Парадокс множественных районов

Совместная серия «Политика и экономика»
Социальный выбор и избирательные системы
Социальный выбор Конструкция механизма Сравнительная политология Сравнение Список ( по странам )
Методы с одним победителем Методы голосования по принципу «единого голоса» и « плюрализма» Первое предпочтение относительного большинства (FPP) Двухтуровый ( США : праймериз в джунглях ) Партийные праймериз Мгновенный сток Великобритания : Альтернативное голосование (AV) США : рейтинговый выбор (RCV) Методы Кондорсе Кондорсе-ИРВ Круговое голосование Минимакс Шульце Ранжированные пары Максимальная лотерея Позиционное голосование Множественность ( эл. IRV ) Borda count (el. Baldwin) Antiplurality (el. Coombs) Cardinal voting Score voting Approval voting Majority judgment STAR voting
Proportional representation Party-list Apportionment Highest averages Largest remainders National remnant Biproportional List type Closed list Open list Panachage List-free PR Localized list Quota-remainder methods Hare STV Schulze STV CPO-STV Quota Borda Approval-based committees Thiele's method Phragmen's method Expanding approvals rule Method of equal shares Fractional social choice Direct representation Interactive representation Liquid democracy Fractional approval voting Maximal lottery Random ballot Semi-proportional representation Cumulative SNTV Limited voting
Mixed systems By results of combination Mixed-member majoritarian Mixed-member proportional By mechanism of combination Non-compensatory Parallel (superposition) Coexistence Conditional Fusion (majority bonus) Compensatory Seat linkage system UK: 'AMS' NZ: 'MMP' Vote linkage system Negative vote transfer Mixed ballot Supermixed systems Dual-member proportional Rural–urban proportional Majority jackpot By ballot type Single vote Double simultaneous vote Dual-vote
Paradoxes and pathologies Spoiler effects Spoiler effect Cloning paradox Frustrated majorities paradox Center squeeze Pathological response Perverse response Best-is-worst paradox No-show paradox Multiple districts paradox Strategic voting Lesser evil voting Exaggeration Truncation Turkey-raising Paradoxes of majority rule Tyranny of the majority Discursive dilemma Conflicting majorities paradox
Social and collective choice Impossibility theorems Arrow's theorem Majority impossibility Moulin's impossibility theorem McKelvey–Schofield chaos theorem Gibbard's theorem Positive results Median voter theorem Condorcet's jury theorem May's theorem Condorcet dominance theorems Harsanyi's utilitarian theorem
Politics portal Economics portal Mathematics portal
v t e

Система голосования удовлетворяет критерию согласованности (также называемому критерием подкрепления ), если объединение двух наборов голосов, оба избирающих A над B , всегда приводит к объединенному электорату, который ранжирует A над B. ^[1] Это более сильная форма критерия участия . Системы, которые не соответствуют критерию согласованности (например, голосование по ранжированному выбору или методы Кондорсе ), подвержены парадоксу множественных округов , который допускает особенно вопиющий вид джерримендеринга : можно провести границы таким образом, что кандидат, победивший на общих выборах, не сможет победить даже в одном избирательном округе . ^[1]

Существует три варианта согласованности соединений:

1. Последовательность победителей: если два округа выбирают одного и того же победителя А , то А также побеждает в объединенном округе.
2. Согласованность рейтинга: если два округа ранжируют набор кандидатов совершенно одинаково, то объединенный округ возвращает тот же рейтинг всех кандидатов.
3. Последовательность оценок: если два разных округа присваивают кандидату одинаковую общую оценку , общая оценка кандидата все равно должна быть одинаковой.

Система голосования является последовательной по отношению к победителю, если и только если она является методом суммирования баллов; другими словами, это должна быть позиционная система голосования или голосование по баллам (включая одобрительное голосование ). ^{[2] [3]}

Как показано ниже в разделе Кемени-Янга, то, пройдет ли система подкрепление, может зависеть от того, выберут ли выборы одного победителя или полный рейтинг кандидатов (иногда это называется согласованностью рейтинга): в некоторых методах два электората с одним и тем же победителем, но разными рейтингами могут, будучи сложены вместе, привести к другому победителю. Кемени-Янг — единственный метод Кондорсе, согласованный по рейтингу, и ни один метод Кондорсе не может быть согласованным по победителю. ^[3]

Этот пример показывает, что метод Коупленда нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть пять кандидатов A, B, C, D и E с 27 избирателями со следующими предпочтениями:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Далее определяется победитель конкурса «Коупленд» для первой группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : С голосами первой группы избирателей, A может победить трех из четырех оппонентов, тогда как ни один другой кандидат не победит против более чем двух оппонентов. Таким образом, A избирается победителем Copeland первой группой избирателей.

Теперь определился победитель Коупленда для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, снова, A может победить трех из четырех оппонентов, тогда как ни один другой кандидат не победит более чем у двух оппонентов. Таким образом, A избирается победителем Copeland второй группой избирателей.

Наконец, определяется победитель Коупленда среди всех избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : C — победитель Кондорсе, поэтому Коупленд выбирает C в качестве победителя.

Этот пример показывает, что голосование с мгновенным повторением выборов нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C и 23 избирателя со следующими предпочтениями:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Далее определяется победитель второго тура для первой группы избирателей.

У B всего 2 голоса, и он выбывает первым. Его голоса передаются A. Теперь у A 6 голосов, и он побеждает C с 4 голосами.

Результат : A побеждает C после того, как B выбывает.

Теперь определяется победитель второго тура для второй группы избирателей.

У C меньше всего голосов, 3, и он выбывает. A получает от этого выгоду, забирая все голоса у C. Теперь, имея 7 голосов, A побеждает B с 6 голосами.

Результат : A побеждает B после того, как C выбывает.

Наконец, определяется победитель второго тура среди всех избирателей.

У C наименьшее количество первых предпочтений, поэтому он выбывает первым, его голоса разделяются: 4 передаются B и 3 — A. Таким образом, B побеждает с 12 голосами против 11 голосов A.

Результат : B побеждает A после того, как C выбывает.

A — победитель мгновенного второго тура в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B как победителя мгновенного второго тура. Таким образом, голосование мгновенного второго тура не соответствует критерию согласованности.

Этот пример показывает, что метод Кемени–Янга нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C и 38 избирателей со следующими предпочтениями:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Далее определяется победитель по версии Кемени-Янга для первой группы избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг A > B > C имеет наивысший рейтинговый балл. Таким образом, A выигрывает, опережая B и C.

Теперь определился победитель по версии Кемени-Янга для второй группы избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг A > C > B имеет самый высокий рейтинговый балл. Следовательно, A выигрывает, опережая C и B.

Наконец, определяется победитель по версии Кемени-Янга среди всех избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг B > A > C имеет наивысший рейтинговый балл. Таким образом, B выигрывает, опережая A и C.

A является победителем Кемени-Янга в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B победителем Кемени-Янга. Таким образом, метод Кемени-Янга не удовлетворяет критерию подкрепления.

Метод Кемени-Янга удовлетворяет согласованности ранжирования; то есть, если электорат произвольно разделен на две части и отдельные выборы в каждой части приводят к выбору одного и того же ранга, выборы всего электората также выбирают этот ранг. Фактически, это единственный метод Кондорсе , который удовлетворяет согласованности ранжирования.

Оценка Кемени-Янга для рейтинга вычисляется путем суммирования количества парных сравнений в каждом бюллетене, которые соответствуют рейтингу . Таким образом, оценка Кемени-Янга для электората может быть вычислена путем разделения электората на непересекающиеся подмножества (с ), вычисления оценок Кемени-Янга для этих подмножеств и их сложения:${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$.

Теперь рассмотрим выборы с электоратом . Предпосылка подкрепления — разделить электорат произвольно на две части , и в каждой части выбирается один и тот же рейтинг . Это означает, что оценка Кемени-Янга для рейтинга в каждом электорате больше, чем для любого другого рейтинга :${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}}$

Теперь необходимо показать, что показатель Кемени-Янга рейтинга по всему электорату выше, чем показатель Кемени-Янга любого другого рейтинга :${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

Таким образом, метод Кемени-Янга является последовательным в отношении полных рейтингов.

Этот пример показывает, что суждение большинства нарушает подкрепление. Предположим, что есть два кандидата A и B и 10 избирателей со следующими рейтингами:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Далее определяется победитель большинства голосов для первой группы избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Результат : С голосами первой группы избирателей, A имеет средний рейтинг «Отлично», а B имеет средний рейтинг «Удовлетворительно». Таким образом, A избирается победителем по решению большинства первой группы избирателей.

Теперь определяется победитель большинства голосов для второй группы избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, A имеет средний рейтинг «удовлетворительно», а B — средний рейтинг «плохо». Таким образом, A избирается победителем по решению большинства второй группы избирателей.

Наконец, определяется победитель по решению большинства голосов всех избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Медианные рейтинги для A и B оба "Fair". Поскольку есть ничья, рейтинги "Fair" удаляются из обоих, пока их медианы не станут разными. После удаления 20% рейтингов "Fair" из голосов каждого, отсортированные рейтинги теперь следующие:

Результат : Теперь медианная оценка A — «Плохо», а медианная оценка B — «Удовлетворительно». Таким образом, B избирается победителем по решению большинства.

A — победитель большинства в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B как победителя большинства. Таким образом, большинство не соответствует критерию согласованности.

Этот пример показывает, что метод ранжированных пар нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C с 39 избирателями со следующими предпочтениями:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Далее определяется победитель рейтинга пар для первой группы голосующих.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : B > C и A > B фиксируются первыми (и C > A не может быть зафиксировано после этого), поэтому полный рейтинг выглядит так: A > B > C. Таким образом, победителем среди ранжированных пар первой группой избирателей избирается A.

Теперь определяется победитель рейтинга пар для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, A > C и C > B фиксируются на первом месте (и B > A не может быть зафиксировано после этого), поэтому полный рейтинг выглядит так: A > C > B. Таким образом, A избирается победителем парного рейтинга второй группой избирателей.

Наконец, определяется победитель среди всех проголосовавших пар.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : Теперь все три пары (A > C, B > C и B > A) можно заблокировать без цикла. Полный рейтинг: B > A > C. Таким образом, ранжированные пары выбирают победителем B , который является победителем по Кондорсе из-за отсутствия цикла.

A — победитель ранжированных пар в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B в качестве победителя ранжированных пар. Таким образом, метод ранжированных пар не соответствует критерию согласованности.

1. ^ Джон Х. Смит , «Агрегирование предпочтений при переменном электорате», Econometrica , т. 41 (1973), стр. 1027–1041.
2. ^ DR Woodall , «Свойства правил преференциальных выборов», Voting questions , выпуск 3 (декабрь 1994 г.), стр. 8–15.
3. ^ HP Young , «Функции оценки социального выбора», Журнал SIAM по прикладной математике, т. 28, № 4 (1975), стр. 824–838.