосов. ^[1]

Дональд Г. Саари опубликовал ряд работ, в которых математически анализируются позиционные избирательные системы. Основной метод, который он исследовал в своем анализе, — это подсчет Борда.

• Экономическая теория, т. 15, выпуск 1, 2000: Математическая структура парадоксов голосования: II. Позиционное голосование, Дональд Г. СААРИ